基于多目標(biāo)規(guī)劃的創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計數(shù)學(xué)建模論文1

1、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們

2、將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： b 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細(xì)核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。） 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2014高教

3、社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：基于多目標(biāo)規(guī)劃的創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計摘 要有創(chuàng)意的平板折疊桌相對于傳統(tǒng)的桌子來說更加美觀、方便以及節(jié)省空間。本文針對已經(jīng)設(shè)計好的折疊圓桌建立模型描述折疊桌的動態(tài)變化過程，首先在此基礎(chǔ)上確定出折疊圓桌的數(shù)學(xué)描述模型，然后通過改變敏感性參數(shù)優(yōu)化該模型，最后根據(jù)優(yōu)化后的參數(shù)構(gòu)建新的折疊桌。問題一是描述折疊桌在折疊過程中變化過程，首先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別找出桌面圓、鋼筋直

4、線、直紋面以及木條相對于豎直方向的傾斜角的數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后建立了動態(tài)變化過程的數(shù)學(xué)模型。最后設(shè)計算法通過matlab計算出桌腿木條的開槽長度，詳見表1，并給出了桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)模型見公式(13)。問題二是一個對客戶任意給定折疊桌高度、直徑，設(shè)計出同時滿足產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便以及用材最少三個目標(biāo)的折疊桌的問題。在固定鋼筋的桌腿木條上，以最外側(cè)桌腿木條長度和鋼筋到木條底端長度為決策變量，以鋼筋位置和折疊桌最外側(cè)木條長度的變化范圍為約束條件建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，并采用分層序列法對目標(biāo)按重要性進(jìn)行排序求解。假定平板寬度和木條厚度在第一問基礎(chǔ)上不變的情況下，運(yùn)用matlab變成求解得出平板的尺寸為，鋼筋

5、位置為距離平板邊緣處，每根木條開槽長度見表3。問題三開發(fā)一種能根據(jù)客戶任意指定的信息設(shè)計出盡量滿足客戶要求的折疊桌的問題，建立出了各種桌面邊緣線以及桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，詳見公式(27)、(28)。然后根據(jù)建立的模型設(shè)計出了桌面形狀為橢圓、雙曲線，桌腳邊緣為圓弧的折疊桌。動態(tài)變化過程的示意圖見圖8。最后，我們對模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行評價，并針對某些缺點(diǎn)和假設(shè)條件提出進(jìn)一步的改進(jìn)思路，并將模型推廣到其它生活用品以及蛋白質(zhì)的折疊仿真等方面。關(guān)鍵詞： 平板折疊桌；加工參數(shù)；直紋曲面；多目標(biāo)規(guī)劃1、 問題重述1.1 問題背景平板折疊邊桌注重于表達(dá)木質(zhì)品的優(yōu)雅和設(shè)計師所想要強(qiáng)調(diào)的自動化與功能性1增大面積桌

6、面設(shè)計為圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板，桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽一保證滑動的自由度，使用者只需提起木板的兩側(cè)便可以在重力的作用下達(dá)到自動升起的效果。桌子外形由直紋曲面2構(gòu)成，造型美觀。1.2 問題提出某公司要生產(chǎn)平板折疊邊桌，需要我們解決以下問題：1給定尺寸為的長方形平板，每根木條寬，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子高。建立模型描述此折疊折疊桌的動態(tài)變化過程以及給出折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)（桌腿木條的開槽長度）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)表示。2折疊桌的設(shè)計要達(dá)到產(chǎn)品穩(wěn)固

7、性好、加工方便、用材最小三個目標(biāo)。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，如平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。然后基于以上的要求確定桌高，桌面直徑是得最有設(shè)計加工參數(shù)。3公司計劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀的尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。需要我們給出軟件設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，然后用所建立的模型設(shè)計幾個創(chuàng)意平板折疊桌，并且給出相應(yīng)的設(shè)計加工參數(shù)，畫出不少于8張動態(tài)變化過程的示意圖。2、 問題分析2.1 整體分析本

8、題首先是對已經(jīng)設(shè)計出的折疊桌進(jìn)行分析其動態(tài)變化過程以及對應(yīng)的加工參數(shù)和桌腳邊緣線的形狀，目的是分析清楚每個因素之間的相互關(guān)系。然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一定程度的深化，要對任意給定的高度和直徑（不確定的高度和直徑）的設(shè)計要求設(shè)計出滿足不同對象（投資者、生產(chǎn)者、消費(fèi)者）要求的圓形折疊桌，并確定材料和成品的最有設(shè)計加工參數(shù)。最后要根據(jù)客戶的任意要求開放性的進(jìn)行設(shè)計出盡可能接近客戶所期望的形狀的折疊桌，會涉及到不同形狀平板材料以及不同加工參數(shù)，因此需要確定一個可以適用于多種情況的數(shù)學(xué)模型。三個問題層層遞進(jìn)，逐步將模型推廣到與實際更加接近的情況，難度也隨之增大。2.2 關(guān)鍵問題分析圓桌半徑的確定關(guān)鍵問題一圓桌

9、的半徑影響桌腿每根木條的長度以及傾斜角度，進(jìn)而影響圓桌的高度，因此求出圓桌的準(zhǔn)確半徑至關(guān)重要。圓桌半徑取決于桌面上每根木條的長度，且每根長度是未知的，因此不能直接運(yùn)用幾何知識求解，可以采用圖像處理軟件找出半徑。桌腿上每根木條長度的計算關(guān)鍵問題二桌腿木條的長度影響桌腳邊緣的形狀。確定桌腿木條長度有兩種方法。一種是根據(jù)其與桌面上木條長度一半之和為定長的特點(diǎn)確定出桌腿上每根木條的長度，另外一種就是建立直角坐標(biāo)系，確定出兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出兩點(diǎn)之間的距離即是它的長度。直紋面方程的確定關(guān)鍵問題三直紋面4是由一簇直線生成，圖中的直紋面同時在桌面圓和鋼筋所在直線上運(yùn)動，即直紋面始終滿足桌面圓的方程和鋼

