淺談EPR佯謬與Bell定理及驗證實驗

1、淺談EPR佯謬與Bell定理及驗證實驗趙飛 20114041（西南交通大學 物理科學與技術(shù)學院 四川成都 611730）摘 要：本文回顧了EPR佯謬與定域隱變量理論，對Bell定理及其相關(guān)的推廣不等式進行了概述，并介紹了幾個不涉及不等式形式的Bell定理，然后簡要介紹Bell定理的驗證實驗。迄今實驗的結(jié)果大都支持量子力學的相關(guān)理論，但是仍未能揭示出量子力學空間非定域性的本質(zhì)，也未能完全否定隱變量的存在。關(guān)鍵詞：EPR佯謬，隱變量理論，量子糾纏，Bell定理，非定域性0. 引言自從20世紀初量子力學理論建立以來，量子力學的科學性一直頗有爭議，量子力學的物理意義具有無法消除的內(nèi)在隨機性。因此對于如

2、何理解它的基本概念和基本規(guī)律,以及它是不是一個完備的理論體系等問題，就一直存在著激烈而深刻的爭論。其中Albert Einstein與Niles Bohr曠日持久的論戰(zhàn)尤為著名，Albert Einstein為首的一批科學家始終認為量子力學理論不是完備的理論，但是以Niles Bohr為首的哥本哈根學派則堅持量子理論的正確性。1935年 Einstein、Podolsky和Rosen合作,三人發(fā)表了一篇的論Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete? 1。在這篇文章中，EPR三人以假

3、想實驗的形式來論證量子力學的不完備，通常將他們?nèi)说恼撟C稱為“EPR佯謬”。JBell認為在EPR佯謬中對相互遠離的兩個粒子的第一個粒子的某種性質(zhì)進行測量后，便能預先決定對第二個粒子的同一性質(zhì)的測量結(jié)果，這表明雙粒子系統(tǒng)中存在一定的關(guān)聯(lián)性，并且可能用隱變量來加以說明。1965年,貝爾(J.Bell)在定域隱變量理論的基礎(chǔ)上推導出一個不等式，被稱Bell不等式2，并證明該式與量子力學理論的描述是不符合的。20世紀60年代至今，對于Bell不等式的實驗驗證有很多，其中以1982年巴黎大學的Aspect小組的相關(guān)實驗尤為著名3，其一系列光學實驗均同量子力學的預言符合得很好而違反Bell不等式。但是目

4、前的實驗都受到兩方面的約束：定域性與探測效率漏洞，然而盡管如此，人們還是普遍相信量子力學是正確的而非Bell定理。本文將較為詳細地介紹EPR佯謬、Bell定理與Bell不等式及其衍生出的幾種定理，并簡要介紹Bell定理的相關(guān)驗證實驗。1. EPR佯謬與隱變量理論1.1 EPR佯謬Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete?一文中，愛因斯坦等人提出了物理理論完備性的條件、物理實在判據(jù)以及定域性原則，以此作為思想實驗的三個前提1。(1)理論完備的必要條件:當且僅當物理實在的每一個要素都能

5、夠在該物理理論中找到對應的部分；(2)物理實在要素:若是對一個系統(tǒng)沒有任何干擾,任何可觀測的物理量都有對應的物理實在要素，這句話可以理解為測量結(jié)果只決定與體系本身；(3)定域性原則（定域因果性）:若兩次測量之間的四維時空間隔是類空間隔，這兩個事件之間不應當存在因果性的關(guān)聯(lián)，即不存在超越光速的現(xiàn)象出現(xiàn) 1,4 。由這三個觀點可以看出，愛因斯坦等人所寫的這篇文章是從符合因果律的相對論出發(fā)的。EPR的理想實驗簡單說來可以由一個一維兩粒子系統(tǒng)組成，兩個粒子分別為粒子1、粒子2，假設(shè)這一對粒子系統(tǒng)的初態(tài)總動量為p=0，兩個粒子的出發(fā)點為原點，那么在兩個粒子發(fā)生相互作用并分開后，相聚足夠遠，以至于它們之間

