二階微分方程61381

1、 這類二階微分方程的特點是，經過適當的變換將二這類二階微分方程的特點是，經過適當的變換將二階微分方程化為一階微分方程，然后用前一節(jié)介紹的方階微分方程化為一階微分方程，然后用前一節(jié)介紹的方法來求解法來求解 下面介紹三種可降階的二階微分方程的解法下面介紹三種可降階的二階微分方程的解法.型型)(. 1xfy 型型),(. 2yxfy 型型),(. 3yyfy 就得到一個一階微分方程，即就得到一個一階微分方程，即 兩邊再積分，即連續(xù)積分兩邊再積分，即連續(xù)積分兩次就能得到方程（兩次就能得到方程（1）的通解）的通解 只要連續(xù)積分只要連續(xù)積分n次，即可得到含有次，即可得到含有n個任意常數的通解個任意常數的通

2、解是最簡單的二階微分方程，是最簡單的二階微分方程， （1） 方程方程)(xfy ，xy的函數的函數僅是僅是它的特點是它的特點是 ，y 當作新的未知函數當作新的未知函數只要把只要把 兩邊積分，得兩邊積分，得 ,)(1cdxxfy同理，對于方程同理，對于方程 （2） )()(xfyn型型)(. 1xfy yf x例例1 1 解解 對所給的方程連續(xù)積分三次，得對所給的方程連續(xù)積分三次，得 這就是所求方程的通解這就是所求方程的通解.sin 的通解的通解求方程求方程xy xdxysin,coscx dxcxy)cos(,sin2ccxx dxccxxy)sin(23221coscxcxcx )2(1cc

3、 因而方程因而方程(3)就變?yōu)榫妥優(yōu)?這是一個關于變量這是一個關于變量 x , p 的一階微分方程，可以用前一節(jié)所的一階微分方程，可以用前一節(jié)所介紹的方法求解介紹的方法求解型型),(. 2yxfy 方程方程(3) 的右邊不顯含未知函數的右邊不顯含未知函數 y ),(yxfy 那么那么如果設如果設, )(xpy ,pdxdpy ),(pxfp 例例2 2 解解 這是關于這是關于 p 的一階線性非齊次微分方程因為的一階線性非齊次微分方程因為從而所求微分方程的通解為從而所求微分方程的通解為.1xxeyxy 解微分方程解微分方程, py 令令.py 則則于是于是 xxepxp 1即即 xxepxp 1

4、,ln1xdxx ,lnxxxxedxedxexe 所以所以),(1cexpyx .2)1(221cxcexyx 例例3 3 解解 代入方程代入方程并分離變量后，并分離變量后， 得得兩端積分，得兩端積分，得 再積分，得再積分，得 .3, 12)1(002的特解的特解滿足初始條件滿足初始條件求方程求方程 xxyyyxyx, py 設設，yxfy型的型的所給方程是所給方程是),( dxxxdxdp212 12ln)1ln(lncxp 即即 )1(21xcyp ，cyx3, 310 得得由條件由條件所以所以 )1(32xy 233cxxy , 1, 120 cyx得得又由條件又由條件于是所求的特解為

5、于是所求的特解為 . 133 xxy為了求出它的解，為了求出它的解， 利用復合函數的求導法則，利用復合函數的求導法則， 于是方程于是方程(4)就變?yōu)榫妥優(yōu)?這是一個關于變量這是一個關于變量 y , p 的一階微分方程的一階微分方程 .設它的通解為設它的通解為 分離變量并積分，得方程分離變量并積分，得方程(4)的通解為的通解為 型型),(. 3yyfy 方程方程(4) 中不顯含自變量中不顯含自變量 x ),(yyfy ，xpy)( 我們令我們令即即的導數的導數化為對化為對把把，yy dydppdxdydydpdxdpy ),(pyfdydpp ),(1cypy .),(21cxcydy 例例4

