空間向量在立體幾何中的應(yīng)用知識點(diǎn)大全經(jīng)典高考題帶解析練習(xí)題帶答案

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【考綱說明】1. 能夠利用共線向量、共面向量、空間向量基本定理證明共線、共面、平行及垂直問題；2. 會(huì)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩點(diǎn)間的距離公式、夾角公式等解決平行、垂直、長度、角、距離等問題；3. 培養(yǎng)用向量的相關(guān)知識思考問題和解決問題的能力；【知識梳理】一、空間向量的運(yùn)算1、向量的幾何運(yùn)算（ 1）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：；（ 2）向量共線定理：向量a a0 與 b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使 ba 2、向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）

2、若，則，；，（ 3）夾角公式：（ 4）兩點(diǎn)間的距離公式：若，則二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2. 利用空間向量證明平行問題對于平行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明3. 利用空間向量證明垂直問題對于垂直問題，一般是利用進(jìn)行證明；4. 利用空間向量求角度（ 1）線線角的求法：設(shè)直線 AB、CD對應(yīng)的方向向量分別為a、b，則直線AB與 CD所成的角為（線線角的范圍0 0,900 ）（ 2）線面角的求法：設(shè) n 是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（ 3）二面角的求法：設(shè) n1 ，n2 分別是二面角 的兩個(gè)面 ， 的法向量，則 就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大?。ㄈ鐖D）

3、5. 利用空間向量求距離（ 1）平面的法向量的求法：設(shè) n=(x,y,z) ，利用 n 與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向a，b 垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個(gè)法向量（如圖） 。（ 2）利用法向量求空間距離（ a） 點(diǎn) A 到平面的距離：，其中，是平面的法向量。（ b） 直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。（ c） 兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。【經(jīng)典例題】【例 1】（ 2010 全國卷 1 理）正方體ABCD-A1 B1C1D1 中， BB1 與平面 ACD1 所成角的余弦值為（）（ A）2（ B）3（C） 2（ D）63333【

4、解析】 D【例 2】（2010 全國卷 2 文）已知三棱錐 S ABC 中，底面 ABC 為邊長等于2 的等邊三角形， SA 垂直于底面 ABC ，SA=3，那么直線AB 與平面 SBC 所成角的正弦值為（）S3573（ A）(B)(C)444(D)4【解析】 DFCB【例 3 】（ 2012全國卷）三棱柱ABC A1B1C1 中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，EABAA1CAA160 ，則異面直線 AB1 與 BC1 所成角的余弦值為 _?！窘馕觥?6【例 4】（ 2012 重慶）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中， AB=4， AC=BC=3， D 為 AB 的中點(diǎn)。（）求異面直線CC1

5、和 AB的距離；（）若 AB1 A1C，求二面角A1 CDB1 的平面角的余弦值?！窘馕觥?13【例5】（2012 江蘇）如圖，在直三棱柱1 11 1， D，BC，上的點(diǎn)（點(diǎn) D 不同ABC A1 B1 C1 中， ABACE 分別是棱CC1于點(diǎn)），且為B1C1A1B1C1的中點(diǎn)FCAD DE，F(xiàn)求證：（ 1）平面 ADE平面 BCC1B1 ；E（2）直線 A1F / 平面 ADEACDB【例 6】（ 2012 山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD是等腰梯形， AB CD， DAB=60°， FC平面 ABCD，AEBD， CB=CD=CF（）求證： BD平面 AED；（）求

6、二面角F-BD-C 的余弦值1【解析】二面角F-BD-C 的余弦值為5 5【例 7】（2012 江西）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB AC AA15， BC4 ，點(diǎn) A1 在底面 ABC 的投影是線段 BC 的中點(diǎn) O 。（ 1）證明在側(cè)棱 AA1 上存在一點(diǎn) E ，使得 OE平面 BB1C1C ，并求出 AE 的長；A1C1B（ 2）求平面 A1BC1 與平面 BB1C1C 夾角的余弦值。1【解析】5 ，30AC510OB【例 8】（ 2012 湖南）四棱錐 P-ABCD中， PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5， DAB= ABC=90°， E 是 CD

