初三數(shù)學圓經(jīng)典例題

1、一圓的定義及相關概念【考點速覽】考點1：圓的對稱性：圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。圓心是它的對稱中心?？键c2：確定圓的條件；圓心和半徑 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小； 不在同一條直線上的三點確定一個圓；考點3：弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。直徑是圓中最大的弦。弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距?；。簣A上任意兩點間的部分叫做弧。弧分為半圓，優(yōu)弧、劣弧三種。 （請務必注意區(qū)分等弧，等弦，等圓的概念）弓形：弦與它所對應的弧所構成的封閉圖形。弓高：弓形中弦的中點與弧的中點的連線段。（請務必注意在圓中一條弦將圓分割為兩個弓形，對應兩個

2、弓高）固定的已經(jīng)不能再固定的方法：求弦心距，弦長，弓高，半徑時通常要做弦心距，并連接圓心和弦的一個端點，得到直角三角形。如下圖：考點4：三角形的外接圓：銳角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,鈍角三角形的外心在 。 考點5點和圓的位置關系 設圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則點與圓的位置關系有三種。 點在圓外dr；點在圓上d=r；點在圓內 dr；【典型例題】例1 在ABC 中，ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB邊上的中線，以點C為圓心，以為半徑作圓，試確定A,B,M三點分別與C有怎樣的位置關系，并說明你的理由。MABC例2已知，如圖，CD是直徑，AE交O于B，且AB

3、=OC，求A的度數(shù)。DOEBAC例3 O平面內一點P和O上一點的距離最小為3cm，最大為8cm，則這圓的半徑是_cm。例4 在半徑為5cm的圓中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，則AB和CD的距離是多少？例5 如圖,O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE=6cm，EB=2cm,，ABDCO·E求CD的長例6.已知：O的半徑0A=1，弦AB、AC的長分別為，求的度數(shù)例7.如圖，已知在中，AB=3cm，AC=4cm，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧交CB的延長線于點D，求CD的長BDAC例8、如圖，有一圓弧開橋拱，拱的跨度AB16cm，拱高CD4cm，那么拱形的半徑是m。.思考題

4、如圖所示,已知O的半徑為10cm，P是直徑AB上一點,弦CD過點P,CD=16cm,過點A和B分別向CD引垂線AE和BF,求AE-BF的值.·ABDCEPFO二垂徑定理及其推論【考點速覽】考點1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條孤推論1：平分弦（不是直徑）的直徑重直于弦，并且平分弦所對的兩條孤弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條孤平分弦所對的一條孤的直徑,垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條孤推論2圓的兩條平行弦所夾的孤相等垂徑定理及推論1中的三條可概括為： 經(jīng)過圓心；垂直于弦；平分弦(不是直徑)；平分弦所對的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎Φ牧踊∫陨衔妩c已知其中的任意兩

5、點，都可以推得其它兩點【典型例題】例1 如圖AB、CD是O的弦，M、N分別是AB、CD的中點，且ABDCO·NM求證：AB=CD例2已知，不過圓心的直線交O于C、D兩點，AB是O的直徑，AE于E，BF于F。求證：CE=DF 例3 如圖所示，O的直徑AB15cm，有一條定長為9cm的動弦CD在弧AmB上滑動（點C與點A，點D與B不重合），且CECD交AB于E，DFCD交AB于F。（1）求證：AEBFOABCDEFm（2）在動弦CD滑動的過程中，四邊形CDEF的面積是否為定值？若是定值，請給出證明，并求出這個定值，若不是，請說明理由。例4 ABCDPO。.如圖，在O內，弦CD與直徑AB交

6、成角，若弦CD交直徑AB于點P，且O半徑為1，試問： 是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.例5.如圖所示，在O中，弦ABAC，弦BDBA，AC、BD交直徑MN于E、F.求證：ME=NF.·OABDCEFMNABMNCP例6.（思考題）如圖，與交于點A，B，過A的直線分別交，于M,N，C為MN的中點，P為的中點，求證：PA=PC.三圓周角與圓心角【考點速覽】考點1圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角，圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。Eg: 判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。圓周角：頂點在圓周上，角兩邊和圓相交的角叫圓周角。兩個條件缺一不可Eg: 判斷下列圖示中，各圖形

