2數(shù)量積與向量積

1、4.1.3 向量的數(shù)量積和向量積向量的數(shù)量積和向量積返回三階行列式三階行列式向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積小結(jié)與思考題小結(jié)與思考題三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa返回下頁(yè)上頁(yè)333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa 322311aaa322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa (+)()返回下頁(yè)上頁(yè)一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積返回下頁(yè)上頁(yè) 1.數(shù)量積的

2、定義數(shù)量積的定義 先看一個(gè)實(shí)例：設(shè)有一個(gè)物體在常力先看一個(gè)實(shí)例：設(shè)有一個(gè)物體在常力 f的作用沿直的作用沿直線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了位移線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了位移 s，實(shí)驗(yàn)證明力，實(shí)驗(yàn)證明力 f所做的功為所做的功為 coswf s 其中其中 是力是力 f與位移與位移 s的夾角的夾角. . 上式的右邊可看成向量上式的右邊可看成向量 f 和和 s進(jìn)行了某種運(yùn)算，這種運(yùn)進(jìn)行了某種運(yùn)算，這種運(yùn) 算叫做向量的數(shù)量積算叫做向量的數(shù)量積. . fs 圖圖7-13定定義義 1 設(shè)設(shè),a b 是是兩兩個(gè)個(gè)向向量量，它它們們的的模模及及夾夾角角的的余余弦弦的的乘乘積積為為向向量量ab與的的數(shù)數(shù)量量積積（又又稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)積積或或內(nèi)內(nèi)積積）

3、 ，記記做做cos( , )a ba ba b 由由圖圖 7 7- -1 14 4 知知，數(shù)數(shù)cos( , )aa b 等等于于 有有向向線線段段ob的的值值，它它稱(chēng)稱(chēng)為為向向量量ab在 上上的的投投影影，記記做做pr jba，即即 cos( , )prjbaaa b 類(lèi)類(lèi)似似地地，向向量量ba在上上的的投投影影為為cos( , )prjabba b . . 數(shù)數(shù)量量積積又又能能表表示示成成prjprjbaa bbaab . . 圖圖714babo關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,b

4、a , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba 返回下頁(yè)上頁(yè),kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 返回下頁(yè)上頁(yè)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 c

5、os|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為返回下頁(yè)上頁(yè)例例 1 已知已知2( , ),3,4,3a bab 求向量求向量32cab的模的模. 解解 根根據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)量量積積的的定定義義和和性性質(zhì)質(zhì)，有有 22222(32 ) (32 )(32 ) 3(32 ) 29664912cos( , )42912 3 4cos434381 726473cc cabababaabba ab aa bb b

6、aba bab 所所以以 73c 解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabpr|)3( . 3|pr bbaajb .43 返回下頁(yè)上頁(yè)證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(返回下頁(yè)上頁(yè)|foqm sin|fop m的的方方向向垂垂直直于于op與與f所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.實(shí)例實(shí)例二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積lfpqo 返回下頁(yè)上頁(yè)2.向向量量積積的的幾幾何何意意義義 ab與的的向向量量積積的

7、的模模a b等等于于以以, a b 為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積（圖圖 7-17） ba圖圖7-17關(guān)于向量積的說(shuō)明：關(guān)于向量積的說(shuō)明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba返回下頁(yè)上頁(yè)向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 返回下頁(yè)上頁(yè),kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiaz

8、yx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 返回下頁(yè)上頁(yè)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出返回下頁(yè)上頁(yè)zzyxbaaa 000, 0 yxaaxb、yb、zb不不能能同同時(shí)時(shí)為為零零，但但允允許許兩兩個(gè)個(gè)為為零零，例如，例如，返回下頁(yè)上頁(yè)解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj

9、 , 55510|22 c|0ccc .5152 kj返回下頁(yè)上頁(yè)abc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面積為的面積為|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd返回下頁(yè)上頁(yè)解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，返回下頁(yè)上頁(yè)向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)向量）四、小結(jié)四、小結(jié)返回

10、下頁(yè)上頁(yè)思考題思考題已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(|bababa .返回下頁(yè)上頁(yè)思考題解答思考題解答)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 返回下頁(yè)上頁(yè)一一、 填填空空題題：1 1、 已已知知a= =3 3，b= =2 26 6，ba = =7 72 2, ,則則ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 已已知知（ba,）= =32 ，且且a= =1 1，b= =2 2，則則 2)(ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3

11、3、ba 的的幾幾何何意意義義是是以以ba,為為其其鄰鄰邊邊的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 三三向向 量量cba,的的 混混 合合 積積 cba 的的 幾幾 何何 意意 義義 是是_ _ _ _ _ _ _；5 5、 兩兩向向量量的的的的內(nèi)內(nèi)積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其其中中有有 一一個(gè)個(gè)向向量量為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 兩兩向向量量的的外外積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其其中中有有一一 個(gè)個(gè)向向量量為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _

12、_ _ _，或或它它們們互互相相_ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題返回下頁(yè)上頁(yè)7 7、設(shè)、設(shè)kjia23 ，kjib 2 , , 則則ba = _ = _， ba = _ = _ _ , , ba3)2( = _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ；8 8、設(shè)、設(shè)a= =kji 32, ,kjib3 和和,2jic 則則 bcacba)()( =_ =_ ,_ , )()(cbba _ _ ,_ , cba )( = _ = _ ._ .二二、 已已 知知cba,為為 單單 位位 向向 量量 ， 且且 滿(mǎn)滿(mǎn) 足足0 cba，計(jì)計(jì)算算accbba . .三三、設(shè)設(shè)質(zhì)質(zhì)量量為為 1 10 00 0 千千克克的的物物體體從從點(diǎn)點(diǎn))8,1,3(1m沿沿直直線線移移動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn))2,4,1(2m計(jì)計(jì)算算重重力力所所作作的的功功（長(zhǎng)長(zhǎng)度度單單位位為為米米，重重力力方方向向?yàn)闉閦軸軸負(fù)負(fù)方方向向）. .返回下頁(yè)上頁(yè)練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、30 ； 2 2、