【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修二：全冊(cè)作業(yè)與測(cè)評(píng) 課時(shí)提升作業(yè)(二十五) 4.1.2

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料課時(shí)提升作業(yè)(二十五)圓的一般方程(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.m(3,0)是圓x2+y2-8x-2y+10=0內(nèi)一點(diǎn),則過(guò)m的最長(zhǎng)的弦所在的直線(xiàn)方程是()a.x+y-3=0b.x-y-3=0c.2x-y-6=0d.2x+y-6=0【解析】選b.由題意,過(guò)m(3,0)的最長(zhǎng)的弦所在的直線(xiàn)為直徑.x2+y2-8x-2y+10=0的圓心為(4,1),所以所求直線(xiàn)斜率為1-04-3=1,故所求直線(xiàn)方程為y-0=x-3,即x-y-3=0.2.(2015·西寧高一檢測(cè))已知圓的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么經(jīng)過(guò)圓心的一條直線(xiàn)的

2、方程是()a.2x-y+1=0b.2x+y+1=0c.2x-y-1=0d.2x+y-1=0【解析】選b.把x2+y2-2x+6y+8=0配方得(x-1)2+(y+3)2=2,圓心為(1,-3),直線(xiàn)2x+y+1=0過(guò)圓心.【補(bǔ)償訓(xùn)練】將圓x2+y2-2x-4y+1=0平分的直線(xiàn)是()a.x+y-1=0b.x+y+3=0c.x-y+1=0d.x-y+3=0【解析】選c.因?yàn)閳A心是(1,2),所以將圓心坐標(biāo)代入各選項(xiàng)驗(yàn)證知選c.3.(2015·張掖高一檢測(cè))若圓x2+y2+dx+ey+f=0與x軸切于原點(diǎn),則()a.d=0,e=0,f0b.f=0,d0,e0c.d=0,f=0,e0d.e

3、=0,f=0,d0【解析】選c.由于(0,0)在圓上,代入圓的方程可得f=0;因?yàn)閳Ax2+y2+dx+ey+f=0與x軸切于原點(diǎn),所以圓心的橫坐標(biāo)為0,即-d2=0,所以d=0;由d2+e2-4f>0,可得e2>0,所以e0.4.已知圓c過(guò)點(diǎn)m(1,1),n(5,1),且圓心在直線(xiàn)y=x-2上,則圓c的方程為()a.x2+y2-6x-2y+6=0b.x2+y2+6x-2y+6=0c.x2+y2+6x+2y+6=0d.x2+y2-2x-6y+6=0【解析】選a.設(shè)圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0,則圓心坐標(biāo)為-d2,-e2,由題設(shè)可得-e2=-d2-2,1+1+d+e+f=0

4、,25+1+5d+e+f=0,解得d=-6,e=-2,f=6,所以圓的方程為x2+y2-6x-2y+6=0.5.(2015·全國(guó)卷)已知三點(diǎn)a(1,0),b(0,3),c(2,3),則abc外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()a.53b.213c.253d.43【解析】選b.圓心在直線(xiàn)bc的垂直平分線(xiàn)即x=1上,設(shè)圓心d(1,b),由da=db得|b|=1+(b-3)2,解得b=233,所以圓心到原點(diǎn)的距離為d=12+2332=213.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2015·延安高一檢測(cè))圓x2+y2+2x-4y+m=0的直徑為3,則m的值為.【解析】由x2+y2+2x

5、-4y+m=0可得(x+1)2+(y-2)2=5-m,所以r=5-m=32,所以m=114.答案:1147.(2015·大理高一檢測(cè))在abc中,若頂點(diǎn)b,c的坐標(biāo)分別是(-2,0)和(2,0),中線(xiàn)ad的長(zhǎng)度是3,則點(diǎn)a的軌跡方程是.【解析】中點(diǎn)d(0,0),由于|ad|為定長(zhǎng)3,所以a點(diǎn)在以d為圓心,3為半徑的圓上,而a,b,c不共線(xiàn),即點(diǎn)a的縱坐標(biāo)不能為0,故圓的方程為x2+y2=9(y0).答案:x2+y2=9(y0)【補(bǔ)償訓(xùn)練】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p在圓x2+y2=2上運(yùn)動(dòng)時(shí),它與定點(diǎn)a(3,1)連線(xiàn)中點(diǎn)q的軌跡方程為.【解析】設(shè)q(x,y),p(a,b),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式x=a+32,y

