第七節(jié)利用等價無窮小量代換求極限06126

1、11/13/2021 11:41 pm00lim( )()xxf xf x 微積分講義微積分講義設計制作設計制作王新心王新心11/13/2021 11:41 pm2.7 利用等價無窮小量代換求極限利用等價無窮小量代換求極限（一）與無窮小量有關的定理（一）與無窮小量有關的定理（二）（二）常用的等價無窮小量常用的等價無窮小量11/13/2021 11:41 pm( )o定理定理1 與是等價無窮小量 證明證明設，lim10 因此( ),o即( )o設，( )o即證畢。( )lim(1)1o 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)limlim(1) 則( )limlimo 則（一）與無窮小量有關的定理（一

2、）與無窮小量有關的定理11/13/2021 11:41 pm例如例如當時，0 x sinxx211cos2xx 所以，當時，0 x sin( ),xxo x2211cos()2xxo x第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)tan xarcsin,xtan( ),xxo xarcsin( ),xxo x11/13/2021 11:41 pm定理定理2（等價無窮小量代換定理）（等價無窮小量代換定理）設，且存在，,lim limlim() 證明證明limlim limlimlim lim 證畢。第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)則11/13/2021 11:41 pm當時0 x sinxx1xxe 2

3、11cos,2xx 31sin,6xxx （二）（二）常用的等價無窮小量常用的等價無窮小量第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)1ln(0,1)xaxa aa111nxxntan xarcsin xarctan xln(1)x 11xx11/13/2021 11:41 pm例例1計算0tan2limsin5xxx解解1利用重要極限0tan2limsin5xxx25 解解2利用等價無窮小量代換0tan2limsin5xxx25 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)02tan25lim52sin5xxxxx 02lim5xxx 11/13/2021 11:41 pm例例2計算30sinlim3xxxx

4、解解30sinlim3xxxx 2011lim33xx 例例3計算1230(1)1limcos1xxx 解解1230(1)1limcos1xxx 23 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)30lim3xxxx 20213lim12xxx 11/13/2021 11:41 pm說明說明應用等價無窮小量代換定理時（1）分子和分母都是無窮小量；（2）分子和分母都整體整體用等價無窮小量代換，例例4計算30tansinlimsinxxxx 判斷是否正確300tansinlimlim0sinxxxxxxxx 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)不能部分代換不能部分代換。11/13/2021 11:41 pm例

5、例4計算30tansinlimsinxxxx 30tansinlimsinxxxx 解解20011coslimlimcossinxxxxx 220112lim2xxx第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)30sin (1cos )limcossinxxxxx 11/13/2021 11:41 pm例例5計算20tanln(1)limsinxxxx 20tanln(1)limsinxxxx 解解3201sin1limarctanxxxx例例6計算3201sin1limarctanxxxx解解第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)20lim1xx xx201sin3limxxxx 220113lim3xx

6、x11/13/2021 11:41 pm1.若若lim ( )lim( )lim( )lim( )0 xxa xb x且且( )( ),( )( ),xa xxb x則則( )( )limlim( )( )xa xxb x 11( )lim( )( )( )lim1( )lim1( )a xxb xb xxa xe 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)內(nèi)容小結內(nèi)容小結重要結論重要結論等價無窮小量等價無窮小量代換定理代換定理11/13/2021 11:41 pm作業(yè)作業(yè)p94 282.若若lim ( )1, lim ( ),u xv x 則則( )lim ( ) 1 ( )lim ( )v xu

7、xv xu xe 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)11/13/2021 11:41 pm0sinlim(cos)5xxxxbea 1.若，;ab（2004）解解由于分子的極限為，0lim()0 ,xxea0sinlim(cos)1xxxxbe 4b 1a15b14 備用題備用題第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)也為。則分母的極限則即0lim(cos)xxxbx11/13/2021 11:41 pm202.lim1ln(1)xxx（2003）解解20lim1ln(1)xxx2e 2e21limln(12 )nnnnana 3.設常數(shù)，則12a 21limln(12 )nnnnana 1(12

8、)a 21lim1(1 2 )lnnnnannae 解解21lim1(12 )nnnanna 1(12 )a （2002）第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)結論結論120lim(1)xxx結論結論211/13/2021 11:41 pm30lim()2xxxxab 4.若均為常數(shù)，0,0ab（2000）解解033lim(1)20lim()2xxxabxxxxxabe 032lim2xxxabxe 0311lim2xxxabxe 03lnlnlim2xxa xbxe 3ln()2abe 32()ab 32()ab第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)則等價無窮等價無窮小量代換小量代換11/13/20