7、的中點(diǎn) . （）證明： CD平面 PAE；（）若直線PB與平面 PAE所成的角和PB與平面 ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積 .11851285【解析】 VS PA1651533【例9】（ 2012 廣東）如圖所示，在四棱錐PABCD 中，AB平面PAD， AB / /CD ,PDAD，E是PB中點(diǎn)，F(xiàn)是 DC上的點(diǎn)，且DF1AB， PH為PAD 中AD 邊上的高。2（ 1）證明：PH平面ABCD；（ 2）若PH1, AD2, FC1 ，求三棱錐EBCF的體積；（ 3）證明：EF平面PAB【解析】三棱錐 EBCF 的體積 V1 S BCF h11FC ADh1 12123326

8、212【例 10】（ 2012 新課標(biāo)）如圖，直三棱柱 ABCA1B1C11，D是棱 AA1 的中點(diǎn)， DC1BD中， AC=BC= AA11DC BC21C（ ）證明：1；B1（ 2）求二面角 1 1的大小ABD CA1【解析】二面角A1BD C1 的大小為 30DCBA【例 11】如圖所示，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為矩形， PA平面 ABCD 點(diǎn) E 在線段 PC 上， PC平面 BDE P平面 PAC ；（ 1）證明： BD（ 2）若 PA 1， AD2 ，求二面角 B PCA 的正切值A(chǔ)DE【解析】二面角BPCA 的平面角的正切值為3BC【例 12】（ 2012 天

9、津）如圖，在四棱錐 PABCD 中， PA 丄平面 ABCD ， AC 丄 AD ， AB 丄 BC ，ABC =45 0 ，PA=AD =2 ， AC =1.P()證明 PC丄 AD；（）求二面角 A PC D 的正弦值；（）設(shè) E 為棱 PA 上的點(diǎn)，滿足異面直線BE 與 CD所成的角為300 ，求 AE的長 .【解析】30 ，10BA610CD【課堂練習(xí)】1、（2012 上海）若 n ( 2,1)是直線 l 的一個(gè)法向量，則 l 的傾斜角的大小為（用反三角函數(shù)值表示）2、（ 2012 四川）如圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1 中， M 、 N 分別是 CD 、CC1 的中點(diǎn)， 則

10、異面直線 A1M 與 DN所成角的大小是 _。D 1C1A 1B1NDCMAB、（2012全國卷）如圖，四棱錐P ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，PA底面ABCD ，AC 22，PA2，3E 是 PC 上的一點(diǎn)， PE2EC 。P（）證明：PC平面 BED ；（）設(shè)二面角APBC 為 90 ，求 PD 與平面 PBC 所成角的大小。EABDC4、（ 2010 遼寧理） 已知三棱錐 P ABC中，PA ABC，AB AC，PA=AC=?AB，N 為 AB上一點(diǎn)， AB=4AN,M,S分別為 PB,BC 的中點(diǎn) .（）證明： CM SN；（）求 SN與平面 CMN所成角的大小 .5、（201

11、0 遼寧文）如圖，棱柱ABCA1 B1C1 的側(cè)面 BCC1 B1 是菱形， B1CA1B（）證明：平面AB1C平面A1BC1 ；（）設(shè)D 是AC 上的點(diǎn)，且11AB/1平面B CD1，求AD:DC 的值.116、（ 2010 全國文） 如圖，直三棱柱 ABC-A1 B1 C1 中，AC=BC， AA 1 =AB，D 為 BB1 的中點(diǎn)， E 為 AB1 上的一點(diǎn)， AE=3 EB1（）證明： DE為異面直線AB1 與 CD的公垂線；（）設(shè)異面直線AB1 與 CD的夾角為45° , 求二面角A1 -AC1 -B 1 的大小7、（ 2010 江西理）如圖 BCD與 MCD都是邊長為2

12、的正三角形， 平面 MCD 平面 BCD，AB平面 BCD， AB2 3 。（ 1） 求點(diǎn) A 到平面 MBC的距離；（ 2） 求平面 ACM與平面 BCD所成二面角的正弦值。、（2010重慶文）四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA底面 ABCD ，PAAB2，點(diǎn)E是棱PB8的中點(diǎn) .（）證明：AE 平面 PBC ；（）若 AD1，求二面角 B ECD 的平面角的余弦值 .9、（2010 浙江文）如圖，在平行四邊形 ABCD中， AB=2BC， ABC=120°。 E 為線段 AB 的中點(diǎn)，將 ADE沿直線 DE 翻折成 A DE，使平面 A DE平面 BCD， F