6、沒有相互作用。按照動量守恒定律，必定有p1=-p2。當用探測器測量了粒子l，得到結(jié)果p1=+ae以后，那么粒子2必將處在p2=-ae的狀態(tài)上。當用另一個探測器測量粒子1的位置矢量時，得到q1=x·e，易知粒子2的位置矢量q2=-x·e。第一次測量后，p2可以對應一個實在性元素，第二種測量后，q2也對應一個實在性元素，兩次測量的實在性元素都存在，不會依賴于測量過程和測量結(jié)果。換句話說，當對用一個純態(tài)描述的兩個子系統(tǒng)(如兩個粒子組成糾纏的純態(tài))分別進行類空分離的定域測量，對其中一個子系統(tǒng)進行定域測量，不能對另一個子系統(tǒng)產(chǎn)生直接的相互作用，但測量結(jié)果卻包含了另一個子系統(tǒng)的信息，并

7、且瞬時的改變了對另一子系統(tǒng)狀態(tài)的描述，典型的情況即定域的測量使得態(tài)函數(shù)發(fā)生了坍縮。愛因斯坦等人認為，由于量子力學理論的不確定關(guān)系，對q1和p1、q2和p2均不能同時進行精確的測量，則在測量q1的同時,p2也不能精確測量了,而q2和p2不能同時確定,也就不可能具有和它們相對應的兩個獨立的實在元素,只能有一個物理實在的元素。圖1因此，愛因斯坦得出以下二選其一的結(jié)論：(1)存在著即時的超光速現(xiàn)象或者說超距作用，即非定域；(2) q2和p2有精確值，但是量子力學理論不完備。愛因斯坦認為可分離性體系存在超距關(guān)聯(lián)的佯謬，量子力學必定也服從定域性原則，故量子力學理論不是一個完備的理論。玻爾對此的解釋是粒子1

8、和粒子2之間存在著某種聯(lián)系（后來定義為量子糾纏態(tài)），無論它們在空間上距離有多遠，對其中一個粒子進行定域測量，將會使另一個粒子狀態(tài)的改變，這就是量子力學的非定域性5，這明顯與愛因斯坦的定域性理論不相符。 1951年，Bohm提出了一個對EPR佯謬的翻版問題6，將原先用連續(xù)變量描述的EPR糾纏態(tài)改用離散變量描述的糾纏系統(tǒng)，即考慮兩個總自旋為零的且處于自旋糾纏態(tài)正負電子對系統(tǒng)。在后文推導貝爾不等式時仍會用到該理論，具體過程在此不再詳細介紹，可查看參考文獻6,7。1.2 隱變量理論隱變量或隱參數(shù)，可以導出各種唯象定律，但無法用現(xiàn)有觀測手段測定的量，實驗中觀測量的精確值是由這些未知變量決定。用隱變量來解

9、釋可觀察的現(xiàn)象,是一個古老的物理思想。在經(jīng)典力學誕生之后,在物理學中才出現(xiàn)用嚴謹?shù)臄?shù)學表述的隱變量理論，玻爾茲曼發(fā)展的分子動力學就是一個例子。隱變量的定義8：物理理論T包含了一系列的對于物理系統(tǒng)S的可觀測量，如O、O'等。設(shè)想存在一些實驗上不能探測到的描述系統(tǒng)S的變量，這些變量的集合記作h。如果每一個可觀測量O的值決定于隱變量h的某種平均運算，那么h被稱為關(guān)于理論T的隱變量。系統(tǒng)中隱變量的統(tǒng)計系綜分布函數(shù)為，觀測量A的平均值為： A=d (1.1)量子力學表現(xiàn)出統(tǒng)計性，將宏觀的統(tǒng)計性的落實到微觀個體的確定性,這是人們用經(jīng)典理論來探究自然界時自然的想法。隱變量或許可以將量子力學中的不確定

10、性歸結(jié)于隱變量的不確定性，而這種隱變量可以是作為一種比量子力學體系更微觀的層次，由此或許可以為EPR佯謬提供一種解釋。 2. Bell定理與Bell不等式2.1 Bell不等式1953年玻姆(D·Bohm)從量子力學是不完備的前提出發(fā)，進一步借用隱變量理論想讓它能再現(xiàn)量子理論的結(jié)果。 1965年J·Bell基于愛因斯坦的定域?qū)嵲谡摵虳·Bohm的定域隱變量模型，提出了著名的Bell不等式2，并得出了如下結(jié)論：任何滿足定域?qū)嵲谡摵碗[變量的理論都應該遵循這個不等式，但是量子理論卻不滿足，從而證明量子力學是不完備的理論。Bell不等式的另一個貢獻是，愛因斯坦和波爾的關(guān)于

