第4章多元函數(shù)微積分學(xué)VIP

1、1第四章第四章 多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué) 2考試內(nèi)容1.1.多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念 鄰域 :, ),(0pu),(0pu(開)區(qū)域連通的開集邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)若點(diǎn)集若點(diǎn)集 e 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn), ,則稱則稱 e 為為開集開集. .若集若集 e 中任意兩點(diǎn)都可用中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于一完全屬于 e 的折線相連的折線相連, 則稱則稱 e 是是連通連通的的. e開區(qū)域連同它的邊界一起開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域稱為閉區(qū)域.3xyo用不等式用不等式( (組組) )表示區(qū)域表示區(qū)域: :0| ),( yxyxxyoab)(xfy )(xgy | ),(yxd x-型 ,bxa

2、)()(xfyxg 4用不等式用不等式( (組組) )表示區(qū)域表示區(qū)域: :| ),(yxd dcxyo)(yx )(yx y-型 ,dyc )()(yxy 52.2.二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的幾何意義 n元函數(shù):, ),(21nxxxfu.rnd 63.3.二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 極限,),(lim0ayxf,),(lim00ayxfyyxx,),(lim),(),(00ayxfyxyx.)()(2020yyxx其中其中 反之反之,若沿不同的線路得到不同的極限若沿不同的線路得到不同的極限,則原極則原極限不存在限不存在. ( (此結(jié)論常用于證明極限不存在此結(jié)論常

3、用于證明極限不存在) ) 7連續(xù)4.4.有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 有界定理有界定理, 最值定理最值定理, 介值定理介值定理. .一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù). .5.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(00000000),(dd0 xxyxfx 本質(zhì)上仍然是一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上仍然是一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù),故一元函數(shù)中的求故一元函數(shù)中的求導(dǎo)公式導(dǎo)公式,求導(dǎo)法則都適用于求偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則都適用于求偏導(dǎo)數(shù).),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx8

4、6.6.二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 9多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)與可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)與可微的關(guān)系可可 微微連連 續(xù)續(xù) 連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)7.7.全微分全微分 108.8.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 鏈導(dǎo)公式鏈導(dǎo)公式 ,xvvzxuuzxz.yvvzyuuzyz, ),(vuxfz 若若, ),(yxu則則, ),(yxv,xvvzxuuzxfxz.yvvzyuuzyz, ),(vufz

5、 若若, ),(yxu則則, ),(yxv(1)(1)(2)(2)注意注意xzxf與與的區(qū)別的區(qū)別. .11隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法 方法一方法一: :.,zyzxffyzffxz方法二方法二: : ( (公式法公式法) ) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0zf方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于x 或或 y 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù);129.9.多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值 , ),(00yxfbxy , ),(00yxfaxx . ),(00yxfcyy 記記 ),(yxfz 二元函數(shù)的二元函數(shù)的 極值求法極值求法13( (拉格朗日乘數(shù)法) )條件極值條件極值 構(gòu)造拉格朗

6、日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù), ),(),(),(yxyxfyxf求出極值可能點(diǎn)求出極值可能點(diǎn),再根據(jù)具體問題判斷再根據(jù)具體問題判斷. ,0),(0),(),(0),(),(yxfyxyxffyxyxffyyyxxx令令其中其中為參數(shù)為參數(shù),稱為拉格朗日乘數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù). 則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為. ),(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxl,0),(zyx,0),(zyx1410.10.二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算 二重積分的概念二重積分的概念nkkkkfi10),(limdyxfd),(記作記作直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下, ,面積元素面

7、積元素. yxddd極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下, ,面積元素面積元素.dddddrrrrfyxyxfdddd)sin,cos(),(1511.11.無界區(qū)域上簡(jiǎn)單的反常二重積分無界區(qū)域上簡(jiǎn)單的反常二重積分 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)與一元函數(shù)定積分的性質(zhì)完全類似與一元函數(shù)定積分的性質(zhì)完全類似.二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算將二重積分轉(zhuǎn)化成累次積分將二重積分轉(zhuǎn)化成累次積分.16考試要求1.1.了解多元函數(shù)的概念了解多元函數(shù)的概念,了解二元函數(shù)的幾何意義了解二元函數(shù)的幾何意義 . .3.3.了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念,會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階

8、偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù),會(huì)求全微分會(huì)求全微分,會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) . . 4.4.了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念,掌握多元函數(shù)極值存在的掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件必要條件,了解二元函數(shù)極值存在的充分條件了解二元函數(shù)極值存在的充分條件,會(huì)求二元函數(shù)的極值會(huì)求二元函數(shù)的極值,會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值,會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值小值,并會(huì)解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題并會(huì)解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題 . .2.2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念,了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)

9、了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) . .5.5.了解二重積分的概念與基本性質(zhì)了解二重積分的概念與基本性質(zhì),掌握二重積分的計(jì)算方法掌握二重積分的計(jì)算方法( (直角直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)坐標(biāo)、極坐標(biāo)) ).了解無界區(qū)域上較簡(jiǎn)單的反常二重積分并會(huì)計(jì)算了解無界區(qū)域上較簡(jiǎn)單的反常二重積分并會(huì)計(jì)算 . .17典型例題分析例例1 1解解,01limlimlim2022220220kkxkxkxyxxyxxkxyx18. )0 , 0(,0, )00(,),(22) )( x,y,x,yyxxyyxfxfxffxx)0 , 0()0,0(lim)0 , 0(0;00lim0 xx),(yxfyfxffy