13、 為線段 A C的中點(diǎn)。（）求證： BF平面 A DE；（）設(shè) M為線段 DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面 A DE所成角的余弦值。10、（2010重慶理）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD， PA=AB=6 ，點(diǎn)E 是棱PB的中點(diǎn)。（ 1）求直線AD與平面PBC的距離；P（ 2）若AD=3 ，求二面角A-EC-D 的平面角的余弦值。EADBC11、（2010北京理）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=2 ， CE=EF=1.（）求證： AF平面 BDE；（）求證： CF平面 BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。12、如圖，

14、弧 AEC是半徑為 a 的半圓， AC為直徑，點(diǎn) E 為弧 AC的中點(diǎn)，點(diǎn) B 和點(diǎn) C 為線段 AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn) F 滿足 FC 平面 BED,FB= 5a（ 1）證明： EB FD（ 2）求點(diǎn) B 到平面 FED的距離 .013、（2010 江蘇卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中， PD平面 ABCD， PD=DC=BC=1， AB=2， AB DC， BCD=90。(1) 求證： PCBC；(2) 求點(diǎn) A 到平面 PBC的距離。PDCAB16題圖14、（ 2012 上海）如圖，在四棱錐 P- ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA底面 ABCD，E是 PC的中點(diǎn) . 已

15、知 AB=2，AD=2 2 ， PA=2. 求：（ 1）三角形 PCD的面積；（ 2）異面直線BC與 AE所成的角的大小.15、（ 2012 四川）如圖，在三棱錐 PABC 中，APB 90 ， PAB 60 ， AB BCCA，平面 PAB平面 ABC 。（）求直線PC 與平面 ABC 所成角的大??；P（）求二面角B AP C 的大小。CAB16、（2012 安徽）長方體ABCD A B C D 中，底面ABC D 是正方形， O 是BD的中點(diǎn)，E是棱 AA 上任意一點(diǎn)。111111111（）證明：BDEC1 ；（）如果AB =2， AE =2 ， OEEC1 , 求 AA1 的長。17、（

16、 2012 北京文） 如圖 1，在 Rt ABC 中，C90 ， D , E 分別為 AC , AB 的中點(diǎn)， 點(diǎn) F 為線段 CD 上的一點(diǎn)，將 ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1FCD ，如圖 2。A（）求證： DE / 平面 ACB1；（）求證： AF1BE ；A1DE（）線段 A B 上是否存在點(diǎn) Q ，使 AC平面 DEQ ？說明理由。FDE11FCB CB圖2圖118、（2012 湖南）如圖 6，在四棱錐 P-ABCD中， PA平面 ABCD，底面 ABCD是等腰梯形， AD BC，AC BD. （）證明： BD PC；（）若 AD=4， BC=2，直線 PD與平面

17、 PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積 .19、如圖，在三棱錐 PABC 中， PA 底面 ABC ， D 是 PC 的中點(diǎn)， 已知 BAC ， AB2 ， AC2 3 ，2PA2 ，求：（ 1）三棱錐 PABC 的體積（ 2）異面直線BC 與 AD 所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20、（2008安徽文）如圖，在四棱錐 OABCD中，底面 ABCD 四邊長為1的 菱形，ABC, OA 底面ABCD,OA 2,M 為 OA 的中點(diǎn)。4（）求異面直線 AB與 MD所成角的大?。籓（）求點(diǎn) B到平面 OCD的距離。MADBC【課后作業(yè)】1. （2008 全國）如圖，

18、正四棱柱 ABCDABC D 中， AA2AB 4 ，點(diǎn)E11111（）證明： AC1平面 BED ；（）求二面角 ADE B 的大小12、（2008 湖南）四棱錐 P- ABCD的底面 ABCD是邊長為 1 的菱形， BCD60°， E 是 CD的中點(diǎn)， PA底面 ABCD，PA 2.（）證明：平面PBE平面 PAB;（）求平面PAD和平面 PBE所成二面角（銳角）的大小.D 1C1A1B1EDCAB3、（2008 福建）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD2 ，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD, ABAD, AD=2AB=2BC=2, O為AD