10、筋所在直線的方程。因此直紋面就是由桌面圓和鋼筋所在直線共同決定。2.3 具體問題的分析問題一的分析：折疊桌的動態(tài)變化過程即是在桌子折疊過程中形成直紋面的變化過程。折疊過程中，桌腿每根木條與豎直方向形成的夾角發(fā)生改變，直紋面也因此改變。但是，由于直紋面上每根木條同時在圓桌邊緣和鋼筋上運(yùn)動，同時滿足桌面邊緣和鋼筋所在的方程。我們可以以此建立模型描述折疊桌的動態(tài)變化過程。設(shè)計加工參數(shù)（開槽長度）與折疊桌的初始狀態(tài)（平板）和折疊到最大程度時的狀態(tài)有關(guān)，因此需要找出木條的傾斜范圍。桌腳邊緣線既滿足在直紋面上，又滿足每根木條為直線，同時滿足這兩個條件的方程即是它的數(shù)學(xué)描述。問題二的分析：鋼筋的位置以及桌腿

11、木條的張開程度影響產(chǎn)品的穩(wěn)固性，要使產(chǎn)品的穩(wěn)固性好，就要對分析鋼筋的運(yùn)動范圍以及在運(yùn)動范圍內(nèi)的最佳位置，木條的張開程度越大越穩(wěn)固；木條的開槽長度影響加工的方便程度，開槽越短越方便；用料的多少受平板面積的影響，平板尺寸影響平板面積，當(dāng)滿足要求且面積最小時用料為最省。最后再確定給出桌高和桌面直徑后的最優(yōu)加工參數(shù)。問題三的分析：要設(shè)計一種軟件能根據(jù)客戶任意設(shè)定的要求進(jìn)行設(shè)計，并且給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，因此所設(shè)計的軟件應(yīng)該具有通用性，在此基礎(chǔ)上自己設(shè)計幾個創(chuàng)意平板折疊桌并給出相應(yīng)的加工參數(shù)，然后畫出動態(tài)變化過程的示意圖。3、 問題假設(shè)全文假設(shè)1.假設(shè)折疊桌腿在圓桌面的

12、周圍折疊處的部分忽略不計，不影響圓面的半徑；2.假設(shè)計算過程中每根木條的厚度不計，即可以抽象成為一條直線；3.假設(shè)木板之間的縫隙很小，可以忽略不計。問題一中的假設(shè)1.假設(shè)桌面形狀為標(biāo)準(zhǔn)圓；2.假設(shè)可以忽略桌面厚度，即將桌面視為一張二維平面問題二中的假設(shè)1.假設(shè)平板寬度就是桌面圓的直徑；2.假設(shè)木條寬度和厚度與問題一一致；問題三中的假設(shè)假設(shè)木條寬度和厚度與問題一一致4、 符號說明符號說明桌面圓的半徑每根木條與軸的夾角折疊桌高度第根木條在圓桌面上的長度鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長度木板寬度注：由于圖形的對稱性，下面再討論時只對一邊的桌腿形成的直紋面進(jìn)行討論。5、 模型準(zhǔn)備5.1確定圓桌的半徑：問題

13、一中將桌面看為一個標(biāo)準(zhǔn)圓，將每根木條與圓的交點(diǎn)作為像素點(diǎn)導(dǎo)入cad軟件中，軟件自動確定出圓的半徑。問題二和問題三中以平板的寬度作為直徑，將問題進(jìn)行了簡化。5.2有寬容值的分層序列法有寬容值的分層序列法把多目標(biāo)規(guī)劃問題中的個目標(biāo)按其重要程度排一個次序，假設(shè)最重要，次之，再次之最后一個目標(biāo)為，選取一組適當(dāng)?shù)男≌龜?shù)，成為寬容值，于是得到有寬容值的分層序列法；= 得最優(yōu)解及最優(yōu)值，則在就是原多目標(biāo)規(guī)劃問題在有寬容值的分層序列意義下得最優(yōu)解，6、 模型的建立與求解6.1 折疊桌動態(tài)變化過程、加工參數(shù)和桌腳邊緣線的確定問題一6.1.1建模原理和思想要描述折疊桌的動態(tài)變化過程即是要找出每根木條隨傾斜角度變化

14、而變化的運(yùn)動軌跡，是一個空間的變化過程，需要在空間坐標(biāo)系中進(jìn)行分析，所以首先就需要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。折疊桌的動態(tài)變化過程可以分文兩個部分分別進(jìn)行分析，即桌面圓和桌腿兩個部分，桌面圓受半徑的影響。桌腿的變化又分為直紋面的運(yùn)動、鋼筋的運(yùn)動和傾斜角的改變，因此我們分別從桌面圓、直紋面、鋼筋和傾斜角四個方面來描述折疊桌的動態(tài)變化過程。流程如下：圖表 1 問題一具體流程圖6.1.2建立折疊桌動態(tài)變化過程的描述模型第一步：建立空間直角坐標(biāo)系由于折疊桌的動態(tài)變化過程是在三維空間中進(jìn)行的，為了更加清晰地表達(dá)，因此要建立空間直角坐標(biāo)系。我們用軟件畫出空間直角坐標(biāo)系示意圖如下：圖表 2 坐標(biāo)系示意圖如上圖

