14第14講函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運(yùn)用“”和 “x ”語(yǔ)言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無(wú)窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無(wú)窮小量間的關(guān)系。 掌握無(wú)窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會(huì)判斷函數(shù) 間斷點(diǎn)的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

2、的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。 理解冪級(jí)數(shù)的基本概念。掌握冪級(jí)數(shù)的收斂判別法。第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性第六節(jié) 冪 級(jí) 數(shù)一. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二. 冪級(jí)數(shù)及其斂散性三. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義設(shè)有一函數(shù)序列 , )( , , )( , )(21xuxuxun , ), 2 , 1( )( , 則稱上有定義在區(qū)間其中iixui)()()( )(211xuxuxuxuinn為定義在區(qū)間 i 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(10就是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nnxu)()()( )(211xuxuxuxuinn函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 可以利用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的知識(shí)來(lái)處理函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 , 0時(shí)若i

3、x , )(10收斂nnxu10)( nnxux 為則稱的收斂點(diǎn) . , 0時(shí)若ix , )(10發(fā)散nnxu10)( nnxux 為則稱的發(fā)散點(diǎn) . . , )( 1ixxunn設(shè)有合稱為的所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集 )(1nnxu它的收斂域, 記為 d .合稱為的所有發(fā)散點(diǎn)構(gòu)成的集 )(1nnxu它的發(fā)散域 .則有的收斂點(diǎn)為若 , )( 10nnxux3. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)100)()(nnxuxs稱函數(shù)上的收斂域在于是 , )( , 1dxunn) ( )()(1dxxuxsnn為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)之和為其部分和：nkknxuxs1)()(不論級(jí)數(shù)在點(diǎn)0 xx 處是否

4、收斂, 均可寫(xiě)出其部分和.如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)0 xx 處收斂, 則有 ).()(lim00 xsxsnn4. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法, 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.特別注意比較判別法的應(yīng)用. , , )( sin 12的斂散性判別rxnnxn并求其收斂域.)( 1 sin 22rxnnnx , 2 1 12級(jí)數(shù)的是又ppnn, , 它收斂時(shí)當(dāng)rx, )( sin 12收斂故rxnnxn即原級(jí)數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上是絕對(duì)收斂的.所求收斂域?yàn)? ,(解解例例1 1 20nnnxxxx判別的斂散性, 并求其收斂域.這是等比級(jí)數(shù). 11)( , , 1 | xxsx其和為級(jí)數(shù)收斂時(shí)

5、當(dāng). , 1 | 級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)當(dāng)x故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? . ) 1 , 1(x要打開(kāi)思路!解解例例2, )()( 1ixxsxunn如果? ) ()( , ) ()( icxsicxun則若 )(lim)(lim 01100？dxxuxunnxxnnxx幾個(gè)問(wèn)題幾個(gè)問(wèn)題在級(jí)數(shù)一致收斂的條件下, 以上兩個(gè)問(wèn)題的答案是: 肯定成立 .5. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性一致收斂性的定義一致收斂性的定義 ),( , )( 1xsdxunnn其部分和函數(shù)為的收斂域?yàn)樵O(shè) ).( xs和函數(shù)為有時(shí)當(dāng)若 , , )( , 0 nnnn , , | )()(|dxxsxsn ).( )( 1xsdxunn上一致收斂于在

6、則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) .) )(,(的正整數(shù)為只依賴于表示其中nn由定義: 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂則必收斂. 由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)以及和函數(shù)都是定義在收斂域 d 上的函數(shù), 故可以運(yùn)用函數(shù)極限中的柯西準(zhǔn)則來(lái)判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性.請(qǐng)看書(shū)中的柯西收斂原理! 魏爾斯特拉斯利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法創(chuàng)建了一個(gè)十分有用和十分重要的一致收斂判別法魏爾斯特拉斯判別法.魏爾斯特拉斯判別法魏爾斯特拉斯判別法 : )( 1上滿足在區(qū)間若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ixunn ; , | )(| , , 0 ) 1 (ixaxunnnnn時(shí)當(dāng) , )2(1收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)nna . )( 1上一致收斂在則ixunn關(guān)鍵! . )( 11

7、的優(yōu)級(jí)數(shù)為通常稱nnnnxua證證例例3 . ),( sin 122上一致收斂在證明nxnnx , 1 有時(shí)因?yàn)楫?dāng)n, , 2 1 12是收斂的級(jí)數(shù)的為優(yōu)級(jí)數(shù)ppnn ,法可知故由魏爾斯特拉斯判別 . ),( sin 122上一致收斂在nxnnx ),( ,11 sin 22222xnxnxnnxnnnnnxaxaxaaxa22100 形如的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù), 其中, ) , 2 , 1 , 0( nan常數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù). , ）（冪級(jí)數(shù)的定義域?yàn)?. 冪級(jí)數(shù)的定義冪級(jí)數(shù)的定義二. 冪級(jí)數(shù)及其斂散性冪級(jí)數(shù)的一般形式為00)(nnnxxa )()(0010nnxxaxxaa . ,0為一定點(diǎn)其

