二重積分的概念和性質(zhì)11328

1、9.1 9.1 二重積分的概念和性質(zhì)二重積分的概念和性質(zhì) 在一元函數(shù)積分學(xué)中，我們已經(jīng)知道，定積分是在一元函數(shù)積分學(xué)中，我們已經(jīng)知道，定積分是定義在某一區(qū)間上的一元函數(shù)的某種特定形式的和式定義在某一區(qū)間上的一元函數(shù)的某種特定形式的和式的極限，由于科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展，需要計(jì)算的極限，由于科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展，需要計(jì)算空間形體的體積、曲面的面積、空間物體的質(zhì)量、重空間形體的體積、曲面的面積、空間物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量等，定積分已經(jīng)不能解決這類問題，另心、轉(zhuǎn)動慣量等，定積分已經(jīng)不能解決這類問題，另一方面，從數(shù)學(xué)邏輯思維的規(guī)律出發(fā)，必然會考慮定一方面，從數(shù)學(xué)邏輯思維的規(guī)律出發(fā)，必然會考慮

2、定積分概念的推廣，從而提出了多元函數(shù)的積分學(xué)問題積分概念的推廣，從而提出了多元函數(shù)的積分學(xué)問題 具體地說就是推廣到：定義在平面區(qū)域上的二元具體地說就是推廣到：定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)、定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù)、定義在一段平函數(shù)、定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù)、定義在一段平面曲線弧上的二元函數(shù)、定義在空間一段曲線弧上的面曲線弧上的二元函數(shù)、定義在空間一段曲線弧上的三元函數(shù)、定義在空間曲面上的三元函數(shù)，從而得到三元函數(shù)、定義在空間曲面上的三元函數(shù)，從而得到二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。這就是二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。這就是多元函數(shù)積分學(xué)的內(nèi)容。多元函數(shù)積分學(xué)的內(nèi)容。 . .

3、曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積: :以以xo oy面上有界閉區(qū)面上有界閉區(qū)域域d d為底，側(cè)面是以為底，側(cè)面是以d d為邊界曲為邊界曲線而母線平行于線而母線平行于z z軸的柱面軸的柱面, ,頂頂是曲面是曲面z=z=f( (x, ,y)(0)d)(0)d的立體的立體. .doz=f(x,y)xyziiinifv),(lim10柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點(diǎn)特點(diǎn)：平頂：平頂.曲頂柱體體積曲頂柱體體積=？doz=f(x,y)ixyz(i,i)求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(

4、yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量xyo),(iii.),(lim10iiniim 3二重積分的概念二重積分的概念定義定義 設(shè)設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域d上的有界函上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域數(shù)，將閉區(qū)域d任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i個小閉區(qū)域，個小閉區(qū)域，也表 示它 的 面積 ， 在每 個也表

5、示它 的 面積 ， 在每 個i 上 任取 一點(diǎn)上 任取 一點(diǎn)),(ii ，作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 d d 上的上的二重積分二重積分，記為記為 ddyxf ),(，即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 1. 1.若若f( (x, ,y) )在在閉區(qū)域閉區(qū)域d d上連續(xù)，則上連續(xù)，則f( (x, ,y) )在在d

6、d上可積上可積. .dyxfvd),( 2.2.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積: :dyxmd),(平面薄片的密度平面薄片的密度: :3.3.幾何意義幾何意義: : vdyxfd),(1)1)f( (x, ,y) ) 0,0,vdyxfd),( 2) 2) f( (x, ,y) ) 0,0,3) 3) 一般一般: :表示位于表示位于xoyxoy面上方及下方面上方及下方曲頂柱體曲頂柱體體積的代數(shù)和體積的代數(shù)和. .由二重積分的定義可知由二重積分的定義可知 若二重積分若二重積分 niiiidofdyxf1),(),(lim 存在存在則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點(diǎn)的取法無關(guān)，則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域

7、上點(diǎn)的取法無關(guān)，故可采用一種便于計(jì)算的劃分方式故可采用一種便于計(jì)算的劃分方式 在直角坐標(biāo)系下，用平行于坐標(biāo)軸的直線族把在直角坐標(biāo)系下，用平行于坐標(biāo)軸的直線族把d分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠d的邊界的邊界的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，則面積元素為則面積元素為dxdyd kjiyx 4. 4. d d -面積元素面積元素, , 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中: :d d =d=dxd dy故二重積分可寫為故二重積分可寫為 dddxdyyxfdyxf),(),(dddyxfkdyxkf),(),(性質(zhì)性質(zhì)1.