15、所示，我們以桌面的下表面的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)、沿著桌面且垂直于木條的方向為軸正方向、沿著桌面平行于木條方向為軸正方向、垂直桌面向下為軸正向建立空間直角坐標(biāo)系。其中，圖中虛線表示被遮擋的部分。第二步：確定桌面圓的方程根據(jù)問題一中的假設(shè)1將桌面圓可以近似為標(biāo)準(zhǔn)圓，因此圓桌的下表面（平面）的方程為：其中，、分別表示圓桌面與直紋曲面的交點(diǎn)。將圖像中所有的像素點(diǎn)導(dǎo)入中可以求出半徑。第三步：鋼筋所在直線方程的確定鋼筋在旋轉(zhuǎn)過程中始終平行于平面，設(shè)在折疊過程中固定鋼筋的木條與平面形成的夾角為，鋼筋固定點(diǎn)的坐標(biāo)為,固定鋼筋的木條長為，桌面圓的半徑為，折疊時坐標(biāo)點(diǎn)與夾角的關(guān)系用表示，即：在桌子折疊過程中，不隨角度改

16、變，隨角度以及固定鋼筋的木條的長度變化的過程可以表示為：因此，鋼筋所在直線的方程最終可以表示為：第四步：確定直紋面直紋面上的每根木條同時在鋼筋所在直線的方程上和桌面圓上運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在鋼筋上同步運(yùn)動，所以指紋面的方程如下：代入、得到： 第五步：桌腿上木條相對軸方向的傾斜角由于對稱性，我們只考慮平面內(nèi)軸正向的部分。設(shè)表示圖3中從坐標(biāo)原點(diǎn)到第根木條的距離。在折疊過程中，考慮最外側(cè)兩跟木條著地的特殊情況，它與地面形成的等腰梯形如下圖所示：圖表 3 木條與地面形成的圖形圖中線段gh為兩根鋼筋間的距離，ad為對稱的兩桌腳點(diǎn)得連線。線段fe表示第根木條在圓桌面上的長度，af和de表示第根木條對應(yīng)的桌

17、腿的長度且af=de，ad表示兩對稱桌腳間的距離，fb表示桌子的高度，fm的長度為。圖中即是桌腿木條與軸方向形成的夾角，即其傾斜角。令ab的長度為，gm的長度為，它們之間有如下關(guān)系： 木條的傾斜角隨著折疊桌高度的變化而變化，假設(shè)當(dāng)高度為時對應(yīng)的傾斜角為，則可以建立高度與傾斜角間的關(guān)系式為：最終求出每根木條相對于相對軸方向的傾斜角的表達(dá)式：第六步：動態(tài)方程的最終描述折疊桌在折疊過程中，桌面圓、直紋面、鋼筋、木條與豎直方向的傾斜角都在相應(yīng)的變化，因此，這四個部分的運(yùn)動狀態(tài)結(jié)合在一起就是整個折疊桌的運(yùn)動狀態(tài)模型。6.1.3開槽長度的確定 1處于平板狀態(tài)時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長度為方便表述，我們

18、用幾何畫板畫出折疊桌處于平板狀態(tài)時的圖形（后文同樣采用幾何畫板畫圖），如下圖所示： 圖表 4 折疊桌的平板示意圖如圖所示，b點(diǎn)為處于平板狀態(tài)時鋼筋與其中一條木條的交點(diǎn)（開槽上端點(diǎn)），a點(diǎn)為折疊到最終狀態(tài)時鋼筋與此木條的交點(diǎn)（開槽下端點(diǎn)），線段ab的長度就是對應(yīng)木條的開槽長度。當(dāng)處于平板狀態(tài)時鋼筋與平板的邊緣平行，因此每根木條的上端點(diǎn)到平板邊緣的距離相等，均為線段bc的長度。并且。設(shè)此時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長度為，表示第根木條在圓桌面上的長度。則長度為：2折疊到最大程度時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長度當(dāng)桌面折疊到最大程度時，鋼筋滑動到每根木條開槽位置的下端點(diǎn)，如圖5在點(diǎn)a、b所在木條上鋼筋

19、從b點(diǎn)滑倒a點(diǎn)位置，因此，線段ab的長度就是該木條的開槽長度。折疊到最大程度時，第根木條與豎直方向形成一個夾角。以一根木條為例，將它與鋼筋的交點(diǎn)投影到桌面圓上，如圖所示：圖表 5木條的投影示意圖圖中a點(diǎn)表示木條上鋼筋所在的位置，c點(diǎn)表示桌面的邊緣位置，線段ac為折疊到最大程度時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間該木條的長度，b點(diǎn)表示a點(diǎn)在桌面上的投影。因此。當(dāng)折疊到最大程度時，鋼筋到桌面的距離即ab的長度為桌面高度的一半。設(shè)折疊到最大程度時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間每根木條的長度為，則：3每根木條的開槽長度設(shè)每根木條的開槽長度為，則：6.1.4桌腳邊緣線的確定桌腳邊緣線有兩個特點(diǎn)：1、 在直紋面上；2、 桌腳邊緣線上

20、與桌面圓上對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上；3、 兩點(diǎn)間距離等于對應(yīng)桌腿的長度，且每根桌腿長度與對應(yīng)的桌面上木條長度的一半之和為定長。首先取桌面圓上一點(diǎn)，該點(diǎn)在直紋面上對應(yīng)直線與鋼筋的交點(diǎn)為，則兩點(diǎn)間直線的方程為：其中，取求出的直線與桌腳邊緣線的交點(diǎn)為，因此兩點(diǎn)間的距離等于對應(yīng)桌腿的長度：并且桌腿上每根木條滿足條件：。因此桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述可以表示為：其中表示在取值范圍內(nèi)的變化形成的直線簇。6.1.5模型計算1、簡化模型：本題通過對創(chuàng)意平板折疊桌的平板尺寸進(jìn)行研究計算參數(shù)，根據(jù)全文假設(shè)1、3，在實際描述數(shù)學(xué)模型中，將木板厚度忽略，達(dá)到簡化數(shù)學(xué)描述模型的目的，使得計算表達(dá)該模型更為簡單。2、計算思想：通過

