不定積分的計(jì)算方法48026

1、一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法1. 直接積分法直接積分法通過簡(jiǎn)單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法 .2. 換元積分法換元積分法xxfd)( 第一類換元法第一類換元法tttfd)()( 第二類換元法(注意常見的換元積分類型) (代換: )(tx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 分部積分法分部積分法vuxvud使用原則:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般經(jīng)驗(yàn): 按“反, 對(duì), 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u , 排后者取為.v計(jì)算格式: 列表計(jì)算xvud機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xvund) 1(xvuv

2、unnd)()()1()(nnvuvu xvund) 1( )2() 1()(nnnvuvuvuxvunnd) 1() 1(1多次分部積分的多次分部積分的 規(guī)規(guī) 律律機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速計(jì)算表格:)(ku)1(knvuuu )(nu)1( nv)(nv)1( nvvn) 1()1( nuv1) 1(n特別特別: 當(dāng) u 為 n 次多項(xiàng)式時(shí),0)1(nu計(jì)算大為簡(jiǎn)便 . 例例1. 求.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlnd

3、cx3ln2ln)arctan(32機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxc23機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析分析: 5)1ln(d2xx例例3. 求.dcos1sinxxxx解解 :原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tancxx2tan分部積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè),)(2xyxy解解: 令, tyx求積分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而

4、ttttxd) 1()3(d2222 1原式ttttd) 1()3(2222123tt132tttttd12ct1ln221cyx1)(ln221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxcex)1 (ln221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 求.d)2(23xexxx解解: 取,23xxuxev2)4(23 xx132xx660)(ku)4(kvxe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原

5、式)2(321 xx) 13(241xx681cxxxex)7264(232816161cxxaxaexpxkndcossin)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 此法特別適用于如下類型的積分: 例例7. 設(shè),dsecxxinn證證:證明遞推公式:)2(12tansec1122ninnxxninnnxinn2secxn 2secxxxnntansecsec)2(3xxdtanxxntansec2xxxnnd) 1(secsec)2(22xxntansec2nin)2( 2)2(ninxxdsec2xtan)2(12tansec1122ninnxxninnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

6、返回 結(jié)束 例例8. 求.d1xx解解: 設(shè)1)(xxf1x,1x1x,1x則)(xf1,1221xcxx1,2221xcxx因)(xf連續(xù) , , ) 1 ()1 ()1 (fff得21211121cc221121cc記作c得xxd1)(xf1,21221xcxx1,21221xcxx,) 1(221cx,) 1(221cx利用 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9.設(shè) 解解:)(xf為)(xf的原函數(shù),時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x,2sin)()(2xxfxf有有且,1)0(f,0)(xf求. )(xf由題設(shè), )()(xfxf則,2sin)()(2xxfxf故xxfxfd)()(xxd2sin2

7、xxd24cos1即cxxxf4sin)(412,1)0(f, 1)0(2fc0)(xf, 因此14sin)(41xxxf故)()(xfxf14sin2sin412xxx又機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分1. 一般積分方法一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬能代換簡(jiǎn)單無理函數(shù)三角代換根式代換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 需要注意的問題需要注意的問題(1) 一般方法不一定是最簡(jiǎn)便的方法 ,(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) ,要注意綜合使用各種基本積分法, 簡(jiǎn)便計(jì)算 . 因此不一定都能

8、積出.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如 , ,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk例例10. 求.1d632xxxeeex解解: 令,6xet 則,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tct arctan3ceeexxxx636arctan3) 1ln() 1ln(323機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11. 求.dsincossincos3xxxxx解解: 令xxsincos3x

9、baxbasin)(cos)(比較同類項(xiàng)系數(shù)3 ba1 ba, 故2, 1ba 原式xxxxxsincos)sind(cos2dcxxxsincosln說明說明: 此技巧適用于形為xxdxcxbxadsincossincos的積分.)sin(cos)sin(cosxxbxxaxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcbxdxca機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12.解解：xxbxaxidsincossin1求因?yàn)?dsincoscos2xxbxaxi及12ibiaxxbxaxbxadsincossincos1cx12iaibxxbxaxaxbdsincossinco

10、s)sincosd(xbxa2sincoslncxbxacxbxaabxbai)sincosln(1221cxbxabaxbai)sincosln(1222機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13.求不定積分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuua21ub1uc31a61b21c2ln31u1ln61ucu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xcx) 1ln(cos21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxxdsin)cos2(sin2例例14.)()sin()sin(dkbabxaxxi求xbxaxd)sin()sin()()sin(bxax)sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax )cos(bx )cos(ax )sin(bx)sin(1ba xbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1caxbxba)sin()sin(ln)sin(1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