3多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的求導法則

1、3 3復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)一、多元復合函數(shù)的導數(shù)一、多元復合函數(shù)的導數(shù)( (鏈式法則鏈式法則) ),(),(yxyxfz ),(yxu ),(yxv xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 定理：定理：),(vufz uvxzy鏈式法則鏈式法則如圖示如圖示 xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv ),(),(yxyxfz ),(yxu ),(yxv ),(vufz zwvuyx),(),(),(yxwyxyxfz ),(yxu ),(yxv ),(yxww xwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz wvufz, )(tu )(tv

2、),(vufz )(),(ttfz dtdz),(),(yxyxfz ),(yxu ),(yxv xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz ),(vufz vz tz dtdv uz dtdu解解 xz uzxu vzxv )cossin(vvyeu yz uzyu vzyv )cossin(vvxeu 1 veusin y veucos x veusin veucos1解解 xz uzxu vzxv u2x4 yz uzyu vzyv y4 1 v21 u2)1( v21解解 xz uzxu vzxv vu ln2 222233232y)yx(xy)x(lnyx yz uzyu vzyv

3、)(vu)yx(vlnu2222 2232232232y)yx(xy)x(lnyx 例例3 設設vuzln2 ,而而yxvyxu23, ,求求yzxz ,3 y1 vu2解解tzdtdvvzdtduuzdtdz v ttetettcossincos tttetcos)sin(cos xz uzxu vzxv te u tsin tcos 解解dxdzzudxdyyuxudxdu 12az)(yaeax xz uzxu vzxv 12 aeax)sin(x xacos )1(2 aeax例例5 5 設設,12 az)(yeuax,sin xay xcosz ? dxdu解解xz yz xf21

4、例例6 設設),(22xyeyxfz ,而而,22xyevyxu 求求yzxz , xz uzxu vzxv xyyef 2xyxef 2 yf21 解解 xz uzxu vzxv xvvwxuuwxw yf11 yvvwyuuwyw )yx(f21 zvvwzuuwzw 01 f02 fzf12 )zy(f22 解解 xz uzxu vzxv xvvmxvvmxuumxm 11 f01 fyvvmyvvmyuumym zvvmzvvmzuumzm 02 fyf 2yzf 3xf 2xzf 3xyf 301 f例例8 8 設設, )f(x,xy,xyzm xyzxy,wx,vu zm,ym,x

5、m 求求例例9 已知已知,xyxf(u),uxyz 證明：證明：.xyzyzyxzx xzf(u)y yz x 左左= )(2xy(u)fxf(u)yx1)(xufxxy )(2uxfxy xyz =右右得證得證)xy(u)fx2 x(u)fx1 證：證：解解 令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf 1f ;2fyz zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw212

6、11fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 例例11. ),(22xyzx xzyyxfyz 驗證驗證設設證證,)(0 22xyxfxz ,)(1 22yyxfyz .,)( 22的偏導的偏導對對下求下求yxyxf .,)()(22的復合函數(shù)的復合函數(shù)是是則則yxufyxf ,22yxu 記記,2 xufxf ).2( yufyf yzxxzy 從而從而)21()2(dudfyxdudfxy dudfxyxdudfxy22 = x,2 ,ufxxz 故故.21 ufyyz 設設 z = f (u, v)可微可微, 當當 u, v 為自變量

7、時為自變量時, 有有vvzuuzzddd若若 u, v 不是自變量不是自變量, 而是中間變量而是中間變量, 是是否仍有這一形式否仍有這一形式?設設 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微均可微, 則則z = f (u (x, y), v (x, y), yyzxxzzddd二、全微分的形式不變性二、全微分的形式不變性由鏈式法則由鏈式法則,xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz代入代入,得中,dddyyzxxzzz = f (u (x, y), v (x, y)yyvvzyuuzxxvvzxuuzzdddyyvxxvvzyyuxxuuzddddvvzuuzdd即即:不論不

8、論u, v是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, z = f (u, v)的全微分的形式不變的全微分的形式不變.解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例14 用全微分形式不變性求用全微分形式不變性求解解 記記 u = xy ,d),(zxyxyfz的全微分.,yzxz并求偏導,xyv 從而從而 z = f (u, v).vfufzddd21xyfxyfd)(d21221dd)dd(xxyyxfxyyxfyfxf xxfxy

9、f yd1d21221從而從而,221fxyf yxz211fxf xyz隱函數(shù)求導法隱函數(shù)求導法方法方法: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導. 一元函數(shù)：一元函數(shù)： f(x, y) = 0注意注意： y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)y=f(x), 然后解出然后解出 y .(1)是否任何一個二元方程是否任何一個二元方程 f(x, y) = 0. 都都確定了確定了y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)(單值單值)?如如 x2 + y2 = 1. 什么條件下確定什么條件下確定 y = f (x)?(2)若方程確定若方程確定y = f (x). 它是否可導它是否可導? 給出一般的求導公式給出一般的求導公式.(3)三

10、元三元(以上以上)方程方程f(x, y, z) = 0. 的情形怎樣的情形怎樣?問題問題:設函數(shù)設函數(shù)f(x, y) 在點在點 x0 = (x0, y0)的鄰域的鄰域u(x0)內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù)內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù).一、方程一、方程f(x, y) = 0且且f (x0, y0) = 0,. 0,()00yxfy則方程則方程 f(x, y) = 0在點在點 x0 = (x0, y0)的某鄰域內(nèi)唯的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的一確定一個有連續(xù)導數(shù)的(單值單值)函數(shù)函數(shù) y = f (x),它滿足它滿足 y0 = f (x0). 且且.ddyxffxy (隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理) 定理定理1隱函數(shù)的