21、圓標(biāo)準(zhǔn)方程計算坐標(biāo)y值和勾股定理揭示了直角三角形三邊關(guān)系的重要性質(zhì)的應(yīng)用，得到具有具體參數(shù)的描述模型，進(jìn)而分別計算出折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)（即桌腿木條開槽長度）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。由于進(jìn)行了簡化模型將木條看做線條，故利用plot3進(jìn)行三維作圖。3、計算步驟：開槽長度：在問題一假設(shè)1、2的前提下可計算以下步驟，得到開槽長度。step 1：以模型準(zhǔn)備中的坐標(biāo)軸建立最終狀態(tài)的坐標(biāo)軸即折疊桌狀態(tài)，易得圓桌每根木條x軸的坐標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓桌上每根木條的長度。step 2：由題中給出長方形平板尺寸具體數(shù)值，用長度分別減去每根木條長度，得到兩根桌腿長度，除以2得到每根桌腿長度。step 3：根

22、據(jù)step 1中得到最外側(cè)木頭長度又已知折疊后桌子高度，可以計算出鋼筋垂直高度（即為桌子高度一半），進(jìn)而由勾股定理求得兩鋼筋水平距離。step 4：由于鋼條固定后不會再變動故鋼筋垂直距離不會改變，現(xiàn)在已知直角邊高度h和長度m分別用勾股定理求出此鋼筋沿木條開槽滑動后長度。step 5：將折疊桌放回木板狀態(tài)，鋼筋初始位置可由每根木條長度和最外側(cè)木條一般的差表示。step 6：用step 4中鋼筋沿木條開槽滑動后長度減去step 5中鋼筋初始位置，得到開槽長度。6.1.6結(jié)果及結(jié)論動態(tài)變化過程圖示：通過matlab編程6求得此折疊桌動態(tài)變化過程。運(yùn)行環(huán)境見附錄1，程序見附錄2。圖表 6最終狀態(tài)的折疊

23、桌(左)動態(tài)變化過程(右)該折疊桌的開槽長度：由于兩組桌腿對稱，一下只給出單邊桌腿木條開槽長度。程序見附錄3表格 1折疊桌單邊木條開槽長度x坐標(biāo)（+）2.557.51012.51517.52022.525開槽長度19.65719.16318.33317.15915.62513.71111.3838.57795.13210x坐標(biāo)（-）2.557.51012.51517.52022.525開槽長度19.65719.16318.33317.15915.62513.71111.3838.57795.132106.1.7結(jié)果檢驗與分析有用性分析用數(shù)據(jù)驗證動態(tài)模擬題中通過建立模型描述折疊桌動態(tài)變化過程，方

24、程的參數(shù)變化導(dǎo)致各個簡化數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化，因此我們通過桌腳邊緣方程數(shù)據(jù)可以進(jìn)行動態(tài)模擬驗證所建立的數(shù)學(xué)描述模型正確和有用性，模擬圖見圖5。6.2 基于分層序列法的折疊桌最有加工參數(shù)的確定問題二6.2.1建模原理和思想設(shè)計折疊桌時，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)（鋼筋位置、平板尺寸、開槽長度）會影響折疊桌的穩(wěn)固性，用材量以及加工的方便性。在固定鋼筋的桌腿木條上，以桌腿木條長度和鋼筋到木條底端長度為決策變量，以產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便以及用材最少為目標(biāo)函數(shù)，但是考慮到鋼筋位置在最外側(cè)木條上的位置會在一定的范圍內(nèi)，因此應(yīng)該確定以鋼筋位置和折疊桌最外側(cè)桌腳長度的變化范圍為約束條件的多目標(biāo)規(guī)劃模型，根據(jù)分層序列法原理，

25、確定了穩(wěn)固性最重要，用材最少次之，加工方便最后，根據(jù)分層序列法原理，確定所有的在分層序列的意義下確定最優(yōu)參數(shù)。6.2.2基于分層序列法的產(chǎn)品設(shè)計多目標(biāo)規(guī)劃模型（1）穩(wěn)固性好的單目標(biāo)規(guī)劃模型：決策變量的確定：折疊桌在設(shè)計時，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)會影響折疊桌的穩(wěn)固性，然而這些設(shè)計參數(shù)都和鋼筋的位置以及折疊桌高度有關(guān)，所以我們以鋼筋固定位置到木條底端位置的長度、固定鋼筋的桌腿長度為決策變量。約束條件的確定：將折疊桌投影到平面內(nèi)得到的圖形如下：圖表 7 平板最外側(cè)木條與地面形成的圖形由于對稱性，我們只討論圖中左側(cè)部分。圖中k點(diǎn)為固定鋼筋的位置點(diǎn)，im的長度為半徑,ap與pc形成的角即為木條的傾斜角，a

26、g的長度為，桌腿的長度ap為，桌面圓上最外側(cè)木條的長度為,設(shè)的長度分別為：且。鋼筋有最外邊的木條固定，因此鋼筋必須在木條上，可以轉(zhuǎn)化為鋼筋固定位置到木條底端位置的長度不能超過固定鋼筋的桌腿木條的長度。已知等邊三角形的穩(wěn)定性最好，當(dāng)傾斜角大于時，固定性降低。即： 其中，滿足方程 ，式中為表示平板長度的一半。線段gn長度為，線段ac的長度為，要使折疊桌折疊后穩(wěn)固性好就應(yīng)滿足以下條件： 目標(biāo)函數(shù)的確定：1堅固性我們在桌腳點(diǎn)a分析其受力情況，如圖所示當(dāng)在桌上放重物時，桌腳受豎直向下的力為f,同時地面會對桌腳產(chǎn)生大小相同、方向相反的支持力。則力矩的大小為： 力矩越小，堅固性越好；力矩越大，堅固性越差。因