7、中的角是不是圓周角，并說明理由考點2定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半Eg: 如下三圖，請證明。 13.如圖，已知A、B、C、D是O上的四個點，ABBC，BD交AC于點E，連接CD、AD（1）求證：DB平分ADC； （2）若BE3，ED6，求AB的長 14.如圖所示，已知AB為O的直徑，CD是弦，且ABCD于點E連接AC、OC、BCEDBAOC（1）求證：ACO=BCD （2）若EB=，CD=，求O的直徑15.如圖，在RtABC中，ACB90°，AC5，CB12，AD是ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE。（1）求證：ACAE；ACBDE（

8、2）求ACD外接圓的半徑。16.已知：如圖等邊內接于O，點是劣弧上的一點（端點除外），延長至，使，連結（1）若過圓心，如圖，請你判斷是什么三角形？并說明理由（2）若不過圓心，如圖，又是什么三角形？為什么？AOCDPB圖AOCDPB圖四圓心角、弧、弦、弦心距關系定理【考點速覽】圓心角, 弧,弦,弦心距之間的關系定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的孤相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等推論：在同圓或等圓中,如果兩個圓心角,兩條弧,兩條弦,兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.（務必注意前提為：在同圓或等圓中）ABEFOOPOCO1O2ODO例1如圖所示，點O是E

9、PF的平分線上一點，以O為圓心的圓和角的兩邊分別交于A、B和C、D，求證：AB=CD例2、已知：如圖，EF為O的直徑，過EF上一點P作弦AB、CD，且APF=CPF。求證：PA=PC。·OABC例3如圖所示，在中，A=，O截的三條邊長所得的三條弦等長，求BOC.例4如圖，O的弦CB、ED的延長線交于點A，且BC=DE求證：AC=AE O·CAEBD例5如圖所示，已知在O中，弦AB=CB，ABC=，ODAB于D，OEBC于E求證：是等邊三角形·OADEBC例6.如圖所示，已知ABC是等邊三角形，以BC為直徑的O分別交AB、AC于點D、E。（1）試說明ODE的形狀；（

10、2）如圖2，若A=60º，ABAC，則的結論是否仍然成立，說明你的理由。例7弦DFAC，EF的延長線交BC的延長線于點G.（1）求證：BEF是等邊三角形；·AOBEDCGF（2）BA=4，CG=2，求BF的長.例8已知：如圖，AOB=90°，C、D是弧AB的三等分點，AB分別交OC、OD于點E、F。求證：AE=BF=CD。六會用切線，能證切線考點速覽：考點1直線與圓的位置關系圖形公共點個數(shù)d與r的關系直線與圓的位置關系0d>r相離1d=r相切2d<r相交考點2切線：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。符號語言 OA l 于A， OA為半徑

11、l 為O的切線考點3判斷直線是圓的切線的方法：與圓只有一個交點的直線是圓的切線。圓心到直線距離等于圓的半徑的直線是圓的切線。經(jīng)過半徑外端，垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（請務必記住證明切線方法：有交點就連半徑證垂直；無交點就做垂直證半徑）考點4切線的性質定理： 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。 推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（請務必記住切線重要用法： 見切線就要連圓心和切點得到垂直）1、如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F，且ACB=DCE(1)判斷直線CE與O的位置關系，

12、并證明你的結論；(2)若AB=3,BC=4,DE=DC，求O的半徑2.如圖，是半圓的直徑，過點作弦的垂線交半圓 于點，交于點使（1）判斷直線與圓的位置關系，并證明你的結論；CAOBED3.如圖，已知R tABC，ABC90°，以直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于點D，連結BD（1）取BC的中點E，連結ED，試證明ED與O相切（2）在（1）的條件下，若AB3，AC5，求DE的長；ACBDEO·4.如圖，已知AB是O的直徑，點C在O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，COB=2PCB. （1）求證：PC是O的切線； （2）求證：BC=AB；5.如圖，在ABC中，