11、量子理論和定域?qū)嵲谡摰臓幷摽梢酝ㄟ^物理實驗去檢驗，而非單純的理想實驗。Bell不等式的推導過程9：假設(shè)一個由兩個自旋為1/2的粒子A和B所組成有兩個粒子的體系總自旋為零不變，a,b是空間沿任意兩個方向的單位矢量, 測量粒子A沿a方向的自旋分量A·a得到的結(jié)果記為A(a),測量粒子B沿b方向的自旋分量B·b得到的值為B(b)。定義自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)E(a,b)，且有： E(a,b)= A(a)·B(b)= A·a B·b (2.1)由于總自旋為零，A· B=-1， E(a，b)=-a·b=-cos （為a、b夾角） (2.2)特別的

12、，當a=b時， E(a,b)=-1 (2.3)對該體系引入隱變量，以表示其在更微觀層次上的性質(zhì)。這些隱變量可以取不同的數(shù)值，令由所決定的狀態(tài)張成空間, 狀態(tài)的分布函數(shù)是，歸一化條件是: d=1 (2.4)A(a)、B(b)引入隱變量，記為A(a,)，B(b,)，并且有： A(a,)=±1，B(b,)=±1 (2.5)自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)E(a,b)改寫為： E(a,b)=A(a,)B(b,)d (2.6)設(shè)c 為空間另外一個任意方向的單位矢量，可得： Ea,b-Ea,c = A(a,)Bb,-A(a,)Bc ,d (2.7)由(2.5)式可得： = A(a,)Bb,1-Bb ,Bc

13、 ,d 1-Bb ,Bc ,d由(2.4)式可得： = 1-Bb ,Bc ,d可以證明Bb ,=-A(b,)，故有： Ea,b-Ea,c 1+Ab ,Bc ,d （2.8）最后由（2.6）式，得到： Ea,b-Ea,c 1+Eb,c （2.9）(2.9)式就是Bell不等式。Bell接著證明當a,b,c三個單位矢量共面，且從a到b、b到c分別相差3時，由（2.2）式，（2.9）式將寫為：-cosa,b+cosa,c 1-cosb,c -cos3+cos231-cos3-12+-121-12這將會得出 112 的結(jié)論，顯然是矛盾的，由此證明了愛因斯坦等人的定域性前提同量子力學結(jié)論的矛盾是普遍存在

14、的。在另外一篇文章中，J.Bell提出了Bell定理10：定域的隱變量理論不能重現(xiàn)量子力學的全部預言。2.2 Bell不等式的推廣（2.9）式是原版的Bell不等式，在提出該不等式之后一段時間里，物理學家們又發(fā)掘出了更多的式子，其中有不等式的定理也有非不等式的定理。較為出名的有CHSH不等式11( Clauser-Horne-Shimony-Holt)、GHZ定理12,13( Greenberge-Horne-Zeilinger)、Hardy定理14、Cabello定理15,16等等。CHSH不等式可以說是Bell不等式最為著名的推廣，其意義是將Bell不等式驗證實驗中可能出現(xiàn)的諸如態(tài)不存、探

15、測儀器失效等因素避免。因此，CHSH不等式通常被視為真正可以用于實驗驗證的Bell不等式，可以證明CHSH不等式與Bell不等式等效，且CHSH不等式與量子力學結(jié)果相違背。CHSH不等式： Ea,b-Ea,c +Ed,c+Ed,b 2 (2.10)（ a,d和b,c分別為A、B兩個子系統(tǒng)空間中兩個任選的單位矢量）CHSH不等式的推導過程5,11：從(2.7）式出發(fā)，將其改寫：Ea,b-Ea,c =A(a,)Bb,-A(a,)Bc ,d =A(a,)Bb,1±Ad ,Bc ,d -A(a,)Bb,1±Ad ,Bb ,d由(2.5)式，即A(a,)1，B(b,)1，將上式兩邊取