27、此，堅固性好的可以轉(zhuǎn)化為以力矩最小為目標(biāo)的函數(shù)，即： 2穩(wěn)定性當(dāng)gn的長度越短時kg越長，此時桌子的固定性越好；當(dāng)ab的長度越長，桌子的穩(wěn)定性越好。當(dāng)增大時，kg和ab都相應(yīng)增大。當(dāng)兩者之和最大的時候折疊桌的穩(wěn)定性最好。即可以將穩(wěn)定性好的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為ab和kg長度之和最大的目標(biāo)：其中最終可得到穩(wěn)固性好的單目標(biāo)規(guī)劃模型：決策變量：鋼筋固定位置到木條底端位置的長度、固定鋼筋的桌腿長度；目標(biāo)函數(shù)：將作為的可行域。（2）用材最少的單目標(biāo)規(guī)劃模型決策變量的確定：折疊桌在設(shè)計時，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)會影響折疊桌的平板尺寸，然而這些設(shè)計參數(shù)都和鋼筋的位置以及折疊桌高度有關(guān)，所以我們以鋼筋固定位置到木條底端位置

28、的長度、固定鋼筋的桌腿長度為決策變量。約束條件的確定：平板兩條邊上固定鋼筋的木條在折疊過程中與地面形成等腰梯形，如圖5所示。g點(diǎn)為固定鋼筋的位置，a點(diǎn)為桌腳位置。令ag的長度為，桌腿的長度為，為桌面圓上最外側(cè)木條的長度，桌面圓半徑為，為木板寬度（假定寬度一定），則有： 設(shè)為折疊桌高度，桌腿木條的傾斜角為，且 。的取值范圍為： 目標(biāo)函數(shù)的確定：要達(dá)到用材最少的目標(biāo)，即可轉(zhuǎn)化為所用平板的面積最小，即： 最終可得以用材最少為目標(biāo)的單目標(biāo)規(guī)劃模型決策變量：鋼筋固定位置到木條底端位置的長度、固定鋼筋的桌腿長度；目標(biāo)函數(shù)：約束條件：，將作為的可行域。（3）加工方便的單目標(biāo)規(guī)劃模型決策變量的確定折疊桌在設(shè)計

29、時，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)會影響折疊桌木條的開槽長度，然而這些設(shè)計參數(shù)都和鋼筋的位置以及折疊桌高度有關(guān)，所以我們以鋼筋固定位置到木條底端位置的長度、固定鋼筋的桌腿長度為決策變量。約束條件的確定桌腿木條的開槽長度始終小于桌腿木條的長度，同時也要滿足(1)中得取值范圍，即滿足公式(20)。目標(biāo)函數(shù)的確定要使加工方便，可以考慮木條的開槽長度為整數(shù)，且每根木條的開槽長度在上圖中可看做是： 最終可以得到加工方便為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)規(guī)劃模型：決策變量：鋼筋固定位置到木條底端位置的長度、固定鋼筋的桌腿長度；目標(biāo)函數(shù)：約束條件： （4）產(chǎn)品設(shè)計的多目標(biāo)規(guī)劃模型：決策變量：鋼筋固定位置到木條底端位置的長度、固定鋼筋

30、的桌腿長度目標(biāo)函數(shù)：此時的是進(jìn)過多目標(biāo)規(guī)劃的分層序列法對目標(biāo)按其重要程度的一個排序，最重要，次之，最后。約束條件： 6.2.3模型計算1、 簡化模型：本題通過對創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計滿足商家（用材最少）、用戶（穩(wěn)固性好）、加工者（加工方便）的要求，根據(jù)全文假設(shè)2和在實際優(yōu)化模型中，將三者要求確定為目標(biāo)函數(shù)，達(dá)到簡化優(yōu)化模型的目的，使得計算該模型更為簡單。我們將商家要求（用材最少）簡化為平板尺寸的確定，再根據(jù)問題二的假設(shè)2，平板尺寸的確定就是計算平板長度。用戶要求（穩(wěn)固性好）簡化為鋼筋位置的取定。加工者要求（加工方便）簡化為開槽長度的加工，此時開槽長度我們認(rèn)為整數(shù)長度或者統(tǒng)一長度即使?jié)M足加工者要求

31、。而簡化用戶要求時發(fā)現(xiàn)任意給定折疊桌著力點(diǎn)是為四只著地桌腳，因此我們對穩(wěn)固性分析時將對折疊桌受力看做最外端四只著地桌腳，如下圖8所示。又由于圓的對稱性，我們可以簡化為只研究一只桌腳。圖表 8 桌腿木條的受力簡化圖2、計算思想：通過簡化模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化模型，對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。3、計算步驟：step 1：以模型準(zhǔn)備中的坐標(biāo)軸建立最終狀態(tài)的坐標(biāo)軸即折疊桌狀態(tài)，易得圓桌每根木條軸的坐標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓桌上每根木條的長度，以及鋼槽初始位置。step 2：對優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)求解，約束條件為的取值范圍，求得的值。即著地桌腿長度和鋼槽位置分別用表示。step 3：由step 2中著地桌

