二重積分的簡單應(yīng)用

1、一、立體的體積一、立體的體積二、曲面的面積二、曲面的面積三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心四、平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力四、平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力五、小結(jié)五、小結(jié)一、立體的體積一、立體的體積二重積分的二重積分的幾何意義幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積xzyod),(yxfz .),( ddyxfv 例例1 計(jì)算由曲面計(jì)算由曲面2241yxz 及及 xoy 面所圍的立體面所圍的立體體積。體積。xyzo1121xyzo1121解解設(shè)立體在設(shè)立體在第一卦限上第一卦限上的體積為的體積為 v1。由立體的對稱性，所求立由立體的對稱性，所求立體體積體體積 v

2、 = 4v1 。121xyo241xy d立體在第一卦限部分可以看立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為頂為,4122yxz .410,210:2xyxd121xyo241xy d立體在第一卦限部分可以看立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為頂為,4122yxz 它的底為它的底為于是，于是， dyxvd )41(221 例例2 求兩個(gè)圓柱面求兩個(gè)圓柱面222ryx 222 rzx 及及所圍所圍的立體在第一卦限部分的體積。的立體在第一卦限部分的體積。xyzorrrxyzorrrrxyo22xry rd解解所求立體所求立體

3、可以看成可以看成是一個(gè)曲是一個(gè)曲頂柱體，頂柱體，它的曲頂為它的曲頂為,22xrz .0,0:22xryrxd它的底為它的底為rxyo22xry rd,22xrz .0,0:22xryrxd它的底為它的底為它的曲頂為它的曲頂為于是，立體體積為于是，立體體積為 dxrvd 22dyxrdxxrr 220220 rxrdxyxr002222 rdxxr022 )( rxxr0323 .323r 例例3 求球體求球體22224azyx 被圓柱面被圓柱面axyx222 )0( a所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解解顯然，所求立體應(yīng)在第一、顯然，所求立體

4、應(yīng)在第一、第四、第五、第八卦限。第四、第五、第八卦限。而且，四個(gè)卦限部分的體積而且，四個(gè)卦限部分的體積是對稱相等的。是對稱相等的。因此，若設(shè)第一卦限部分的體因此，若設(shè)第一卦限部分的體積為積為 v1 ，則所求立體的體積為則所求立體的體積為.41vv xyzoa2a2a2v1 可以看成是一個(gè)曲頂柱體，可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的曲頂為xyzoa2a2a2.4222yxaz 22xaxy 它的底它的底d 由半圓周由半圓周及及 x 軸圍成。軸圍成。a2xyo cos2ar d用極坐標(biāo)系表示用極坐標(biāo)系表示:d,20 .cos20 ar 于是，于是， dyxavd 42221 drdrrad 4

5、22a2xyo cos2ar d dyxavd 42221 drdrrad 422drrrada 4cos202220 )4( 42122cos202220radrada 2033)sin1(38 da)322(383 a所求立體體積所求立體體積14vv )322(3323 a二、曲面的面積二、曲面的面積設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,dxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠?dd 設(shè)小區(qū)域設(shè)小區(qū)域,),( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的切平面的切平面上過上過為為yxfyxms .dsdadadsszd ，則有，則有為為；截切平面；截切平面為為截曲面截曲面軸的小柱面，軸的小

6、柱面，于于邊界為準(zhǔn)線，母線平行邊界為準(zhǔn)線，母線平行以以 如圖，如圖， d),(yxmdaxyzs o , 面上的投影面上的投影在在為為因?yàn)橐驗(yàn)閤oydad ,cos dad所以所以,11cos22yxff dffdayx221 ,122 dyxdffa - - 曲面曲面 s 的的面積元素面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyyzxzaxyd 22)()(1設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為：.122dzdxxyzyazxd 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為：;122dydzzxyxayzd 同理

7、可得同理可得例例 4 4 求求球球面面 2222azyx 含含在在圓圓柱柱體體 axyx 22 內(nèi)內(nèi)部部的的那那部部分分面面積積. . 14aa , , 曲曲面面方方程程 222yxaz , , 221 yzxz 解解xyzoaaa設(shè)第一卦限部分的面積為設(shè)第一卦限部分的面積為 a1 ，則由對稱性，所求的面積為則由對稱性，所求的面積為,222yxaa xyddxdyyxaa222 cos022201ardrrada.4222aa dxdyyzxzaxyd 1221 xyd：axyx 22 )0,( yxaxyo cosar d極坐標(biāo)系下表示：極坐標(biāo)系下表示：,20 .cos0 ar ddrdrr

8、aa 22),(yx設(shè)設(shè)xoy平面上有平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于),(11yx， ),(22yx，,),(nnyx處，質(zhì)量分別處，質(zhì)量分別為為nmmm,21 則該質(zhì)點(diǎn)系的則該質(zhì)點(diǎn)系的重心重心的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 niiniiiymxmmmx11， niiniiixmymmmy11 三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心形心. .,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 由元素法由元素法設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)

9、域面上的閉區(qū)域d，在點(diǎn)，在點(diǎn) ),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在d上連上連 續(xù)，平面薄片的重心續(xù)，平面薄片的重心 閉區(qū)域閉區(qū)域 d 的面積的面積例例 6 6 設(shè)平面薄板由設(shè)平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t與與 x 軸圍成，它的面密度軸圍成，它的面密度1 ，求重心坐標(biāo)，求重心坐標(biāo) 解解先求區(qū)域先求區(qū)域 d的面積的面積 a， 20 t， ax 20 adxxya 20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a da 2a )(xy 所所以以重重心心在在 ax 上上， 即即 ax , , d

10、ydxdyay1 )(0201xyaydydxa adxxya 2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求重重心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為 )65 ,( a. . 由于區(qū)域關(guān)于直線由于區(qū)域關(guān)于直線 ax 對稱對稱 ， 薄片對薄片對軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域d，在點(diǎn)，在點(diǎn) ),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在d上連上連 續(xù)，計(jì)算該平面薄片對位于續(xù)，計(jì)算該平面薄片對位于z軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)), 0 , 0(0am 處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力)0( a ,zyxffff

11、,)(),(23222 dayxxyxgfdx ,)(),(23222 dayxyyxgfdy .)(),(23222 dayxyxagfdz g 為引力常數(shù)為引力常數(shù)四、平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力四、平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力例例 7 7 求求面面密密度度為為常常量量、半半徑徑為為r的的均均勻勻圓圓形形薄薄片片： 222ryx ，0 z對對位位于于 z 軸軸上上的的點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0(0am 處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力)0( a 解解由積分區(qū)域的對稱性知由積分區(qū)域的對稱性知, 0 yxff dayxyxagfdz 23)(),(222 dayxagd 23)(1222oyzxfdrrardagr 0222023)(1 .11