線(xiàn)性代數(shù) 167;1 向量?jī)?nèi)積長(zhǎng)度及正性

1、 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型1 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)三、正交向量組的概念及求法三、正交向量組的概念及求法四、正交矩陣與正交變換四、正交矩陣與正交變換1.1.定義定義1 1維向量維向量設(shè)有設(shè)有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的與與為為向向量量稱(chēng)稱(chēng)yxyx內(nèi)積內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)(inner product) 2.2.內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) :,為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)維維向向量量為為其其中中 nzyx

2、;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0, 0, )4( xxxxx時(shí)有時(shí)有且當(dāng)且當(dāng) ;, zxyxzyx 或或 ;, yxyx 或或, )5(2yyxxyx施瓦茨不等式施瓦茨不等式1.1.定義定義2 2 非負(fù)性非負(fù)性. 1齊次性齊次性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的維維向向量量為為稱(chēng)稱(chēng)xnx長(zhǎng)度長(zhǎng)度范數(shù)范數(shù)向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：; 0,; 0, xxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ;xx .yxyx 二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)(norm)維向量間的夾角維向量間的夾角單位向量及單位向量

3、及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的夾角的夾角與與求向量求向量 例例解解 cos2262318 .4 .,11 為為稱(chēng)稱(chēng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx 單位向量單位向量 yxyxyx,arccos,0, 02 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 的的與與維向量維向量稱(chēng)為稱(chēng)為yxn夾角夾角2. 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念. ,0,yxyx與與稱(chēng)向量稱(chēng)向量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 正交正交. , ,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知xx 若若一一非零非零向量組中的向量向量組中的向量?jī)蓛烧粌蓛烧?，則稱(chēng)該向，則稱(chēng)該向量組為量組為正交向量組正交向量組三、正交向量組的概念及求法三、正

4、交向量組的概念及求法(orthogonal), 0021111 t由由.01 從而有從而有. 02 r 同理可得同理可得.,21線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1at0111 t 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線(xiàn)性無(wú)關(guān).線(xiàn)性無(wú)關(guān).則則非零向量非零向量是一組兩兩正交的是一組兩兩正交的維向量維向量若若rrn, 2121定理定理1例例1 1 已知三維向量空間中兩個(gè)向量已知三維向量空間中兩個(gè)向量 121,11121 正交，試求正交，試求 使使 構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基基.3 321 , 向量空間的正交基向量

5、空間的正交基., 212121的正交基的正交基向量空間向量空間是是則稱(chēng)則稱(chēng)組組是兩兩正交的非零向量是兩兩正交的非零向量且且的一個(gè)基的一個(gè)基是向量空間是向量空間若若vvrrr 即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx則則有有若若令令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.321 ,則有則有0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分別別與與設(shè)設(shè) txxx 規(guī)范正交基規(guī)范正交基. ,)( , 212121 的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是則則稱(chēng)稱(chēng)向向量量?jī)蓛蓛蓛烧唤磺?/p>

6、且都都是是單單位位如如果果的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間維維向向量量設(shè)設(shè)veeeeeervveeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如定義定義3.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由于由于.,44321的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為所所以以reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基也為也為r 求規(guī)范正交

7、基的方法求規(guī)范正交基的方法稱(chēng)稱(chēng)為為這這樣樣一一個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題價(jià)價(jià)等等與與使使位位向向量量的的單單就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間設(shè)設(shè),21212121rrrreeeeeevv ., 21范范正正交交化化這這個(gè)個(gè)基基規(guī)規(guī)把把r 下面介紹下面介紹施密特正交化施密特正交化方法（方法（gram-schmidt orthogonalizations method ）111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等價(jià)等價(jià)與與且且兩兩正交兩兩正交那么那么rrraabbbb(2) 單位

8、化單位化 , 取取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為那那么么veeer222321113133,bbbabbbbabab ,1112122bbbabab (1) 正交化正交化 , 取取 ，11ab ,21的一個(gè)基的一個(gè)基為向量空間為向量空間若若vaaar例例 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交規(guī)范化正交規(guī)范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1

9、, 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱(chēng)稱(chēng)為為的的過(guò)過(guò)程程向向量量組組構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組rrbbaa施密特正交化過(guò)程施密特正交化過(guò)程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再單位化單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如下 21,21,2

10、1,211 , 1 , 1 , 121111bbe例例.,014,131,121 321量規(guī)范正交化量規(guī)范正交化特正交化過(guò)程把這組向特正交化過(guò)程把這組向試用施密試用施密設(shè)設(shè) aaa解解;11ab 取取bbbaab1212221, 12164131;11135 bbbabbbaab222312133321, 1113512131014.1012 再把它們單位化，取再把它們單位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即為所求即為所求eee .,1 , 1 , 14 321321兩兩正交兩兩正交使使求非零向量求非零向量已知已知例例 t 解解

11、. 0, 0,321132 xxxxaaat 即即應(yīng)滿(mǎn)足方程應(yīng)滿(mǎn)足方程.110,10121 它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于是得于是得其中其中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a定義定義4 4 . , 1正交矩陣正交矩陣為為稱(chēng)稱(chēng)則則即即滿(mǎn)足滿(mǎn)足階方陣階方陣若若aaaeaaantt 定理定理四、正交矩陣與正交變換四、正交矩陣與正交變換 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的列向量都的列向量都是單位向量且兩兩正交是單位向量且兩兩正交aa定義定義5 5 若若 為正交陣，則線(xiàn)性變換為正交陣，則線(xiàn)性變換 稱(chēng)為正稱(chēng)為正交變換交變換pxy p性質(zhì)性質(zhì) 正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變.(.(還有還有p118)p118)證明證明,為為正正交交變變換換設(shè)設(shè)pxy .xxxpxpxyyytttt 則有則有解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩陣所以它不是正交矩陣考察