8、1dddd, 1),(yxf性質(zhì)性質(zhì)4.)(.),(),(),(2121ddddyxfdyxfdyxfddd性質(zhì)性質(zhì)3.(區(qū)域可加性區(qū)域可加性)ddddyxgdyxfdyxgyxf.),(),(),(),(性質(zhì)性質(zhì)2.性質(zhì)性質(zhì)6.6.設(shè)設(shè)m、m分別是在分別是在f(x,y)閉區(qū)域閉區(qū)域d d上的最大值和最上的最大值和最 小值小值, ,則有則有 dmdyxfm.),(性質(zhì)性質(zhì)5.5. 在在d d上上 則有不等式則有不等式 ),(),(yxyxf.),(),(dyxdyxfdddyxfdyxf),(),(特殊地特殊地, ,有有dfdyxf),(),(性質(zhì)性質(zhì)7 7. .( (設(shè)設(shè)f(x,y)在閉區(qū)域

9、在閉區(qū)域d d上連續(xù)，上連續(xù)， 是是d d的面積的面積, ,則在則在d d上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)( ( , , ),),使得使得 例例 1 1 不不作作計(jì)計(jì)算算，估估計(jì)計(jì) deidyx )(22的的值值， 其其中中d是是橢橢圓圓閉閉區(qū)區(qū)域域： 12222 byax )0(ab .解解區(qū)區(qū)域域 d的的面面積積 , ab在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質(zhì)質(zhì) 6 知知,222)(adyxede dedyx)(22 ab.2aeab 例例2 利用性質(zhì)比較利用性質(zhì)比較 dddxdyyxdxdyyx32)(,)(其中其中d: 由由x軸軸,y軸及軸及x+y=1圍成的區(qū)域圍

10、成的區(qū)域 小結(jié)小結(jié)二重積分的定義二重積分的定義（和式的極限）（和式的極限）二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì) （與定積分類似）（與定積分類似）xyo d設(shè)函數(shù)),(yxfd 位于 x 軸上方的部分為d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍1d在 d 上d),(21dyxf在閉區(qū)域上連續(xù), 域d 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有1:,221 yxdd 為圓域如dyxyxdd)(22d

11、yxyxdd)(1dd)(422dyxyx0補(bǔ)充補(bǔ)充如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba9.2 9.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分假定0),( yxf為曲頂?shù)闹w的體積為曲頂?shù)闹w的體積為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzddyxfd 應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,a0 x

12、bzyx)(2xy)(1xy),( yxfz)(0 xa得得.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計(jì)算個立體的體積也可用定積分來計(jì)算.)(xa表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，xoab)(xa為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(dxxadv .)( badxxav立體體積立體體積xdxx 二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積如果積分

13、區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋?dyc ).()(21yxy y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf x型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn). y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).yxoyxoabcdd3.3.若積分區(qū)域若積分區(qū)域d d既不是既不是x-x-型型, ,又不是又不是y-y-型型, , 可以把可以把d d 分

14、成幾部分分成幾部分, ,使每個部分是使每個部分是x-x-型區(qū)域或是型區(qū)域或是y y型區(qū)域型區(qū)域. . )()()()(2121.),(),(xxdcyybadxyxfdydyyxfdx2.2.若積分區(qū)域若積分區(qū)域d d既是既是x- -型的型的, ,又是又是y- -型的型的. . 則則1. x-型型,y-型域的特點(diǎn)型域的特點(diǎn);(作線法作線法)1。畫出積分區(qū)域。畫出積分區(qū)域d的圖形的圖形;2。根據(jù)。根據(jù)d及及f(x,y)的特點(diǎn)的特點(diǎn), 選取積分順序選取積分順序;3。根據(jù)區(qū)域。根據(jù)區(qū)域d定出積分限定出積分限;4。把二重積分化為二次積分。把二重積分化為二次積分.yxoy=x12y1x2y=1x=2 計(jì)

15、算計(jì)算 其中其中d d 是由直線是由直線y=x,y=1,x=2y=x,y=1,x=2 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .dxyd ,xy211xy o221d yx解法解法1. 將d看作x型區(qū)域, 則:di21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將d看作y型區(qū)域, 則:dixyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y 計(jì)算計(jì)算 , ,其中其中d d是由拋物線是由拋物線 及直線及直線 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .dxyd2 xyxy 2yxo1y=x-21y24xy2解解: 為計(jì)算簡便, 先

16、對 x 后對 y 積分,:dxyx ddyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y則 計(jì)算計(jì)算,sin ddxdyxx其中其中d 是直線是直線 ,0, yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.oxydxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取d 為x 型域 :xxyd00:dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxx x先對 x 積分不行, （1）根據(jù)給出的二次積分，畫出）根據(jù)給出的二次積分，畫出； （2）根據(jù)積分區(qū)域）根據(jù)積分區(qū)域d，寫出另一二次積分。，寫出另一二次積分。 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, , 還需交換積分還需交換積分 順序順序. . 交換下列積分順序交換下列積分順序 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxi21ddd將解解: 積分域由兩部分組成:,200:22