32、腿長度和鋼槽位置數(shù)據(jù)求得開槽長度。6.2.4結(jié)果及結(jié)論對于桌高70cm，桌面直徑為80cm的情況下，經(jīng)過matlab計算，運(yùn)行環(huán)境見附錄1，程序見附錄4，取整數(shù)據(jù)結(jié)果如下：表格 2 最優(yōu)參數(shù)設(shè)計著地桌腿長度（cm）鋼槽位置（cm）平板長度（cm）8051173求出著地桌腿長度為80cm時，鋼槽的最佳位置為在距離桌腳51cm處，說明在著地桌腿的中間偏上位置折疊桌的穩(wěn)固性更好。其折疊立體圖 ，程序見附錄5：表格 3 66根木條的開槽長度(cm)開槽長度m(1)-m(66)0691114161819212223242525262626262625252423222119181614119622691

33、11416181921222324252526262626262525242322211918161411962圖表 9優(yōu)化后的動態(tài)過程(左)最優(yōu)參數(shù)的折疊桌(右)6.2.5結(jié)果檢驗與分析誤差分析：由于希望滿足加工者方便，將對開槽長度取整，因此會產(chǎn)生一段誤差使得中間部分開槽有些許偏差，對此我們進(jìn)行誤差分析。但根據(jù)統(tǒng)計誤差在以上的僅12個，對整體影響不大，卻能明顯減少加工者的工作量，因此我們認(rèn)為該誤差合理。6.3 折疊桌設(shè)計軟件的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型的確定問題三6.4 6.3.1建模原理和思想根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度，桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀可以得出桌高和桌面寬度的確定值，以及桌腳

34、邊緣線的平面表達(dá)式，經(jīng)過分析這些條件的變動，其影響穩(wěn)定性的目標(biāo)函數(shù)和木條開槽長度取整的目標(biāo)函數(shù)的程度很小，此時忽略不計，只影響平板面積，所以將桌腳邊緣線的平面表達(dá)式積分可以確定平板面積，再根據(jù)問題2所建的模型帶入客戶所給的參考量，即可確定最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。6.3.2建立基于客戶需求的最優(yōu)參數(shù)的折疊桌優(yōu)化模型客戶任意設(shè)定的折疊桌的平板面積確定（1）設(shè)定任意桌面邊緣線的的形狀大小的空間參數(shù)方程為 （2）設(shè)定任意桌腳邊緣線的大致形狀的空間參數(shù)方程為 （3）根據(jù)桌面邊緣上的任意一點(diǎn)可以確定與之對應(yīng)的桌腳邊緣線上的一點(diǎn)，并且可以計算出兩點(diǎn)的距離 ，令為桌角邊緣線的平面表達(dá)式為 （4）對平面的桌腳邊緣線方程進(jìn)

35、行積分，就表示由曲線與軸所成的曲邊梯形的面積，故平板面積可以表示為 因此可以得到折疊桌最優(yōu)平板面積的單目標(biāo)模型決策變量：桌腳邊緣線的平面表達(dá)式，表示為桌面的寬度（桌面寬度可由桌面邊緣線的形狀大小求得）目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： 根據(jù)分析，客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀線的大小和桌腳邊緣線的大致形狀都不會影響穩(wěn)定性的目標(biāo)函數(shù)和木條開槽的目標(biāo)函數(shù)，只是將變量高度和木板寬度通過客戶人為確定，將其帶入問題2所建立的多目標(biāo)規(guī)劃模型中求解確定最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。根據(jù)上面的軟件設(shè)計基于客戶需求的最優(yōu)參數(shù)的折疊桌優(yōu)化模型，我們提供了折疊桌的高度為,桌腳邊緣線為空間參數(shù)方程 桌面邊緣線的形狀為橢圓，大小為

36、長軸,短軸,這里以短軸為桌面直徑，其中橢圓的表達(dá)式為將這些條件帶入上述模型，我們可以得到 因此桌腳邊緣線的平面表達(dá)式就為，將其帶入客戶任意設(shè)定的折疊桌的平板面積確定模型中，對其進(jìn)行積分，得到所需材料的平板材料的形狀尺寸： 6.3.3模型計算1、 簡化模型：經(jīng)過前面兩個問題的探討，我們可以將折疊桌模型簡化成為三個數(shù)學(xué)關(guān)系式空間上的共同呈現(xiàn)，分別為桌面邊緣空間關(guān)系式，鋼筋位置空間關(guān)系式（即是折疊桌高度或木條與垂直方向夾角的關(guān)系），還有桌腳邊緣線的空間關(guān)系式。2、算法思想：通過桌面邊緣方程計算坐標(biāo)y值和勾股定理揭示了直角三角形三邊關(guān)系的重要性質(zhì)的應(yīng)用，得到鋼筋位置空間方程，進(jìn)而計出桌腳邊緣線的空間關(guān)

37、系。由于進(jìn)行了簡化模型將木條看做線條，故利用plot3進(jìn)行三維作圖。3、 算法步驟：step 1：給出任意設(shè)定高度，桌面方程及參數(shù)，和桌腳邊緣線形狀分別求出給出桌面邊緣空間關(guān)系式、鋼筋位置空間關(guān)系式、桌腳邊緣線的空間關(guān)系式。step 2：通過桌面方程參數(shù)得到兩根鋼筋之間的距離，求出每根木條分別在三個空間關(guān)系式上的坐標(biāo)。step 3：整合所有坐標(biāo)以及step 1中關(guān)系式得到不同參數(shù)下折疊桌簡化圖像。step 4：整合step 3中所有折疊桌簡化圖像，即可認(rèn)為得到動態(tài)示意圖。6.3.6結(jié)果及結(jié)論橢圓：設(shè)定參數(shù)高度，半長軸，半短軸，桌腳邊緣形狀為拋物線。桌面邊緣空間關(guān)系式：，桌腳邊緣空間關(guān)系式：動態(tài)