19、中點(diǎn) .（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大?。唬ǎ┚€段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為3？2若存在，求出AQ 的值；若不存在，請說明理由.QD4、 (2008 海南、寧夏理 ) 如圖，已知點(diǎn)P 在正方體 ABCD A B C D 的對角線BD上， PDA=60°。11111（1）求 DP與 CC1 所成角的大?。?（ 2）求 DP與平面 AA1D1D所成角的大小。D 1C1A1B1PDCAB5、（2005 湖南文、理）如圖1，已知 ABCD是上、下底邊長分別為2 和 6，高為3 的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2。（）證明：

20、AC BO1；（）求二面角O AC O1 的大小。DO1CO1CDAOBOBA6、（ 2007安徽文、理 ) 如圖 , 在六面體 ABCDA1 B1C1 D1 中 , 四邊形 ABCD是邊長為 2 的正方形 , 四邊形 A1B1C1 D1 是邊長為 1的正方形 ,DD1A1B1C1 D1 , DD1平面 ABCD，1平面DD=2。( ) 求證 : A1C1 與 AC共面， B1 D1 與 BD共面 .( ) 求證 : 平面 A1ACC1平面 B1 BDD1 ;( ) 求二面角 A BB1C的大小 .7、(2007 海南 ) 如圖，在三棱錐 SABC中，側(cè)面 SAB 與側(cè)面 SAC 均為等邊三角

21、形，BAC 90°， O 為 BC 中點(diǎn)（）證明： SO平面 ABC ；S（）求二面角 ASC B 的余弦值OCBA8、 (2007 四川理）如圖，PCBM 是直角梯形，PCB 90°， PM BC ， PM 1， BC 2，又 AC 1， ACB120°，AB PC ，直線AM與直線PC所成的角為60° .（）求證：平面PAC平面ABC;（）求二面角MACB的大小;（）求三棱錐PMAC的體積 .9、 ( 2006 全國卷 ) 如圖， l1 、 l 2 是互相垂直的異面直線,MN 是它們的公垂線段. 點(diǎn) A、 B 在 l1 上， C 在 l2 上，AMM

22、BMN 。 （）證明 AC NB；()若ACB60O ，求 NB 與平面 ABC所成角的余弦值。l2Cl1HANMB10、（ 2006 福建文、理）如圖，四面體 ABCD中，O、E 分別是 BD、BC的中點(diǎn)， CACB CD BD 2, AB AD2.（ I ）求證： AO 平面 BCD； （ II ）求異面直線AB與 CD所成角的大小；A（ III ）求點(diǎn) E 到平面 ACD的距離。DOCBE11、（ 2010 福建文）如圖，在長方體ABCD A 1B1C1 D1 中， E， H 分別是棱 A1B1,D 1C1 上的點(diǎn)（點(diǎn) E 與 B1 不重合），且EH/A D 。過 EH的平面與棱 BB,

23、CC1相交，交點(diǎn)分別為F， G。111（ I ）證明： AD/ 平面 EFGH；（ II ）設(shè) AB=2AA1=2a。在長方體ABCD-A1B1C1D1 內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體p。當(dāng)點(diǎn) E， F 分別在棱A1B1, B 1B 上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a 時(shí)，求 p 的最小值。A1ABFE D 1DCGH內(nèi)的概率為12、如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面 ABCD，點(diǎn)E 在棱PB上 .（）求證：平面AEC平面 PDB ；（）當(dāng) PD2 AB 且 E 為 PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面 PDB所成的角的大小.13、在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD

24、 ， PAAD 4， AB2. 以 AC 的中點(diǎn)O 為球心、 AC 為直徑的球面交 PD 于點(diǎn) M ，交 PC 于點(diǎn) N .（ 1）求證：平面ABM 平面 PCD ；zP（ 2）求直線 CD 與平面 ACM 所成的角的大?。唬?3）求點(diǎn) N 到平面 ACM 的距離 .MNADyOBCx14、如圖 4，在正三棱柱 ABCABC 中， AB2 AA。D是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)E在 AC上，且 DE AE 。1 1 11 11 1（ 1）證明平面 ADE 平面 ACC1 A1（ 2）求直線 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值?！緟⒖即鸢浮俊菊n堂練習(xí)】1、 arctan 22、 903、 30o4、 SN與面 CMN