16、絕對值可得：Ea,b-Ea,c 1±Ad ,Bc ,d +1±Ad ,Bb ,d （2.11）再由（2.4）式，得到： Ea,b-Ea,c 2±Ed,c+Ed,b （2.12）最后由絕對值不等式的關(guān)系得： Ea,b-Ea,c +Ed,c+d,b 2 （2.13）進一步可有： s=Ea,b-Ea,c +Ed,c+d,b 2 （2.14）（2.13）式、（2.14）式都是CHSH不等式。和Bell不等式一樣，可以證明，CHSH不等式在量子力學中極其容易不成立。當取a,b,d,c 四個矢量共面，且依次間隔 4 時，（2.13）式左邊等于22，因此（2.13）式被破壞。B

17、ell不等式的推廣形式還有GHZ定理，GHZ定理是第一個不涉及不等式形式的Bell定理，在1989年由Greenberger、Horne和Zeilinger 提出，是針對三個觀察者的一種量子糾纏。3. Bell定理的實驗驗證Bell不等式的違背已在多種物理系統(tǒng)的實驗觀察到，證據(jù)表明，自然是非定域的。然而，所有的實驗都還有各種技術(shù)缺陷，主要表現(xiàn)在定域性漏洞與探測效率漏洞。近年來，緊張的研究工作一直致力于一個無漏洞實驗的設(shè)計與實現(xiàn)，相信在不久的將來應該能夠?qū)崿F(xiàn)。迄今為止，驗證Bell定理的實驗主要可以分為以下三種類型7：1.光子實驗方案；2.原子實驗方案；3.光子、原子混合實驗。3.1光子實驗方案

18、 20世紀60年代量子光學在實驗中的巨大進展為量子非定域性實驗的驗證提供了方法，首先，利用原子級聯(lián)，創(chuàng)造極化糾纏光子對以替代自旋相反的粒子對（實驗上不利于操作）；然后，使用偏振片和光電倍增管測量單個光子的極化。 CHSH不等式提出3年后，F(xiàn)reedman and Clauser17提出了第一個確鑿的量子糾纏試驗，違反了Bell不等式達6個標準差。法國巴黎大學的Aspect小組在1982年的實驗3通常被認為是最有說服力的實驗，測量了Ca40原子級聯(lián)躍遷輻射產(chǎn)生糾纏光子對的線偏振關(guān)聯(lián)，達到從未有過的高精度。圖2 Aspect實驗圖示3Aspect等人進行的雙通道分析器實驗，如圖2中1、2所示，分析

19、器采用隨時間變化的偏振分析儀和一個隨機切換開關(guān)，開關(guān)使得偏振分析儀的方向在光子離開源（圖2中）之后可以被切換，從而阻止了亞光速或光速信號的通信,從而避免定域性漏洞。使用偏振片和光電倍增管（圖2中P.Mphotomultipliers）測量單個光子的極化。平行偏振光子可以直接通過（圖2中/光路）,而垂直偏振光子則被反射（圖2中光路），兩種偏振的光子都將被記錄。為了方便說明，Aspect等人的文章中3將實驗過程用圖3簡化，正如其所言，“In this Letter, we report the results of an experiment following much more closely

20、 the ideal scheme of Fig. 1”，其中，F(xiàn)ig. 1即為本文中圖3，只不過要將圖3中+1、-1分別改為不同的偏振方向。圖3 Aspect實驗簡化模型定義符合計數(shù)率(coincidence counting rates)：R+a,b R-a,b R+-a,b R-+a,b，其中R-+a,b)代表一個光子偏振垂直于a (用“-”表示),且另一個光子偏振平行于b（用“+”表示)時的符合計數(shù)率，其余可類推得知其含義?？梢缘弥篍a,b=R+a,b+Ra,b-R+-a,b-R-+a,bR+a,b+Ra,b+R+-a,b+R-+a,b（3.1）（3.1）式本質(zhì)上來自與（2.14）式