13、AB=AC，D是BC中點，AE平分BAD交BC于點E，點O是AB上一點，O過A、E兩點, 交AD于點G，交AB于點FBACDEGOF（1）求證：BC與O相切；（2）當BAC=120°時，求EFG的度數(shù)6.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的O經(jīng)過點D，E是O上一點， （1）若AED45º試判斷CD與O的關系，并說明理由（2）若AED=60º,AD=4，求O半徑。ABCDEO7.在RtACB中，C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC為直徑作O交AB于點D.（1）求線段AD的長度；（2）點E是線段AC上的一點，試問當點E在什么位置時，直線

14、ED與O相切？請說明理由.ODCBA8.如圖，已知ABC內接于O，AC是O的直徑，D是的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交CB、CA的延長線E、FFADEBCO·（1）求證：EF是O的切線；（2）若AB8，EB2，求O的半徑如圖，已知O是ABC的外接圓，AB為直徑，若PAAB，PO過AC的中點M，求證：PC是O的切線。20. 已知：AB是O的弦，ODAB于M交O于點D，CBAB交AD的延長線于C（1）求證：ADDC；（2）過D作O的切線交BC于E，若DE2，CE=1，求O的半徑20在Rt中，F(xiàn)=90°，點B、C分別在AD、FD上，以AB為直徑的半圓O 過點C，聯(lián)結AC，將

15、AFC 沿AC翻折得，且點E恰好落在直徑AB上.（1）判斷：直線FC與半圓O的位置關系是_；并證明你的結論.（2）若OB=BD=2,求CE的長20如圖所示，AB是O的直徑，OD弦BC于點F，且交O于點E，若AEC=ODB（1）判斷直線BD和O的位置關系，并給出證明；（2）當AB=10，BC=8時，求BD的長（20題圖） 20已知：如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O分別交BC、AC于點D、E，聯(lián)結EB交OD于點F（1）求證：ODBE；（2）若DE=，AB=5，求AE的長20. 如圖，AB是的直徑，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N,交BC的延長線于點E,直線CF交EN于點F

16、,且（1）證明CF是的切線(2) 設O的半徑為1且AC=CE,求MO的長. 21.如圖，AB BC CD分別與圓O切于E F G且AB/CD，連接OB OC，延長CO交圓O于點M，過點M作MN/OB交CD于N求證 MN是圓O切線當OB=6cm，OC=8cm時，求圓O的半徑及MN的長七切線長定理考點速覽：考點1切線長概念： 經(jīng)過圓外一點做圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長 切線長和切線的區(qū)別·AAOACADABAPA 切線是直線，不可度量；而切線長是切線上一條線段的長，而圓外一已知點到切點之間的距離，可以度量考點2 切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切

17、線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角要注意：此定理包含兩個結論，如圖，PA、PB切O于A、B兩點，PA=PB PO平分考點3 兩個結論： 圓的外切四邊形對邊和相等；圓的外切等腰梯形的中位線等于腰長經(jīng)典例題：例1 已知PA、PB、DE分別切O于A、B、C三點，若PO=13，的周長為24，A·EPDBCO求：O的半徑；若，的度數(shù)例2 如圖，O分別切的三邊AB、BC、CA于點D、E、F，若·EFDCOAB（1）求AD、BE、CF的長；（2）當，求內切圓半徑r·EFDCOAB例3如圖，一圓內切四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形的周長為？例4 如圖

18、甲，直線與軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C是第二象限內任意一點，以點C為圓心與圓與軸相切于點E，與直線AB相切于點F.（1）當四邊形OBCE是矩形時，求點C的坐標；（2）如圖乙，若C與軸相切于點D，求C的半徑r；（3）求m與n之間的函數(shù)關系式；（4）在C的移動過程中，能否使是等邊三角形（只回答“能”或“不能”）？八三角形內切圓考點速覽考點1概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形概念推廣：和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形考點2三角形外接圓與內切圓比較：名稱確定方法圖形性質外心（三角形外接