38、示意圖：其余動態(tài)變化過程示意圖見附錄8，運(yùn)行環(huán)境見附錄1，程序見附錄6。圖表 10 橢圓折疊桌的8張動態(tài)示意圖(左)橢圓折疊桌的靜態(tài)示意圖(右)雙曲線：設(shè)定參數(shù)高度，半長軸，半短軸，桌腳邊緣形狀為拋物線。桌面邊緣空間關(guān)系式：，桌腳邊緣空間關(guān)系式：動態(tài)示意圖：其余動態(tài)變化過程示意圖見附錄9，運(yùn)行環(huán)境見附錄1，程序見附錄7。圖表 11 雙曲線的8張動態(tài)示意圖(左)雙曲線折疊桌的靜態(tài)示意圖(右)6.3.7結(jié)果檢驗與分析有效性分析參數(shù)敏感性分析對于給出相應(yīng)加工參數(shù)，通過不同參數(shù)的取值，可以明顯得到不同的動態(tài)圖像，既可以看出高度和桌面邊緣參數(shù)為敏感性參數(shù)。以上圖為例，若高度不變，桌面邊緣參數(shù)決定桌面形狀

39、和大小，因此對折疊立體圖像的確立產(chǎn)生很大影響。桌面邊緣參數(shù)不變，高度變化同理。7、 模型的評價、改進(jìn)與推廣7.1 模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1. 折疊桌在折疊過程中，桌面圓、直紋面、鋼筋、木條與豎直方向的傾斜角都在相應(yīng)的變化，因此，用這四個部分的運(yùn)動狀態(tài)結(jié)合在一起刻畫整個折疊桌的運(yùn)動狀態(tài)模型比較客觀和準(zhǔn)確。2. 對于確建模簡單,能夠有效地分析可展板殼結(jié)構(gòu)的復(fù)雜運(yùn)動,并為空間折疊桌結(jié)構(gòu)的設(shè)計優(yōu)化提供了理論依據(jù)。缺點(diǎn)：1. 在簡化模型過程中以平板寬度作為圓桌面的直徑，降低了模型的精度，增大了模型的誤差；2. 分層序列法是由上一個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解作為下一個目標(biāo)的可行域，因而限制了下一個目標(biāo)的優(yōu)化范圍；3.

40、文中運(yùn)用較多假設(shè)，與實際值有偏差。7.2 模型的改進(jìn)1. 針對問題二中取平板寬度為圓桌面的直徑，簡化模型時，降低模型精度的缺點(diǎn)，可以找出真正的半徑長度，即不對問題進(jìn)行簡化，從而提高模型的精度。2. 針對分層序列法限制下一個目標(biāo)優(yōu)化范圍的缺點(diǎn)，可以采用其改進(jìn)形式有寬容度的冷層序列法。7.3 模型的推廣該模型屬于數(shù)學(xué)描述模型和優(yōu)化模型的綜合模型。一方面，它將平面板通過創(chuàng)意折疊成桌子，節(jié)省空間，因此從節(jié)省空間角度，我們可以嘗試對各種物品進(jìn)行折疊得到可代替立體的物品，比如說折疊椅、折疊床、折疊自行車方便人們的生活。另一方面它將立體物品數(shù)學(xué)描述化，因此可進(jìn)行3d實物仿真，得到更具仿真度的計算機(jī)模擬方式，

41、比如說蛋白質(zhì)折疊7。參考文獻(xiàn)1 robert van embricqs.平板折疊邊桌，www.robert van embricqs,2012年. 2 楊竹茶,張陽春.直紋曲面的一種近似展開法,常德師范學(xué)院學(xué)報,11卷第3期,1999年9月.3 崔恒忠,曹資,劉景園,薛素鐸等.可展開折疊式空間結(jié)構(gòu)模型試驗研究,空間結(jié)構(gòu),3卷第1期,1997年2月.4 蔡國梁,李玉秀,王世環(huán).直紋曲面的性質(zhì)及其在工程中的應(yīng)用,數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,38卷第8期,2008年4月.5 趙洪斌,吳知豐,謝禮立.自鎖式平板折疊網(wǎng)架折展過程參數(shù)設(shè)計,哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報,39卷第8期,2007年8月.6 周品,趙新芬.matl

42、ab數(shù)學(xué)建模與仿真m,國防工業(yè)出版社,70-72,2009年1月.7 張菁,張?zhí)祚Y.蛋白質(zhì)折疊過程模型,應(yīng)用科技,38卷第7期,2011年7月.附錄1運(yùn)行環(huán)境：電腦配置運(yùn)行軟件版本處理器：amd athlon ii 雙核coreldraw x4內(nèi)存：1.75g幾何畫板硬盤：500g，7200轉(zhuǎn)/分matlab7.0.1軟件環(huán)境：windows xpvisio 2003程序：2問題一的程序，功能：%問題一的桌面動態(tài)顯現(xiàn)（通過對h值的改動實現(xiàn)） 文件名：test.m%問題一的桌面動態(tài)顯現(xiàn)，通過對h值的改動實現(xiàn)clcclearx=-25:2.5:-2.5,0,2.5:2.5:25,25:-2.5:2

43、.5,0,-2.5:-2.5:-25;%x軸坐標(biāo)即木條坐標(biāo)for i=1:42 if x(i)=0 y(i)=25.3;%對偶數(shù)根進(jìn)行處理 end y(i)=sqrt(25.3)2-x(i)2); t(i)=60-y(i);%桌腿每木條長 u(i)=2*y(i);%圓桌面每木條長end%最終形態(tài)h=50;%通過改動此h值觀察動態(tài)變化過程分別將h改為0,20,40l=2*(sqrt(t(1)2-h2)/2+y(1);for i=1:42 if(u(i)<l) tan(i)=2*h/(l-u(i); m(i)=sqrt(h/2)2+(l-u(i)/2)2); else tan(i)=2*h/

