定積分的換元積分法

1、4.3.1 4.3.1 定積分的換元積分法定積分的換元積分法4.3定積分的換元積分法定積分的換元積分法 與分部積分法與分部積分法4.3.2 4.3.2 定積分的分部積分法定積分的分部積分法4.3.1 4.3.1 定積分的換元積分法定積分的換元積分法若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)函數(shù) x = j j( (t) ) 在區(qū)間在區(qū)間 a a, b b 上單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù) j j ( (t) )，當(dāng)當(dāng) t 在在 a a, b b(或或 b b, a a)上變化時(shí)，上變化時(shí)， x = j j(t) 的值在的值在 a, b 上變化，上變化， 且且 j j

2、(a a) = a，j j(b b) = b( (或或j j(a a) = b，j j (b b ) = a ) ) 則則 baxxfd)( b ba aj jj jtttfd)()( baxxfd)(或或.d)()( a ab bj jj jtttf以上公式為以上公式為定積分的換元公式定積分的換元公式例例1 1 計(jì)算定積分計(jì)算定積分12123xdxx解解 令令2323,2uuxx即，則，則dxudu當(dāng)當(dāng)111,22xuxu 時(shí),當(dāng)時(shí)由定積分的換元積分法，得由定積分的換元積分法，得212222111321312(3)2231 11 71(3 )|(3)2 32 33uxdxuduuduuxuu

3、 例例2 2 計(jì)算定積分計(jì)算定積分4204x dx解解 令令2 sin ,xt，則，則2cosdxtdt當(dāng)當(dāng)00,1,6xtxt時(shí),當(dāng)時(shí)由定積分的換元積分法，得由定積分的換元積分法，得12226600060421 sin2cos4cos1 cos242x dxttdttdttdt6012sin2 2tt3326432試比較下列例題的兩種解題方法：試比較下列例題的兩種解題方法：220 xxe dx21,20244012t xxdxdtxxtte dt令當(dāng)時(shí),t=0,當(dāng)時(shí),4012te41(1)2e220 xxe dx222012xe dx（湊微分）（湊微分）22012xe41(1)2e“不換元，

4、不換限不換元，不換限”換元換元換限換限“換元，必?fù)Q限換元，必?fù)Q限”補(bǔ)例補(bǔ)例 計(jì)算計(jì)算.1d40 xx解解用定積分換元法用定積分換元法.，令令tx 則則 x = t2 ，dx = 2tdt，于是于是 401dxxtttd1220 ttd111220 . 3ln24|1|ln220 tt，20 40 tx補(bǔ)例補(bǔ)例 計(jì)算計(jì)算.de18ln3lnxx 解解,e1tx 令令則則 x = ln(t2 - - 1) ，.1d2d2 tttx于是于是xtln3 ln8 2 3xxde18ln3ln tttd123222 ttd1112322 3211ln212 ttt.23ln2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u = u(x

5、)， v = v(x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上具上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，xxvxud )()( 4.3.2 4.3.2 定積分的分部積分法定積分的分部積分法,d )()()()(xxuxvxvxu 則則xxvxubad )()( ,d )()()()(baxxuxvxvxu 即即.d)()()()(d )()(xxuxvxvxuxxvxubababa 由不由不定積分的分部積分法，定積分的分部積分法，得得即即 u = u (x)， v = v (x) 連續(xù)，連續(xù)，事實(shí)上，由乘積的微分法則可得事實(shí)上，由乘積的微分法則可得(),d uvudvvdu兩邊積分，得兩邊積分，得()bbbaaad

6、uvudvvdu|bbbaaauvudvvdu即即|bbbaaaudv uvvdu得定積分的分部積分公式：得定積分的分部積分公式：例例3 3 計(jì)算定積分計(jì)算定積分 0cosxxdx解解0cosxxdx0sinxdx00sin|sinxxxdx00cos|x2 |bbbaaaudv uvvduuvu vvu例例3 3 計(jì)算定積分計(jì)算定積分 10arctanxxdx解解10arctan x dx1201arctan2x d x1212001arctan|arctan 2xxx dx1220112 41xdxx212011 12 41xdxx |bbbaaaudv uvvduuvu vvu12011(1)2 41dxx?解解根據(jù)定積分的分部積分公式得根據(jù)定積分的分部積分公式得補(bǔ)例補(bǔ)例計(jì)算計(jì)算.darctan30 xx 30arctan x xd30)arctan(xx )arctand(30 xxxxxd13arctan3302 302)1ln(2133x . 2ln334ln2133 uvuvvu解解根據(jù)定積分的分部