6第六講定積分的性質(zhì)及計(jì)算

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程第五、六章 一元函數(shù)的積分本章學(xué)習(xí)要求： 熟悉不定積分和定積分的概念、性質(zhì)、基本運(yùn)算公式. 熟悉不定積分基本運(yùn)算公式.熟練掌握不定積分和定積分的換元法和分部積分法.掌握簡單的有理函數(shù)積分的部分分式法. 理解積分上限函數(shù)的概念、求導(dǎo)定理及其與原函數(shù)的關(guān)系. 熟悉牛頓萊布尼茲公式（微積分基本定理）. 理解廣義積分的概念.能運(yùn)用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算廣義積分。 掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練運(yùn)用定積分表達(dá)和計(jì)算一些量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題等。第一、二節(jié) 定積分的引入及概念第五章 一元函數(shù)的積分三. 定積分的定義一. 面積問題二. 曲邊梯形

2、的面積 面積問題是個古老的問題，除了需要測量長度的方法之外，還需要用到計(jì)算的方法，直觀的計(jì)算方法就是矩形（三角形、梯形）面積的計(jì)算。oxyab1x1ixix)(xfy , 0)( xf設(shè) . ),()(bacxf , 1110bxxxxxxannii任意引入分點(diǎn) )., 2 , 1( , , 1nixxnbaii個小區(qū)間成分將 . 1個小區(qū)間的長度表示第用ixxxiii稱為區(qū)間的一個分法 toxyab1x1ixix)(xfy . )( :11niiiniixfss曲邊梯形面積 . t 的選擇有關(guān)及點(diǎn)與分法is 極限過程是什么？如何求精確值？二. 定積分的定義 . , , )( 且有界上有定義在

3、設(shè)函數(shù)baxf , 1110bxxxxxxannii任意引入分點(diǎn) )., 2 , 1( , , 1nixxnbaii個小區(qū)間成分將區(qū)間 , . 11iiiiiixxixxx個小區(qū)間的長度表示第用 , , )(lim 10 |的且該極限值與對區(qū)間存在若baxfniiix , , )( , t 上可積在則稱函數(shù)的選擇無關(guān)及點(diǎn)分法baxfi的定上在極限值稱為記為 , )( ), , ()( baxfbarxf . )max| ( )(limd)( :110|ininiiibaxxxxfxxf積分值定積分符號： . )(limd)(10|niiixbaxfxxf 定積分號；ba 積分下限；a 積分上限

4、；b d)(被積表達(dá)式；xxf )(被積函數(shù)；xf d積分變量；中的xx . ,積分區(qū)間ba ) ( 積分變量的取值范圍定積分的幾何意義oxyab)(xfy 1a2a3acd , )( d)(bxaxxfyxxfba與直線等于曲線 . 面積的代數(shù)和軸所圍成的幾何圖形的及 x第三節(jié). 定積分的性質(zhì) 由于定積分是一種和式的極限, 所以極限的某些性質(zhì)在定積分中將有所反映. 在以下的敘述中, 假設(shè)所出現(xiàn)的函數(shù)均可積, 所出現(xiàn)的定積分均存在. 一. 運(yùn)算性質(zhì): 證證 : , 定積分反號交換積分上、下限 . d)(d)(abbaxxfxxf 1 性質(zhì) . , , t 1的取值也不變不變保持分法iiixx

5、; , 1iiixxxba看往則由 . , 1*iiiixxxxab看往由niiixniiixabxfxfxxf10|10|)(lim)(limd)( . d)(baxxf0d)(aaxxf )( 2 線性性質(zhì)性質(zhì)babaxxfkxxfkd)(d)(. 1 d)(d)(d)()(. 2bababaxxgxxfxxgxf證證 )( : 線性性質(zhì)合并得 , d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf . ,為常數(shù)、式中由定積分定義及極限運(yùn)算性質(zhì)：niiiixbaxgfxxgxf10|)()(limd)()(niiixniiixxgxf10|10|)(lim)(lim . d)(d)(

6、babaxxgxxf )( 3 對區(qū)間的可加性性質(zhì)bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)( . ,bca其中oxyab)(xfy c , )( 則可積在下列所出現(xiàn)的區(qū)間上若xf . d)(d)(d)(bccabaxxfxxfxxf . d)(d)(d)(:bcacbaxxfxxfxxf即. ,就沒有限制了其中bca )( 4 保號性性質(zhì) . 0d)( , , 0)( baxxfbaxxf則若(小于零的情形類似. )oxyab0a0)(xfy二. 定積分值的估計(jì): 1 4 的推論性質(zhì) . d)(d)( , , )()( babaxxgxxfbaxxgxf則若oxyab)(xgy 0gfa

7、a)(xfy 例1: p261 2.(1)的大小與比較10210d xxxdx解: 在 0 x1 時,有: x x210210d xxxdx . d)(d)( , , )()( babaxxgxxfbaxxgxf則若 2 4 的推論性質(zhì)babaxxfxxfd| )(| |d)(|oxyab)(xfy | )(| xfy )( 5 估值定理性質(zhì) , , )( , 則最小值上的最大在分別為設(shè)baxfmm . )(d)()(abmxxfabmba證證. , )( ),()( baxmxfmbarxf由于baxxfd)(所以baxmabmd)( . )(dabmxmbaabxbad:6性質(zhì)例1: p2

