【人教A版】高中數(shù)學必修二：全冊作業(yè)與測評 課時提升作業(yè)(二十五) 4.1.2

1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料課時提升作業(yè)(二十五)圓的一般方程(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.m(3,0)是圓x2+y2-8x-2y+10=0內(nèi)一點,則過m的最長的弦所在的直線方程是()a.x+y-3=0b.x-y-3=0c.2x-y-6=0d.2x+y-6=0【解析】選b.由題意,過m(3,0)的最長的弦所在的直線為直徑.x2+y2-8x-2y+10=0的圓心為(4,1),所以所求直線斜率為1-04-3=1,故所求直線方程為y-0=x-3,即x-y-3=0.2.(2015·西寧高一檢測)已知圓的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么經(jīng)過圓心的一條直線的

2、方程是()a.2x-y+1=0b.2x+y+1=0c.2x-y-1=0d.2x+y-1=0【解析】選b.把x2+y2-2x+6y+8=0配方得(x-1)2+(y+3)2=2,圓心為(1,-3),直線2x+y+1=0過圓心.【補償訓練】將圓x2+y2-2x-4y+1=0平分的直線是()a.x+y-1=0b.x+y+3=0c.x-y+1=0d.x-y+3=0【解析】選c.因為圓心是(1,2),所以將圓心坐標代入各選項驗證知選c.3.(2015·張掖高一檢測)若圓x2+y2+dx+ey+f=0與x軸切于原點,則()a.d=0,e=0,f0b.f=0,d0,e0c.d=0,f=0,e0d.e

3、=0,f=0,d0【解析】選c.由于(0,0)在圓上,代入圓的方程可得f=0;因為圓x2+y2+dx+ey+f=0與x軸切于原點,所以圓心的橫坐標為0,即-d2=0,所以d=0;由d2+e2-4f>0,可得e2>0,所以e0.4.已知圓c過點m(1,1),n(5,1),且圓心在直線y=x-2上,則圓c的方程為()a.x2+y2-6x-2y+6=0b.x2+y2+6x-2y+6=0c.x2+y2+6x+2y+6=0d.x2+y2-2x-6y+6=0【解析】選a.設圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0,則圓心坐標為-d2,-e2,由題設可得-e2=-d2-2,1+1+d+e+f=0

4、,25+1+5d+e+f=0,解得d=-6,e=-2,f=6,所以圓的方程為x2+y2-6x-2y+6=0.5.(2015·全國卷)已知三點a(1,0),b(0,3),c(2,3),則abc外接圓的圓心到原點的距離為()a.53b.213c.253d.43【解析】選b.圓心在直線bc的垂直平分線即x=1上,設圓心d(1,b),由da=db得|b|=1+(b-3)2,解得b=233,所以圓心到原點的距離為d=12+2332=213.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2015·延安高一檢測)圓x2+y2+2x-4y+m=0的直徑為3,則m的值為.【解析】由x2+y2+2x

5、-4y+m=0可得(x+1)2+(y-2)2=5-m,所以r=5-m=32,所以m=114.答案:1147.(2015·大理高一檢測)在abc中,若頂點b,c的坐標分別是(-2,0)和(2,0),中線ad的長度是3,則點a的軌跡方程是.【解析】中點d(0,0),由于|ad|為定長3,所以a點在以d為圓心,3為半徑的圓上,而a,b,c不共線,即點a的縱坐標不能為0,故圓的方程為x2+y2=9(y0).答案:x2+y2=9(y0)【補償訓練】當動點p在圓x2+y2=2上運動時,它與定點a(3,1)連線中點q的軌跡方程為.【解析】設q(x,y),p(a,b),由中點坐標公式x=a+32,y

6、=b+12,得a=2x-3,b=2y-1,點p(2x-3,2y-1)滿足圓x2+y2=2的方程,所以(2x-3)2+(2y-1)2=2,化簡得x-322+y-122=12,此即為點q的軌跡方程.答案:x-322+y-122=128.abc三個頂點的坐標分別是a(1,0),b(3,0),c(3,4),則該三角形外接圓方程是.【解析】易知弦ab中垂線方程為x=2,弦bc中垂線方程為y=2.兩中垂線交點(2,2)即為圓心,半徑r=(2-1)2+(2-0)2=5,所以該圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=5.答案:(x-2)2+(y-2)2=5三、解答題(每小題10分,共20分)9.求經(jīng)過三點a(1

7、,-1),b(1,4),c(4,-2)的圓的一般方程.【解析】設圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0,將a,b,c三點的坐標代入方程,整理可得d-e+f=-2,d+4e+f=-17,4d-2e+f=-20,解得d=-7,e=-3,f=2.故所求的圓的一般方程為x2+y2-7x-3y+2=0.【延伸探究】本題中若點m(a,2)在abc的外接圓上,又如何求a的值?【解析】設圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0,將a,b,c三點的坐標代入方程,整理可得d-e+f=-2,d+4e+f=-17,4d-2e+f=-20,解得故所求的圓的一般方程為x2+y2-7x-3y+2=0.又因為點m(a,2)

