線性代數(shù) 5 行列式性質(zhì)

1、5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)一、定義一、定義二、行列式的性質(zhì)二、行列式的性質(zhì)三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例一、定義一、定義行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. tdd記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa d2121nnaaannaaa2112 tdnnaaa2211二、行列式的性質(zhì)二、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,因此因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立. .,571571 266853.82

2、5825 361567567361266853 互換行列式的兩行互換行列式的兩行 , ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .（列）（列）推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 d,dd .82582532 cc361567567361,57157132 rr266853266853., 兩行，記作兩行，記作交換交換jijirr ., 兩列，記作兩列，記作交換交換jijicc 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) k ，等于用數(shù)，等于

3、用數(shù) k 乘此行列式乘此行列式. .nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)行列式中如果有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零成比例，則此行列式為零性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaad)()()(2122222211111211

4、則則d等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaad 122211111122211111例如例如性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列( (行行) )對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式值不變列式值不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例 計(jì)算行列式

5、常用方法計(jì)算行列式常用方法 利用運(yùn)算利用運(yùn)算 把把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值值jikrr 例例10112012120112110 d4 d例例2213132321 d例例3dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbad 3610363234232例例4 計(jì)算階行列式計(jì)算階行列式abbbbbabbbbbabbbbbabbbbbad bababababbbbbarrii 0000000000000000415 , 4 , 3 , 2.)(4(4baba 解解abbbbababbbabbabbabbbababbbbb

6、accc44444521 d例例5 5nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaad1111111111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkijaaaaad ,)det(11112nnnnijbbbbbd .21ddd 證明證明證明證明;0111111kkkkkpppppd 設(shè)為設(shè)為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)11dkrrdji 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)22,dkccdji .0111112nnnnnqqqqqd 設(shè)為設(shè)為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppd 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把算算列作運(yùn)列作運(yùn)，再對(duì)后，再對(duì)后行作運(yùn)算行作運(yùn)算的前的前對(duì)對(duì)dkccnkrrkdjiji, nnkkqqppd1111 故故.21dd