6、4 解解 方程不顯含自變量方程不顯含自變量 x ， 代入方程，得代入方程，得 那么約去那么約去 p 并分離變量，得并分離變量，得兩端積分并進行化簡，得兩端積分并進行化簡，得 再一次分離變量并積分，得再一次分離變量并積分，得 顯然它也滿足原方程顯然它也滿足原方程 .02的通解的通解求微分方程求微分方程 yyy,py 設設.dydppy 則則02 pdydpyp如果如果p0，ydypdp 或 ycp1 ycy1 21lnlncxcy 或或 xcecy12 如果如果p = 0，那么立刻可得那么立刻可得 y = c，已被包含在解已被包含在解 中中了xcecy12但但 y =c).0(1就可得到它就可得

7、到它令令 c所以方程的通解為所以方程的通解為 xcecy12 例例5 5 解解 兩邊積分，得兩邊積分，得 即為所求的滿足初始條件的特解即為所求的滿足初始條件的特解.1, 123332的特解的特解滿足初始條件滿足初始條件求方程求方程 xxyyyy),(xpy 令令代入原式，得代入原式，得 223ydydpp 即即 dyypdp232 132cyp , 01, 1133 cyyxx得得由初始條件由初始條件.32yp 所以所以即即所以取正號所以取正號因為因為這時這時), 1(323 xyyp23ydxdy 或或 dxdyy 23積分后，得積分后，得 2212cxy , 5, 123 cyx得得再由初

8、始條件再由初始條件代入上式整理后得代入上式整理后得 2)5(4 xy定義定義 方程方程)(xfqyypy (5)叫做叫做二階常系數線性微分方程二階常系數線性微分方程，其中，其中 p 、q 是常數是常數( )0,f x當時t下面來討論二階常系數線性微分方程的解法下面來討論二階常系數線性微分方程的解法方程方程(5)叫做二階常系數線性微分方程叫做二階常系數線性微分方程方程方程(5)叫做二階常系數線性非齊次微分方程叫做二階常系數線性非齊次微分方程. ,0時時當當 xf1 1二階常系數線性齊次微分方程的通解二階常系數線性齊次微分方程的通解定理定理1 1 這個定理表明了線性齊次微分方程的解具有疊加性這個定

9、理表明了線性齊次微分方程的解具有疊加性 1c疊加起來的解疊加起來的解(7)從形式上看含有從形式上看含有 與與 兩個任意常數，兩個任意常數，但它還不一定是方程但它還不一定是方程(6)的通解的通解 2c先討論二階常系數線性齊次微分方程先討論二階常系數線性齊次微分方程 (6) 的解的結構的解的結構0 qyypy那么那么 (7) 也是方程也是方程(6)的解，其中是任意常數的解，其中是任意常數2211ycycy 12(6),yy如果函數與是方程的兩個解那么在什么情況下那么在什么情況下(7)式才是式才是(6)式的通解呢？式的通解呢？ 為了解決這為了解決這個問題，下面給出函數線性相關與線性無關的定義：個問題

10、，下面給出函數線性相關與線性無關的定義：因此，當因此，當 時，時，01 y如果如果 不恒等于一個常數，不恒等于一個常數，12yy則則 與與 就是線性無關的就是線性無關的2y1ycyy 12)0(1 y 顯然，對于兩個線性相關的函數顯然，對于兩個線性相關的函數 和和 ，恒有，恒有 1y2y對于兩個都不恒等于零的函數對于兩個都不恒等于零的函數 與與 ，1y2y 那么把函數那么把函數 與與 叫做叫做線性相關線性相關；否則就叫做否則就叫做線性無關線性無關 1y2y 如果存在一如果存在一個常數個常數c使使 ，12cyy 二階常系數線性齊次微分方程二階常系數線性齊次微分方程(6)的通解結構定理：的通解結構