6、=b+12,得a=2x-3,b=2y-1,點(diǎn)p(2x-3,2y-1)滿(mǎn)足圓x2+y2=2的方程,所以(2x-3)2+(2y-1)2=2,化簡(jiǎn)得x-322+y-122=12,此即為點(diǎn)q的軌跡方程.答案:x-322+y-122=128.abc三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是a(1,0),b(3,0),c(3,4),則該三角形外接圓方程是.【解析】易知弦ab中垂線(xiàn)方程為x=2,弦bc中垂線(xiàn)方程為y=2.兩中垂線(xiàn)交點(diǎn)(2,2)即為圓心,半徑r=(2-1)2+(2-0)2=5,所以該圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=5.答案:(x-2)2+(y-2)2=5三、解答題(每小題10分,共20分)9.求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)a(1

7、,-1),b(1,4),c(4,-2)的圓的一般方程.【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0,將a,b,c三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程,整理可得d-e+f=-2,d+4e+f=-17,4d-2e+f=-20,解得d=-7,e=-3,f=2.故所求的圓的一般方程為x2+y2-7x-3y+2=0.【延伸探究】本題中若點(diǎn)m(a,2)在abc的外接圓上,又如何求a的值?【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0,將a,b,c三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程,整理可得d-e+f=-2,d+4e+f=-17,4d-2e+f=-20,解得故所求的圓的一般方程為x2+y2-7x-3y+2=0.又因?yàn)辄c(diǎn)m(a,2)

8、在所求的圓上,故a2-7a=0,解得a=0或a=7.10.(2015·瀘州高一檢測(cè))已知圓o的方程為x2+y2=9,求過(guò)點(diǎn)a(1,2)的圓的弦的中點(diǎn)p的軌跡方程.【解題指南】設(shè)動(dòng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題意可知apop,利用兩直線(xiàn)的斜率的關(guān)系建立等式,求出中點(diǎn)p的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題意可知apop,當(dāng)ap垂直于x軸時(shí),p的坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)x=0時(shí),y=0,或y=2,當(dāng)x1且x0時(shí),kap·kop=-1.因?yàn)閗ap=y-2x-1,kop=yx,所以y-2x-1×yx=-1,即x2+y2-x-2y=0(x0且x1).點(diǎn)(1,0)

9、,(0,0),(0,2)適合上式.綜上所述,p點(diǎn)的軌跡是以12,1為圓心,以52為半徑的圓,其軌跡方程為x-122+(y-1)2=54.【補(bǔ)償訓(xùn)練】點(diǎn)a(2,0)是圓x2+y2=4上的定點(diǎn),點(diǎn)b(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn),p,q為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求線(xiàn)段ap的中點(diǎn)的軌跡方程.(2)若pbq=90°,求線(xiàn)段pq的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)設(shè)線(xiàn)段ap的中點(diǎn)為m(x,y),由中點(diǎn)公式得點(diǎn)p坐標(biāo)為p(2x-2,2y).因?yàn)辄c(diǎn)p在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故線(xiàn)段ap的中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.(2)設(shè)線(xiàn)段pq的中點(diǎn)為n(x,y),在rtpbq中,|pn