8、61 3.(1)的值估計(jì)10d xex解: 在 0 x1 時,有: 1 ex e)01 (d)01 ( 110exexexex10d1 , , )( , 則最小值上的最大在分別為設(shè)baxfmm . )(d)()(abmxxfabmba )( 7 積分中值定理性質(zhì)使得則上保持符號不變在 , , , , baba . d)()(d)()(babaxxgfxxgxf , 1)( 則若xgbabaxfxxfd)(d)( . )(abfoxyab )( ),()( ),()( xgbarxgbacxf且若)(xfy 第六章 一元函數(shù)積分學(xué)-定積分第四節(jié) 微積分基本定理一. 積分上限函數(shù)二. 微積分基本公

9、式 本節(jié)建立不定積分與定積分之間的關(guān)系,從而把定積分的計(jì)算歸結(jié)為不定積分的計(jì)算問題.三. 計(jì)算例子一. 積分上限函數(shù) (可變上限的定積分) , , , )( 就有值每給定一對而言對可積函數(shù)baxf . d)( 與之對應(yīng)確定的定積分值baxxfs與它的上下限的定積分這意味著 d)( )( baxxfxf . 之間存在一種函數(shù)關(guān)系 , ,則得到積讓積分上限變化固定積分下限不變:分上限函數(shù) . , d)(d)()( baxttfxxfxpxaxaoxyabx x)(xfy 積分上限函數(shù)的幾何意義oxyabx x)(xfy 積分上限函數(shù)的幾何意義xaxxf d)(曲邊梯形的面積的代數(shù)和隨 x 的位置而

10、變化。 ,d)(d)( 有由積分的性質(zhì)：abbaxxfxxf, d)(d)( xbbxttfttf所以，我們只需討論積分上限函數(shù). d)( 稱為積分下限函數(shù)bxttf)(可變下限的定積分證證 d)()( ),()( xattfxpbarxf則若 , , , , 則且baxxbax)()()(xpxxpxpxxxxaxxattfttfttf d)(d)(d)( ,且連續(xù)、可導(dǎo)在ba . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxpxaxxpx)(lim(x)p0 ,d)()( xxxttfxp由 , ),()( 得則由積分中值定理如果bacxf , )(d)()( xfttfxpxxx) (

11、之間與在xxxxxpx)(lim(x)p 0故)(lim0fx 條件xxfx)(lim0)(xf ),()( bacxf若 d)()(p xattfx則 . ba,上的一個原函數(shù)在區(qū)間是 f(x)表示原函數(shù)通常也用 d)()(f xattfx例1) d (2xatte ddd2xattex .2xe ?) dcos ( xaxx定積分與積分變量的記號無關(guān)定積分與積分變量的記號無關(guān). )(xf .cos) dcos ( xxxxa例2) dcos (12xtt) dcos (12xttdxd) dcos (12xttdxd) dcos (12xttdxdx2cos例3 . )( , dsin)(

12、 2 0 xfttxfx求設(shè)解 , )()( , dsin)( , 2 0 2xgxfttugxuu則令xuugxfuxdd)()( 故xuuxtt)()dsin(2 0 . sin22sin2xxxu這是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo), 你能由此寫出它的一般形式嗎? , 一般地 , )( , )( 則可導(dǎo)若cxfx . )()() d)( ()()( xxfttfxfxa例4解 . dlim 21 cos 02xtextx計(jì)算2cos 1 021 cos 0dlimdlim 22xtextextxxtxxxexx2)sin(lim2cos0 . 21e羅必達(dá)法則羅必達(dá)法則 )()() d)( ()( xxft

13、tfxa )()( d)()( 你會想到什么？及由xfxfttfxfxa, d)()( ),()( battfxfbacxfxa在則若 , 且上可導(dǎo) . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxfxa . )()()( , )( xfxfcxfxf則存在若 . , )( 則必有無窮多個若存在這樣的xf .)()( ),()( ),()( 2121cxfxfxfxfxfxf則若 . d)( , )( baxxfxf就可以計(jì)算定積分若能找到這樣的cxxfxfxa d)()()()(d)( afbfxxfba定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為已問題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的導(dǎo)函知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)數(shù), ,求原

14、來函數(shù)求原來函數(shù)的問題的問題 . . 二. 微積分基本公式1. 原函數(shù)的定義 )( , )()( i 為則稱上有若在某區(qū)間xfxfxf . i )(上的一個原函數(shù)在區(qū)間xf上在為則如果 , )( d)( ),()( baxfttfbacxfxa .的一個原函數(shù) , )( )( 則有的原函數(shù)為若已知xfxf .)(d)(0 cxfttfxa . )( ,)(d)(0 , 00 afccafttfaxaa故則令 , 則得到取bx . )()(d)(d)( afbfxxfttfbaba2. 微積分基本公式基本公式基本公式 ) (萊布尼茨公式牛頓 , )( )( ),()( 上的在為若baxfxfba

15、cxf , 則一個原函數(shù) ).()( )(d)( afbfxfxxfbaba . 函數(shù)的計(jì)算聯(lián)系起來了將定積分的計(jì)算與求原萊布尼茨公式牛頓例 ,cos)(sinxx . 10sin2sin sindcos202 0 xxx .2) 1arctan(1arctan arctand111 11 1 2xxx .21)0sin42(sin21 2sin21d2cos40 4 0 xxx . )()(d)( afbfxxfba3. 基本計(jì)算例子:基本公式基本公式例5102d xx用定義計(jì)算得用定義計(jì)算得:31d102xx103|31x3303113131xx d:2考慮3x31例642d1xx42d1:xx解xxd1:考慮cxln42|ln x4ln2ln2ln例7axxxe0d2xxexd:2考慮xxexd22d212xexcex221a