44、(u(i)-l); m(i)=sqrt(h/2)2+(u(i)-l)/2)2); end a(i)=atan(tan(i);%theta if (u(i)<l) yg(i)=y(i)+t(i)*cos(a(i); else yg(i)=y(i)-t(i)*cos(a(i); end if i>21 yg(i)=-yg(i); y(i)=-y(i); end z(i)=t(i)*sin(a(i); if(z(i)<=0) z(i)=-z(i); endendplot3(x(1:21),yg(1:21),z(1:21),'-');hold onplot3(x(22

45、:42),yg(22:42),z(22:42),'-');hold onzr(1:42)=0;plot3(x(1:21),y(1:21),zr(1:21);hold onplot3(x(22:42),y(22:42),zr(22:42);hold onfor i=1:42 p=x(i),x(i),q=y(i),-y(i),w=zr(i),zr(i); plot3(p,q,w,'-'); hold onendfor i=1:42 p=x(i),x(i),q=yg(i),y(i),w=z(i),zr(i); plot3(p,q,w,'-');enda

46、xis auto3問題一的程序，功能：求木條開槽長度 文件名：mutiaokaicaochangdu.m%求木條開槽長度clcclearx=2.5:2.5:25;for i=10:-1:1y(i)=sqrt(25.3)2-x(i)2);z(i)=60-y(i);%桌腿每木條長u(i)=2*y(i);%圓桌面每木條長t(i)=z(i)-z(10)/2;%鋼槽初始位置end%最終形態(tài)h=50;l=sqrt(z(10)2-h2)+u(10);for i=1:10 if(u(i)<l) m(i)=sqrt(h/2)2+(l-u(i)/2)2); else m(i)=sqrt(h/2)2+(u(i

47、)-l)/2)2); end m(i)=m(i)-t(i); if m(i)<0 m(i)=-m(i); endendfor i=11:20 m(i)=m(21-i); mi(i-10)=m(i); mi(i)=m(i-10);%mi為一邊的開槽長度end4.問題二的程序，功能：計算鋼筋位置q、取整后s和平板材料長度v以及每根槽長mg文件名：jisuangangjinhegunc.m%計算鋼筋位置q、取整后s和平板材料長度v，以及每根槽長mgclcclearx=-40:2.5:-2.5,0,2.5:2.5:40,40:-2.5:2.5,0,-2.5:-2.5:-40;h=70;d=80;

48、for i=66:-1:1 y(i)=sqrt(40)2-x(i)2); if x(i)=40|x(i)=-40 y(i)=sqrt(40.5)2-x(i)2);%對偶數(shù)根進(jìn)行處理 end q=sqrt(h2+(2/3*d-4/3*y(1)2); e=q+y(1); t(i)=e-y(i);%桌腿每木條長 u(i)=2*y(i);%圓桌面每木條長endw=0;h=70;r=40;for p=70:1:h*sqrt(3)*2/3 for q=(h+r-p-12.689)/h:10:(p-r+12.689); max=sqrt(p2-h2)*q/p; if(max>w) w=max; g=c

49、eil(p);%最長桌腿 s=ceil(q);%鋼槽位置 end endendv=ceil(g+y(1)*2);l=(sqrt(t(1)2-h2)*2+u(1)*2)*s/g;%兩鋼槽距離for i=1:66 f(i)=t(i)-(g-s);%鋼槽初始位置 if(u(i)<l) tan(i)=2*h/(l-u(i); m(i)=sqrt(h*s/g)2+(l-u(i)/2)2); else tan(i)=2*h/(u(i)-l); m(i)=sqrt(h*s/g)2+(u(i)-l)/2)2); end m(i)=m(i)-f(i); mi(i)=ceil(m(i); mg(i)=mi(

50、i)-m(i);endq svmg5問題二的程序，功能：問題二的桌面動態(tài)顯現(xiàn)（通過對h值的改動實現(xiàn)）文件名：test2.m%問題二的桌面動態(tài)顯現(xiàn)，通過對h值的改動實現(xiàn)clcclearh=70;%最終形態(tài)，可通過改動此h值觀察動態(tài)變化過程x=-40:2.5:-2.5,0,2.5:2.5:40,40:-2.5:2.5,0,-2.5:-2.5:-240;for i=1:66 if x(i)=40|x(i)=-40 y(i)=40.5;%對偶數(shù)根進(jìn)行處理 end y(i)=sqrt(40)2-x(i)2); t(i)=94-y(i);%桌腿每木條長 u(i)=2*y(i);%圓桌面每木條長endl=2

51、*(sqrt(t(1)2-h2)/2+y(1);for i=1:66 if(u(i)<l) tan(i)=2*h/(l-u(i); m(i)=sqrt(h/2)2+(l-u(i)/2)2); else tan(i)=2*h/(u(i)-l); m(i)=sqrt(h/2)2+(u(i)-l)/2)2); end a(i)=atan(tan(i);%theta if (u(i)<l) yg(i)=y(i)+t(i)*cos(a(i); else yg(i)=y(i)-t(i)*cos(a(i); end if i>33 yg(i)=-yg(i); y(i)=-y(i); end z(i)=t(i)*sin(a(i); if(z(i)<=0) z(i)=-z(i); endendplot3(x(1:33),yg(1:33),z(1:33),'-');hold onplot3(x(34:66),yg(34:66),z(34:66),'-');hold onzr(1:66)=0;plot3(x(1:33),