21、3, 分母在實驗過程中為所有符合計數(shù)率之和，為一常數(shù)，且由光源決定。當a,b=b,d=d,c=22.5°且a,c=67.5° 時，按照量子理論（2.14）式中S為：Sexpt=2.697 + 0.015而Aspect實驗測得的S為：SQM=2. 70+ 0.05而定域隱變量理論要求：-2SHVT2 實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)與量子力學理論符合很好，而與CHSH不等式有40倍標準差的差距。圖4 Aspect實驗結(jié)果（為a,b夾角） =0時Ea,b很接近于1，與量子理論符合，平滑曲線為量子力學預測，小點為實驗點，圖4表明了兩種結(jié)果非常吻合。但是Zeilinger18等人指出，Aspect 小

22、組這個實驗中尚存在著一個致命的弱點，那就是開關(guān)的切換不是隨機的，而是準周期的， Aspect 實驗尚不能完全封閉定域性漏洞。1998 年Weihs 實驗19在Aspect實驗的基礎(chǔ)上，第一次使用了一種真正的物理的隨機數(shù)發(fā)生器技術(shù)。這種隨機發(fā)生器將使偏振分析的方向的選擇真正地是隨機的，從而可以克服 Aspect 實驗留下的缺憾。實驗結(jié)果表明，量子力學所允許的非定域關(guān)聯(lián)是真實存在的。我國科學家潘建偉的“13km自由空間糾纏分發(fā)實驗”20，實驗的結(jié)果也很明顯破壞了CHSH不等式。3.2離子實驗方案 除了光子之外，Bell實驗也可以使用原子系統(tǒng)。原子系統(tǒng)提供了一個從檢測角度來看十分重要的優(yōu)勢，檢測效率

23、可以接近于1。因此，原子系統(tǒng)很適合進行Bell不等式的驗證實驗。 這種實驗方案最早由Rowe等人在2001年實現(xiàn)21，實驗用到兩個在磁阱中Be+，兩個離子被放在同一個磁阱中，僅隔3m。但是這樣定域性漏洞卻不可消除，因為每一個離子都可以感覺到本想測量另一離子狀態(tài)的光，但是定域性漏洞的問題還是不能得到解決。3.3光子-離子混合實驗 近幾年，光子-原子混合實驗也有報道，以一個光子與一個受激發(fā)的離子組成糾纏態(tài)，另外Josephson相超導量子位也顯示出非定域性。具體內(nèi)容可見參考文獻22、23、24。4. 總結(jié)與評論愛因斯坦等所提出的EPR論證，在很大程度上對哥本哈根學派的量子理論造成極大沖擊。定域?qū)嵲?/p>

24、論與哥本哈根學派量子力學之間的理論分歧根源上是關(guān)于對自然不同的理解，也就是要弄清自然是否內(nèi)稟隨機，還是由于我們忽略了某些隱變量。如果是后者，那么潛在的定域性理論并沒有完全失去存在的可能性。Bell不等式提出以后，量子糾纏和非定域性兩個方面的研究取得了許多進展?，F(xiàn)在知道只有在量子糾纏態(tài)下才會出現(xiàn)不可思議的非定域量子關(guān)聯(lián)效應，處在糾纏態(tài)上的粒子對，其量子態(tài)將最大地違背Bell不等式。對于量子糾纏同空間非定域性關(guān)系的研究，現(xiàn)在尚處于起步階段。量子糾纏充分展現(xiàn)了即使對處于類空分離的各個粒子測量也將發(fā)生關(guān)聯(lián)坍縮?，F(xiàn)在實驗上已成功地制備了這類糾纏態(tài)。自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換的非線性光學過程所產(chǎn)生的孿生光子對就是在頻

25、域、方向、偏振上形成糾纏的EPR對,采用腔量子電動力學方法也已制備出原子糾纏態(tài)。利用這些糾纏的粒子對可以來驗證Bell不等式，但是Bell不等式是否真的可以等效于EPR論證還有人提出異議。Bell型理論中只涉及到糾纏非定域性的空間非定域性這一特定類型；對于檢驗區(qū)分糾纏態(tài)與可分離態(tài)而言,這些不等式或等式都不是充分而又必要的等4。迄今為止實驗結(jié)果雖然大多是支持量子理論，但遠遠沒能揭示出量子理論空間非定域性的本質(zhì)，也未能真正否定隱變量的存在，要完全推翻EPR論證，恐怕還需要更多更為艱苦的工作。 參考文獻：1 A· Einstein, B·Podolsky ,N·Rose

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