8、在所求的圓上,故a2-7a=0,解得a=0或a=7.10.(2015·瀘州高一檢測)已知圓o的方程為x2+y2=9,求過點a(1,2)的圓的弦的中點p的軌跡方程.【解題指南】設動點p的坐標為(x,y),根據(jù)題意可知apop,利用兩直線的斜率的關(guān)系建立等式,求出中點p的軌跡方程.【解析】設動點p的坐標為(x,y),根據(jù)題意可知apop,當ap垂直于x軸時,p的坐標為(1,0),當x=0時,y=0,或y=2,當x1且x0時,kap·kop=-1.因為kap=y-2x-1,kop=yx,所以y-2x-1×yx=-1,即x2+y2-x-2y=0(x0且x1).點(1,0)

9、,(0,0),(0,2)適合上式.綜上所述,p點的軌跡是以12,1為圓心,以52為半徑的圓,其軌跡方程為x-122+(y-1)2=54.【補償訓練】點a(2,0)是圓x2+y2=4上的定點,點b(1,1)是圓內(nèi)一點,p,q為圓上的動點.(1)求線段ap的中點的軌跡方程.(2)若pbq=90°,求線段pq的中點的軌跡方程.【解析】(1)設線段ap的中點為m(x,y),由中點公式得點p坐標為p(2x-2,2y).因為點p在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故線段ap的中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.(2)設線段pq的中點為n(x,y),在rtpbq中,|pn

10、|=|bn|.設o為坐標原點,連接on,則onpq,所以|op|2=|on|2+|pn|2=|on|2+|bn|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故線段pq的中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.若直線3x-4y+12=0與兩坐標軸交點為a,b,則以ab為直徑的圓的方程為()a.x2+y2+4x-3y=0b.x2+y2-4x-3y=0c.x2+y2+4x-3y-4=0d.x2+y2-4x-3y+8=0【解析】選a.設a(-4,0),b(0,3),ab=5,線段ab的中點的坐標為-2,32,所以以ab為直徑的圓的圓心

11、為-2,32,半徑為52,所以圓的方程為x2+y2+4x-3y=0.2.(2015·大同高一檢測)設a為圓(x-1)2+y2=1上的動點,pa是圓的切線且|pa|=1,則p點的軌跡方程是()a.(x-1)2+y2=4b.(x-1)2+y2=2c.y2=2xd.y2=-2x【解題指南】由于切線長、半徑和點p到圓心的距離構(gòu)成直角三角形,故可利用勾股定理求解.【解析】選b.由題意知,圓心(1,0)到p點的距離為2,所以點p在以(1,0)為圓心,以2為半徑的圓上,所以點p的軌跡方程是(x-1)2+y2=2.【補償訓練】若圓m在x軸與y軸上截得的弦長總相等,則圓心m的軌跡方程是()a.x-y=

12、0b.x+y=0c.x2+y2=0d.x2-y2=0【解析】選d.由題意,圓心m到x軸與y軸上的距離相等,所以|x|=|y|,即x2-y2=0.【誤區(qū)警示】此題由截得的弦長總相等,可得圓心m到x軸與y軸上的距離相等,易出現(xiàn)x=y的錯誤認識,從而錯選a.二、填空題(每小題5分,共10分)3.由方程x2+y2+x+(m-1)y+12m2=0所確定的圓中,最大面積是.【解析】所給圓的半徑長為r=1+(m-1)2-2m22=12-(m+1)2+3.所以當m=-1時,半徑r取最大值32,此時最大面積是34.答案:344.(2015·鄭州高一檢測)已知圓c:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2

13、a-1=0與直線l:x-y-1=0有公共點,則a的取值范圍為.【解析】圓c:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2a-1=0的圓心坐標為(a,-a),半徑r=1-2a,若圓c:x2+y2-2ax+2ay+2a2+2a-1=0與直線l:x-y-1=0有公共點,則1-2a>0,|2a-1|21-2a,解得a-12,12.答案:-12,12【補償訓練】(2014·太原高一檢測)已知圓x2+y2-mx+y=0始終被直線y=x+1平分,則m的值為()a.0b.1c.-3d.3【解析】選c.圓心m2,-12在直線y=x+1上,所以-12=m2+1,解得m=-3.三、解答題(每小題10分,共

14、20分)5.(2015·玉林高一檢測)在平面直角坐標系xoy中,設二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(xr)的圖象與兩坐標軸有三個交點,經(jīng)過這三個交點的圓記為c.求:(1)實數(shù)b的取值范圍.(2)圓c的方程.【解析】(1)令x=0,得拋物線與y軸交點是(0,b);令f(x)=x2+2x+b=0,由題意b0且>0,解得b<1且b0.(2)設所求圓的一般方程為x2+y2+dx+ey+f=0,令y=0得x2+dx+f=0.這與x2+2x+b=0是同一個方程,故d=2,f=b,令x=0得y2+ey+f=0,此方程有一個根為b,代入得出e=-b-1,所以圓c的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.6.已知圓c:x2+y2-4x-14y+45=0,及點q(-2,3).(1)p(a,a+1)在圓上,求線段pq的長及直線pq的斜率.(2)若m為圓c上任一點,求|mq|的最大值和最小值.【解析】(1)因為點p(a,a+1)在圓上,所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,p點坐標為(4,5),所以|pq|=(4+2)2+(5-3)2=210,kpq=3