微積分2008年春第三次習(xí)題課_第1頁
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1、微積分（二）2008年春第三次習(xí)題課3月5日上午1-2節(jié) 方明一 作業(yè)點評整體來說，作業(yè)還是做的相當(dāng)不錯的，我這里只說一下大家做的不是很好的地方，需要表揚的就不說了。需要說的題目是：設(shè)在上連續(xù)且，證明在上恒等于0. 這個題目的證明應(yīng)該用反證法，這一點大家都想到了。不少同學(xué)用到了定積分的定義，說因為假設(shè)存在一點大于0，則由于函數(shù)的連續(xù)性，有上，則。這樣做其實是有問題的，因為積分是一個求和的極限，即使級數(shù)的每一項都大于0，其和的極限也不一定大于0.正確至少有兩種，一種假設(shè)，由函數(shù)的連續(xù)性知道存在區(qū)間在，則有。第二種做法是用到定積分的定義，不過用到的是下和，根據(jù)連續(xù)性知道存在一個剖分，使得，則，由下

2、和的單調(diào)性知道積分大于0，得出矛盾。這個題目在吉米上是有的。關(guān)于最后求近似值的那個題目，我是都給分了的，這個題目當(dāng)然是很簡單的，只不過你們都學(xué)過編程序了，有興趣的同學(xué)可以那這個練練手。二課堂知識回顧這次課主要復(fù)習(xí)廣義積分，我們先看定義。一種是具有無窮積分限的積分，如。對于前面一種情況，只要存在就說積分是收斂的，對于后面一種，我們要注意極限有兩種形式，如果是存在，我們稱之為柯西主值意義下收斂，如果存在，我們才說積分收斂，須知主值意義下的收斂并不能得出積分收斂。另一種是具有瑕點的瑕積分，類似的這也分瑕點在積分區(qū)間端點和瑕點在積分區(qū)間內(nèi)部兩種情況，對應(yīng)的也有柯西主值的概念。對于廣義積分，無論是牛頓-

3、萊布尼茲公式、分部積分還是換元積分法都是成立的，計算的時候直接使用就可以了。一個很重要的事情就是關(guān)于可積性的討論，我們分開來看。對于上的無窮積分，積分的收斂原理的本質(zhì)就是柯西收斂準(zhǔn)則，比較判別法是一個很自然的想法，這個可以得出絕對收斂。對于瑕積分也有類似的討論。無窮積分判別方法中的定理1就是比較判別法，定理2（DIRICHLET）很重要，它能夠很自然的回答這樣的積分的收斂性，定理3（ABEL）可以認(rèn)為是定理2的一個推論。瑕積分的判別方法與無窮積分完全對應(yīng)的得到，這里不再一一陳述。三典型題目1）無窮積分和瑕積分的計算（根據(jù)定義）例1.（根據(jù)定義）例2.（換元法）例3.（分部積分）例4. 2）積分收斂性的討論 判斷下列積分的收斂性 （比較判別法）例5. （DIRICHLET）例6. （分成幾個部分的情況） 例7.四習(xí)題課練習(xí)題

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