11、定理：由此可知，求二階常系數線性齊次微分方程由此可知，求二階常系數線性齊次微分方程(6)的通解，的通解，定理定理2 22211ycycy 就是方程就是方程(6)的通解，其中的通解，其中 是任意常數是任意常數 21,cc關鍵在于求出方程的兩個線性無關的特解關鍵在于求出方程的兩個線性無關的特解 和和 1y2y 而當而當 r 為常數時，指數函數為常數時，指數函數 和它的各階導數和它的各階導數都只相差一個常數因子都只相差一個常數因子 rxey 因此，我們可以設想二階常系數齊次因此，我們可以設想二階常系數齊次方程式的特解也是一個指數函數方程式的特解也是一個指數函數 ，只要求出，只要求出 r ,便可便可得

12、得到方程到方程(6)的解的解 rxey 如果函數如果函數 是常系數線性齊次微分方程是常系數線性齊次微分方程(6)(6)的兩個線性無關的特解，那么的兩個線性無關的特解，那么12yy與2()0rxerprq所以上式要成立就必須有所以上式要成立就必須有02 qprr(8) 反之，若反之，若r是方程是方程(8)的一個根，的一個根， 特征方程的根稱為特征方程的根稱為特征根特征根 方程方程(8)是以是以 r為未知數的二次方程，我們把它稱為微分為未知數的二次方程，我們把它稱為微分方程方程(6)的的特征方程特征方程，這就是說，如果函數這就是說，如果函數 是方程是方程(6)的解，那么的解，那么 r 必須滿必須滿

13、足方程足方程(8) rxey 將將 和它的一、二階導數和它的一、二階導數 代代入方程入方程(6)，得到，得到 rxey ,2rxrxeryrey 因為因為， 0 rxe則則 是方程是方程(6)的一個特解的一個特解 rxe 其中其中 和和 r 的系數，以及常數項恰好的系數，以及常數項恰好依次是微分方程依次是微分方程(6)中中 、 及及 y 的系數的系數y y2r特征根是一元二次方程的根，特征根是一元二次方程的根，因此它有三種不同的情況：因此它有三種不同的情況：(1)特征根是兩個不相等的實根特征根是兩個不相等的實根r1 r2 ，且線性無關，且線性無關，,11xrey 此時此時均為方程均為方程(6)

14、的特解，的特解，xrey22因此方程因此方程(2)的的通解為通解為:xrxrececy2121 （9)(2)特征根是兩個相等的實根特征根是兩個相等的實根 r1= r2 ，此時此時 和和xrey11 xrxey12方程方程(2)的特解，的特解，且線性無關，且線性無關，所以方程所以方程(6)的通解為：的通解為：xrexccy2)(21 （10）(3)特征根是一對共軛復根特征根是一對共軛復根r1,2= i ，xiey)(1xiey)(2這時這時 和和 是方程是方程(6)的兩個特解，的兩個特解，但這兩個解含有復數，但這兩個解含有復數，此時可以證明函數此時可以證明函數 和和 也是方程也是方程(6)的解，

15、的解，xex cosxex sin且它們線性無關且它們線性無關于是得方程于是得方程(2)的通解為：的通解為：)sincos(21xcxceyx （11)例例6 6 解解 所給方程的特征方程為所給方程的特征方程為 其對應的兩個線性無關特解為其對應的兩個線性無關特解為,521xxeyey 和和求求 方程的通解方程的通解 0103 yyy01032 rr解得特征根為解得特征根為 ， 5, 221 rr所以方程的通解為所以方程的通解為 xxececy5221 例例 7 7 解解 為確定滿足初始條件的特解，對為確定滿足初始條件的特解，對 y 求導，得求導，得 求方程求方程 的滿足初始條件的滿足初始條件

16、和和 的特解的特解 044 yyy10 xy00 xy 所給方程的特征方程為所給方程的特征方程為 0442 rr所以特征根為所以特征根為221 rr因此方程的通解為因此方程的通解為xexccy221)( xexcccy2212)22( 將初始條件將初始條件 和和 代入以上兩式，得代入以上兩式，得10 xy00 xy 02, 1121ccc解得解得 , 11 c. 22 c于是，原方程的特解為于是，原方程的特解為xexy2)21( 例例8 8 解解 所以原方程的通解為所以原方程的通解為)3sin3cos(212xcxceyx其對應的兩個線性無關特解為其對應的兩個線性無關特解為,3sin3cos2