11、求導公式隱函數(shù)的求導公式例例1. 方程方程 x2 + y2 1= 0,當當x = 0時時, y = 1.dd0 xxy求求法法1. x2 + y2 = 1兩邊對兩邊對 x 求導求導, y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù), yxy 解得解得. 00 xy2x+2y y = 0法法2. f (x, y) = x2 + y2 1yfxfyx2 ,2 yxffxyyx dd 從從而而0dd0 xxy解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx 定理定理1可推廣到方程中有多個變量的情形可推廣到方程中有多個變量的情

12、形.二、方程二、方程 f(x, y, z) = 0設三元函數(shù)設三元函數(shù) f(x, y, z) 在在 x0=(x0, y0, z0)的鄰的鄰域域 u(x0)內(nèi)有連續(xù)編導，內(nèi)有連續(xù)編導，f(x0, y0, z0)=0, fz(x0, y0, z0) 0, 則在則在 x0 的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)偏的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)偏導的函數(shù)導的函數(shù) z = f (x, y), 滿足滿足 z0=f (x0, y0), 且且zyzxffyzffxz , 定理定理2例例3. , 2)3sin(yzxzz yzx- 求求設設法法1. 記記 f(x, y, z) = sin(x 3z) 2y z有有 fx =

13、 cos(x 3z),故故zxffxz 1)3cos(3)3cos( zxzxzyffyz 1)3cos(32 zxfy = 2, fz = 3cos(x 3z) 1 法法2： sin(x 3z) =2y +z. ,yzxz求兩邊對兩邊對 x 求偏導，求偏導，z 是是 x 的函數(shù)，的函數(shù)，y看作常數(shù)看作常數(shù).)3cos(zx)3cos()3cos(31 zxzxzx解得解得:)3cos(31)3cos(zxzxzx類似得類似得)3cos(312zxzyxz)31 (xz解令令則則,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfz,2zxffxzzx 22xz 2)2()2(zxzx

14、z 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例5 5 設設,czbyax1222222 求求.yz,xz 令令,czbyaxx,y,zf1)(222222 ,axfx22 ,byfy22 22czfz zxffxz zaxc22 zyffyz zbyc22 例例6 設設, zyxz)y(xsin32322 求求.yzxz1 令令zyxzyxsinx,y,zf32)32(2)( 1)32(2 zyxcosfx22)32(2 zyxcosfyxf2 33)()32(2 zyxcosfzxf-3 zyzxffffyzxz . 13231 例例7 設設0)( zy,xzf且且f具有連

15、續(xù)的一階具有連續(xù)的一階法法1 )(x,y,zf)(21xzffx )(1221zyfxffz zxffxz 確定確定),(x,yzz 偏導數(shù)偏導數(shù),求求.yz,xz 令令)(zy,xzfzy,vxz,uu,vf )(zffy12 221213yfxfxzfz zyffyz 2122xyffzxzf 例例7 設設0)( zy,xzf且且f具有連續(xù)的一階具有連續(xù)的一階法法2確定確定),(x,yzz 偏導數(shù)偏導數(shù),求求.yz,xz 等式兩邊對等式兩邊對x求偏導求偏導zy,vxz,uu,vf )( xz uzxu vzxv 02221 zxzyfxzxxzf221212yfxfxzfzxz 例例7 設

16、設0)( zy,xzf且且f具有連續(xù)的一階具有連續(xù)的一階法法3 3確定確定),(x,yzz 偏導數(shù)偏導數(shù),求求.yz,xz 利用一階全微分形式不變性利用一階全微分形式不變性0)()(21 xydfxzdf02221 zydzzdyfxzdxxdzfdyxyffz-xzfdxyfxfxzfzdz2122221212 xz yz 思路：思路：xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff )1(0 yxfu),(yxyzxzfv 解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函

17、數(shù)對的函數(shù)對z求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 例例9 設方程設方程f(x2+y2+z2, sinxy)=0, f c1, 求求. ,yzxz方法方法1(公式法公式法): 方程左邊是方程左邊是x, y, z的復合函數(shù)的復合函數(shù)用鏈式法則求用鏈式法則求fx , fy , fz .fx = f 1 ,2cos2121zfxyfyxfxzfy = f 1 fz = f 1 1212cos2zfxyfxyfyz= 2xf 1+ ycosxy f 22x +f 2 cosxy y= 2yf 1+ xcosxy f 22y +f

18、2 cosxy x= 2zf 12z +f 2 0方法方法2 方程方程 f(x2+y2+z2, sinxy)=0兩邊對兩邊對 x 求偏導求偏導. 其中其中 z 是是 x 的函數(shù)的函數(shù), y看作常量看作常量.= 0,2cos2121zfxyfyxfzx解得解得:,2cos2121zfxyfxyfzyf 1 (2x+2z zx )+ f2 cosxy y例例10 設設 z = z(x, y) 是由方程是由方程 x+y+z= (x2+y2+z2)所確所確定的函數(shù)定的函數(shù), 其中其中 c1，證明，證明 z = z(x, y) 滿足滿足yxyzxzxzzy)()(證證 記記 f (x, y, z) = x+y+z (x2+y2+z2),u = x2+y2+z2,有有 f x = 1 f z =