8、中 x , 0準(zhǔn)形式則可將它化為前面的標(biāo)令xxx000)(nnnnnnxaxxa當(dāng)冪級(jí)數(shù)收斂時(shí), 由0)()(limxsxsnn可知, 不論“和函數(shù)”多么復(fù)雜, 我們可以用多項(xiàng)式來(lái)近似它. 當(dāng) n 的值充分大時(shí), 這種代替可達(dá)到相當(dāng)?shù)木?nkkknxaxs0)( ,10nnxaxaa . 1的部分和稱為nnnxa由此可聯(lián)想到什么？2. 冪級(jí)數(shù)的斂散性首先進(jìn)行分析：, 0 00處收斂在設(shè)xxxannn則由收斂的必要條件 , 有 . 0lim0nnnxa而有極限的量必有界 , 故 . 0有界nnxa , 0 使得即m) , 2 , 1 , 0( |0nmxann0 0 xnnnnnnxxmxxx

9、axa | 000, | | 0時(shí)當(dāng)xx 0 0 , 1 nnxxm的等比級(jí)數(shù)是公比小于它是收斂的, . | , 0收斂級(jí)數(shù)從而nnnxa. , | | 00是絕對(duì)收斂的冪級(jí)數(shù)時(shí)即當(dāng)nnnxaxx , 00處收斂在點(diǎn)若xxannn. ) | , |( 000內(nèi)絕對(duì)收斂在區(qū)間則xxxannn結(jié)論結(jié)論:（）ox|0 x|0 x0 x0 x收斂 0.(0) , 0 1sxxannn且處當(dāng)然收斂在以上分析結(jié)論的圖示以上分析結(jié)論的圖示: . 0 00處發(fā)散在設(shè)xxxannn（）ox|0 x|0 x0 x0 x發(fā)散若在外部一點(diǎn)收斂, 會(huì)怎么樣？處收斂在 0 x若在內(nèi)部一點(diǎn)收斂, 會(huì)怎么樣？不怎么樣. 0

10、00處發(fā)散在設(shè)xxxannn, | | , 011xxx滿足若, 01收斂使得nnnxa則由上面的分析可知, 所有滿足的 | |1xx , , 0收斂級(jí)數(shù)處點(diǎn)nnnxax在故級(jí)數(shù)0 nnnxa. 0處收斂點(diǎn) x這與假設(shè)矛盾. 該矛盾說(shuō)明: 當(dāng), | |0時(shí)xx 原級(jí)數(shù)發(fā)散 .由以上的分析發(fā)現(xiàn)：內(nèi)在如果冪級(jí)數(shù) ) ,( 0nnnxa既有收斂點(diǎn), 又有發(fā)散點(diǎn), 則從坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始沿?cái)?shù)軸往右(左)走, 最初只可能遇到它的收斂點(diǎn) ,然后就會(huì)只遇到它的發(fā)散點(diǎn), 這兩部分的分界)( pp點(diǎn)是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的, 冪級(jí)數(shù)在分界點(diǎn)處可能收斂, 也可能發(fā)散.現(xiàn)將以上的分析用圖表示出來(lái).（）ppxo收發(fā)rr冪級(jí)數(shù)在

11、一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間) ,(rr內(nèi)收斂, 在此區(qū)間外發(fā)散 , 在區(qū)間端點(diǎn)處冪級(jí)數(shù)可能收斂 , 也可能發(fā)散 . , , 為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間）（此時(shí)稱rr. 稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑r當(dāng)冪級(jí)數(shù)僅在. 0 , 0rx則規(guī)定取處收斂 現(xiàn)在請(qǐng)你回想并歸納一下我們剛才進(jìn)行的分析工作, 給出你的結(jié)論.阿貝爾定理,0 000）處收斂（在若冪級(jí)數(shù)xxxxannn. , | | 0冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂值的則對(duì)任何滿足xxx 則對(duì)任處發(fā)散在若冪級(jí)數(shù) , 00 xxxannn. , | | 0冪級(jí)數(shù)均發(fā)散值的任何滿足xxx 冪級(jí)數(shù)斂散性定理, 0nnnxa對(duì)任何一個(gè)冪級(jí)數(shù)都存在一個(gè)非負(fù)使數(shù) ),0( rr ; , )