10、xfzyx)0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 ,0(, )(22yxo22yxyx最后考察可微性最后考察可微性:19|)1 (lim222023xxkxkx,22220limyxyxyxxkyx實(shí)際上實(shí)際上,可微一定連續(xù)可微一定連續(xù),不連續(xù)當(dāng)然不可微不連續(xù)當(dāng)然不可微. 20解法解法1 101lim1100 xyyx原式解法解法2 2 令,xky 01lim0kkxx原式解法解法3 3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式例例2 2 討論二重極限yxyxyx00lim時(shí), 下列算法是否正確是否正確?21分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1

11、100 xyyx解法2 令令,xky , 01lim0kkxx原式原式 此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況, ,此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況. . 時(shí)時(shí)例如例如xxy21lim2230 xxxx原式原式此時(shí)極限為此時(shí)極限為 1 .1 .第二步未考第二步未考慮分母變化的所有情況慮分母變化的所有情況, , , 1,111xyxxy時(shí)時(shí)例如例如22解法解法3 3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式原式此法忽略了此法忽略了 的任意性的任意性, ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)4, 0r)sin(2sincossin

12、cossincos4rr極限不存在極限不存在! ! 由以上分析可見由以上分析可見, ,三種解法都不對(duì)三種解法都不對(duì), ,因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn)變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn) . 特別要注意特別要注意, ,在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限, ,但但要注意在定義域內(nèi)要注意在定義域內(nèi) r , 的變化應(yīng)該是任意的的變化應(yīng)該是任意的. 同時(shí)還可看到同時(shí)還可看到, ,本題極限實(shí)際上不存在本題極限實(shí)際上不存在 .23解解.)(lim22)0 , 0(),(yxxxyyx求極限求極限)0(,sin,cosyx令令. 0)0 , 0()

13、,(等價(jià)于等價(jià)于則則yxcos)cos(sin)(0222yxxxycos)cos(sin),0(02. 0)(lim22)0 , 0(),(yxxxyyx例例3 3故由夾逼準(zhǔn)則知故由夾逼準(zhǔn)則知 24例例4 4解解,22yxyxfe,22yxxyfe,222322yxxyxfe,222322yxyxyfe,)21 (22222yxyxyxfe.222222222yxyfxyyxfxfyxe 所以所以25例例5 5解解)1(213xfxfxyz,2214fxfx)1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz22)(2)(4222212

14、221211413xyfyfxfxxyfyfxfx .2422114213fyfyxfxfx ., : )( , ),( 2223yxzyzyzfxyxyfxz求求，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)26例例6 6解法一解法一222)2(2zzxzxzx .)2()2(322zxz ,0422 xzxzzx,2zxxz 解法二解法二 (公式法公式法) 設(shè)設(shè)zzyxzyxf4),(222 則則,2xfx zxffxz 2 zx.2zx 42 zfz27解解兩邊微分兩邊微分, ,0)(xyzxxxyzxyzxyzdddededdd.ddeedyxxxzxyzxyz1) 1(1解得解得將將方方

15、程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)x求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)， 解解,22xzyzyzfxxxee28解解 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得xzdd)0(23fffx其中其中. 23221fffxffffxffx 32121fffxfffxffx例例9 9 設(shè)設(shè)其中其中 f 與與 f 分別具有分別具有一一,0),(,)(zyxfyxfxz階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù), 求.ddxzxzdd fx1ff)dd1 (xyxyfdd20dd3xzffxfxzxyfxdddd132ddddfxzfxyf即即29例例1 10 0解解,06)268() 1 , 2() 1 , 2(2 yxyyzaxx,4)438() 1 , 2() 1

16、 , 2(2 xyxxzbxy,8)2() 1 , 2() 1 , 2(2 xzcyy,0322acb6 yxoxyd306 yxoxyd)4(),(2yxyxyxfz31例例1 11 1解解，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù))2000103(804143 yxyxl 令令200010301020036043434141yxyxlyxlyx 50500yx解解得得惟惟一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)由實(shí)際問題由實(shí)際問題,此即最佳分配方案此即最佳分配方案. 32將將yxyxfdd ),(d 化為二次積分化為二次積分,其中其中 d 由直線由直線4 , 2 , 2 , yyxyxy圍成圍成.解法解法 1 1先畫出積分區(qū)

17、域先畫出積分區(qū)域 d，xyo24624xy 2 xy24. 2, 42 :yxyyd先先 x 后后 y, , yxyxfdd ),(dxyxfyyd ),(2 42d y例例1212型計(jì)算型計(jì)算積分區(qū)域按積分區(qū)域按 y33解法解法 2 2先先y后后 x, , 26.21ddd yxyxfyxyxfyxyxfddddd ),(dd ),(dd ),(21 yyxfxd ),(2 42dx41d2d.2, 42 :1xyxd. 42, 64 :2yxxdyyxfxd ),(42 64dxxyo24624xy 2 xy 型計(jì)算型計(jì)算積分區(qū)域按積分區(qū)域按 x34例例1313. d),(d 21 1 1

18、 0 交交換換積積分分次次序序?qū)?yyxyxfy12先先 x 后后 y, ,將將 d 向向 y 軸投影軸投影,.11, 10 :2yxyyd先先 y 后后 x, ,將將 d 向向 x 軸投影軸投影,.21ddd . 11, 10 :1yxxd . 11, 21 :2yxxd.d),(dd),(d 1 1 2 1 1 -1 1 0 xxyyxfxyyxfxi解解 0 xy1yx 121yx 35.2,d2所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域及及是是由由拋拋物物線線其其中中計(jì)計(jì)算算 xyxydxyd 解法解法1 1 2212dddyydxxyyxy .8456234421216234 yyyy 2 , 4-122yx 2 yx 1, 1 xy例例1414