17、21xyxeyx 和和求方程求方程 的通解的通解 0134 yyy特征方程為特征方程為 01342 rr特征根為特征根為 ,321ir .322ir 綜上所述，綜上所述，的根的根 特征方程特征方程02 qprr 方程方程0 qyypy通解通解xrxrececy2121 rxexccy)(21 )sincos(21xcxceyx 兩個不相等的實根兩個不相等的實根21rr 兩個相等的實根兩個相等的實根rrr 21 一對共軛復根一對共軛復根ir 2,1 (3) 根據兩個特征根的不同情況，按照下表寫出微分方程根據兩個特征根的不同情況，按照下表寫出微分方程(6)的通解：的通解：0 qyypy求二求二階常

18、系數線性齊次微分方程階常系數線性齊次微分方程的通解步驟如下：的通解步驟如下：（6）(2) 求出特征方程的兩個根求出特征方程的兩個根 與與 ；1r2r(1) 寫出方程對應的特征方程寫出方程對應的特征方程 ；02 qprr定理定理3 3 y是與方程（是與方程（5）對應的齊次方程（）對應的齊次方程（6）的通）的通解，那么解，那么 由這個定理可知：求二階常系數線性非齊次微分方程的由這個定理可知：求二階常系數線性非齊次微分方程的通解，歸結為求對應的齊次方程通解，歸結為求對應的齊次方程y設設 是二階常系數線性非齊次方程是二階常系數線性非齊次方程 (5) 的一個特解，的一個特解， )(xfqyypy 是二階

19、常系數線性非齊次微分方程（是二階常系數線性非齊次微分方程（5）的通解）的通解(12) yyy的通解和非齊次方程的通解和非齊次方程(5)的本身的一個特解的本身的一個特解 (6) 0 qyypy它的一個特解也是一個多項式與指數函數的乘積，它的一個特解也是一個多項式與指數函數的乘積， 下面討論求二階常系數線性非齊次微分方程的一個特解下面討論求二階常系數線性非齊次微分方程的一個特解 的方法我們的方法我們只討論只討論 f(x) 以下兩種情形：以下兩種情形： *y(1) 其中其中 是一個是一個n 次多項式，次多項式， 為常數為常數 xnexpxf )()( )(xpn這時，方程這時，方程(5)成為成為 (

20、13)xnexpqyypy )( 且特解具有形式且特解具有形式 ( k = 0,1 ,2 ) xnkexqxy )( k是一個整數是一個整數 其中其中 是一個與是一個與 有相同次數的多項式；有相同次數的多項式； )(xqn)(xpn當當 不是特征根時，不是特征根時，k = 0 ; 當當 是特征根，但不是重根時，是特征根，但不是重根時，k = 1 ; 當當 是特征根，且為重根時，是特征根，且為重根時，k = 2. 例例9 9 解解 求方程求方程 的通解的通解 xxeyyy3596 該方程對應的齊次方程是該方程對應的齊次方程是 096 yyy它的特征方程為它的特征方程為 0962 rr特征根是重根

21、特征根是重根 321 rr于是得到齊次方程于是得到齊次方程 的通解為的通解為096 yyyxexccy321)( 原方程中原方程中 xxexf35)( 其中其中 是一個一次多項式，是一個一次多項式， xxpn5)( 是特征方程的重根因此是特征方程的重根因此 k = 2 3所以設原方程的特解為所以設原方程的特解為 xebaxxy32)( 代入原方程，化簡得代入原方程，化簡得比較等式兩邊同類項的系數，有比較等式兩邊同類項的系數，有因此，原方程的特解為因此，原方程的特解為 于是原方程的通解為于是原方程的通解為求求 的導數，得的導數，得y bxxbaaxeyx2)33(3233 bxbaxbaaxeyx2)126()918(9233 xxxeebax335)26( . 02, 56ba解得解得 0,65 ba.6533xexy .)65(3123xecxcxyyy 它的一個特解的形式為它的一個特解的形式為 其中其中a和和b是待定常數；是待定常數； k是一個整數是