12、 ( | 冪級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)此時(shí)當(dāng)rrx; , | 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂）時(shí)（包括當(dāng)rrx. , , | 也可能發(fā)散冪級(jí)數(shù)可能收斂時(shí)當(dāng)rx冪級(jí)數(shù)的收斂半徑我們稱上述定理中的非負(fù)數(shù) r 為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.0nnnxa. 0 , 0 rx規(guī)定處收斂時(shí)當(dāng)冪級(jí)數(shù)僅在. , ) ,( r規(guī)定內(nèi)收斂時(shí)當(dāng)冪級(jí)數(shù)在 如何求收斂半徑？求收斂半徑的定理). ), 2 , 1 , 0( 0 ( 0naxannnn設(shè)有冪級(jí)數(shù).1 ,|lim 1raannn則其收斂半徑為若. 0 , ; , 0 ,rr取時(shí)取時(shí)其中 你能證明嗎? 有點(diǎn)像達(dá)朗貝爾判別法？,)( nnnxaxu令由達(dá)朗貝爾判別法：|lim|lim| )(| )(|l

13、im111nnnnnnnnnnnaxaxaxaxuxu|lim|1xaaxnnn討論要證證| )(| )(|lim1xxuxunnn, 0, ) 1 (時(shí)當(dāng) , | )(| , 1 |00收斂時(shí)nnxux. , 1 | 0絕對(duì)收斂時(shí)當(dāng)即冪級(jí)數(shù)xxannn , | )(| , 1 |0發(fā)散時(shí)nnxux. , 1 | 0發(fā)散時(shí)當(dāng)即冪級(jí)數(shù)xxannn.1 r故, 0 )2(時(shí)當(dāng), 10| , ) ,(xx均有. ) ,( 0上收斂在故冪級(jí)數(shù)nnnxa. r故| )(| )(|lim1xxuxunnn, )3(時(shí)當(dāng) , ) , 0()0 ,(均有x1|lim| )(| )(|lim11nnnnnnaa

14、xxuxu故此時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散, 僅當(dāng). 0時(shí)收斂x. 0 r故| )(| )(|lim1xxuxunnn . 1和絕對(duì)收斂區(qū)間的收斂半徑及收斂區(qū)間求nnnx ,1nan11lim|lim1nnaannnn1r ).( , 1 , 111調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)nnnnnxx1例例3解解 . )( , ) 1( , 111由交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂時(shí)nnnnnnxx綜上所述, 得:, 1 r收斂半徑1), , 1 收斂區(qū)間1). , 1 （絕對(duì)收斂區(qū)間. )5( 1的收斂區(qū)間求nnnx , 5 則令 xy11)5(nnnnnynx1111lim|lim1nnaannnn誰(shuí)的收斂半徑？11r例例4解解. 1 1ynnrn

15、y的收斂半徑為故151 x由64 x, 4 時(shí)當(dāng)x111) 1()54( )5(nnnnnnnnnx由交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法, 可知此時(shí)級(jí)數(shù)收斂., 6 時(shí)當(dāng)x1111)56( )5(nnnnnnnnx. , 21 發(fā)散級(jí)數(shù)的這是pp. )6 , 4 )5( 1的收斂區(qū)間為故nnnx. 12的收斂區(qū)間求nnxn1212 , 1 nnnnynxnxy則令1|) 1( |lim|lim 221nnaannnn因?yàn)? 1 ,yr所以. , 11 12收斂時(shí)當(dāng)nnyny, 111 x故. , 1 1 12收斂時(shí)或即nnxnxx例例5解解 : 1 處的情形下面討論x由級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 可知. ) 1( ,

16、11212發(fā)散時(shí)nnnnnxnx. , 11212發(fā)散時(shí)nnnnxnx綜上所述, . ) , 1 () 1 ,( 12的收斂區(qū)間為nnxn. ! ) 12() 1( 012的收斂區(qū)間求nnnnx這是一個(gè)缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù), 不能直接運(yùn)用求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的計(jì)算公式. 今后遇到這類級(jí)數(shù)應(yīng)該按照函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的情形處理, 通常是采用達(dá)朗貝爾判別法.! ) 12() 1()( 12nxxunnn令, 0)22)(32(1lim|lim21nnxuunnnn .rx. ) ,( 內(nèi)絕對(duì)收斂故原級(jí)數(shù)在例例6解解 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的解析運(yùn)算三. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)冪級(jí)數(shù))(22100 xfxaxaxaaxannnnn) ,(11rrx)(22100 xgxbxbxbbxbnnnnn) ,(22rrx, 0 , ,21為收斂半徑式中rr則有以下運(yùn)算規(guī)則1. 加、減法, ,min 21rrr 取中則在 ) ,( rr000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa)()(xgxf2. 乘 法 ( 對(duì)角線法 ), ,min 21rrr 取中則在 ) ,( rr00nnnnnnxbxa)()(xgxf0011110)(nnnnnnxbabababa0a0a0a0a1a1a1a1a2a2a2a2a3a3a3a3a