10、|=|bn|.設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn),連接on,則onpq,所以|op|2=|on|2+|pn|2=|on|2+|bn|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故線(xiàn)段pq的中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.若直線(xiàn)3x-4y+12=0與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為a,b,則以ab為直徑的圓的方程為()a.x2+y2+4x-3y=0b.x2+y2-4x-3y=0c.x2+y2+4x-3y-4=0d.x2+y2-4x-3y+8=0【解析】選a.設(shè)a(-4,0),b(0,3),ab=5,線(xiàn)段ab的中點(diǎn)的坐標(biāo)為-2,32,所以以ab為直徑的圓的圓心

11、為-2,32,半徑為52,所以圓的方程為x2+y2+4x-3y=0.2.(2015·大同高一檢測(cè))設(shè)a為圓(x-1)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),pa是圓的切線(xiàn)且|pa|=1,則p點(diǎn)的軌跡方程是()a.(x-1)2+y2=4b.(x-1)2+y2=2c.y2=2xd.y2=-2x【解題指南】由于切線(xiàn)長(zhǎng)、半徑和點(diǎn)p到圓心的距離構(gòu)成直角三角形,故可利用勾股定理求解.【解析】選b.由題意知,圓心(1,0)到p點(diǎn)的距離為2,所以點(diǎn)p在以(1,0)為圓心,以2為半徑的圓上,所以點(diǎn)p的軌跡方程是(x-1)2+y2=2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若圓m在x軸與y軸上截得的弦長(zhǎng)總相等,則圓心m的軌跡方程是()a.x-y=

12、0b.x+y=0c.x2+y2=0d.x2-y2=0【解析】選d.由題意,圓心m到x軸與y軸上的距離相等,所以|x|=|y|,即x2-y2=0.【誤區(qū)警示】此題由截得的弦長(zhǎng)總相等,可得圓心m到x軸與y軸上的距離相等,易出現(xiàn)x=y的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí),從而錯(cuò)選a.二、填空題(每小題5分,共10分)3.由方程x2+y2+x+(m-1)y+12m2=0所確定的圓中,最大面積是.【解析】所給圓的半徑長(zhǎng)為r=1+(m-1)2-2m22=12-(m+1)2+3.所以當(dāng)m=-1時(shí),半徑r取最大值32,此時(shí)最大面積是34.答案:344.(2015·鄭州高一檢測(cè))已知圓c:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2

13、a-1=0與直線(xiàn)l:x-y-1=0有公共點(diǎn),則a的取值范圍為.【解析】圓c:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2a-1=0的圓心坐標(biāo)為(a,-a),半徑r=1-2a,若圓c:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2a-1=0與直線(xiàn)l:x-y-1=0有公共點(diǎn),則1-2a>0,|2a-1|21-2a,解得a-12,12.答案:-12,12【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·太原高一檢測(cè))已知圓x2+y2-mx+y=0始終被直線(xiàn)y=x+1平分,則m的值為()a.0b.1c.-3d.3【解析】選c.圓心m2,-12在直線(xiàn)y=x+1上,所以-12=m2+1,解得m=-3.三、解答題(每小題10分,共

14、20分)5.(2015·玉林高一檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xoy中,設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(xr)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為c.求:(1)實(shí)數(shù)b的取值范圍.(2)圓c的方程.【解析】(1)令x=0,得拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)是(0,b);令f(x)=x2+2x+b=0,由題意b0且>0,解得b<1且b0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+dx+ey+f=0,令y=0得x2+dx+f=0.這與x2+2x+b=0是同一個(gè)方程,故d=2,f=b,令x=0得y2+ey+f=0,此方程有一個(gè)根為b,代入得出e=-b-1,所以圓c的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.6.已知圓c:x2+y2-4x-14y+45=0,及點(diǎn)q(-2,3).(1)p(a,a+1)在圓上,求線(xiàn)段pq的長(zhǎng)及直線(xiàn)pq的斜率.(2)若m為圓c上任一點(diǎn),求|mq|的最大值和最小值.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)p(a,a+1)在圓上,所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,p點(diǎn)坐標(biāo)為(4,5),所以|pq|=(4+2)2+(5-3)2=210,kpq=3