19、圓的圓心）三角形三邊中垂線的交點（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的內部內心（三角形內切圓的圓心）三角形三條角平分線的交點（1）到三邊的距離相等；（2）OA、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB；（3）內心在三角形內部考點3求三角形的內切圓的半徑1、直角三角形ABC內切圓O的半徑為.2、一般三角形已知三邊，求ABC內切圓O的半徑r. （海倫公式S ， 其中s=)例1如圖，ABC中，A=m° （1）如圖（1），當O是ABC的內心時，求BOC的度數(shù)； （2）如圖（2），當O是ABC的外心時，求BOC的度數(shù)；（3）如圖（3），當O是高線BD與CE的交點時，求BOC的度數(shù)例

20、2如圖，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求RtABC的內心I與外心O之間的距離考點速練21如圖，在半徑為R的圓內作一個內接正方形，然后作這個正方形的內切圓，又在這個內切圓中作內接正方形，依此作到第n個內切圓，它的半徑是（ ）A（）nR B（）nR C（）n1R D（）n1R 3如圖，已知ABC的內切圓O分別和邊BC，AC，AB切于D，E，F(xiàn)，如果AF=2，BD=7，CE=4 （1）求ABC的三邊長；（2）如果P為弧DF上一點，過P作O的切線，交AB于M，交BC于N，求BMN的周長十圓與圓位置的關系考點速覽：1圓和圓的位置關系（設兩圓

21、半徑分別為R和r，圓心距為d）外離外切相交內切內含圖形O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2公共點0個1個2個1個0個d、r、R的關系外公切線2條2條2條1條0條內公切線2條1條0條0條0條2有關性質： （1）連心線：通過兩圓圓心的直線。如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上。 （2）公共弦：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。 （3）公切線：和兩個圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。 兩個圓在公切線同旁 兩個圓在公切線兩旁外公切線內公切線3相交兩圓的性質 定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。4相切兩圓的性質定理：相切兩圓的連心線經(jīng)過切點經(jīng)典例題：例1、如圖，已知與相交于A、B兩點，

22、P是上一點，PB的延長線交于點C，PA交于點D，CD的延長線交于為N.（1）過點A作AE/CN交于點E.求證：PA=PE.PABC·EN·D（2）連接PN，若PB=4，BC=2，求PN的長.例2 如圖，在中，圓A的半徑為1，若點O在BC邊上運動（與點B、C不重合），設的面積為y.（1）求關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；（2）以點O為圓心，BO長為半徑作O，當圓O與A相切時，求的面積.OBCA課堂練習：1.已知O1與O2的半徑分別為5cm和3cm，圓心距020=7cm，則兩圓的位置關系為 A外離 B外切 C相交 D內切2.已知兩圓半徑分別為2和3，圓心距為，若兩圓沒有公共

23、點，則下列結論正確的是（ ）ABC或D或3.大圓半徑為6，小圓半徑為3，兩圓圓心距為10，則這兩圓的位置關系為（ ） A外離 B外切相交 D內含 5.若兩圓的半徑分別是1cm和5cm，圓心距為6cm，則這兩圓的位置關系是（ ）A內切 B相交 C外切 D外離6.外切兩圓的圓心距是7，其中一圓的半徑是4，則另一圓的半徑是A11B7C4D3十一.圓的有關計算考點速覽：【例題經(jīng)典】有關弧長公式的應用例1 如圖，RtABC的斜邊AB=35，AC=21，點O在AB邊上，OB=20，一個以O為圓心的圓，分別切兩直角邊邊BC、AC于D、E兩點，求弧DE的長度 有關陰影部分面積的求法·COABDE例2

24、 如圖所示，等腰直角三角形的斜邊，是的中點，以為圓心的半圓分別與兩腰相切于、求圓中陰影部分的面積求曲面上最短距離例3 如圖，底面半徑為1，母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是（ ） A2 B4 C4 D5求圓錐的側面積例4 如圖10，這是一個由圓柱體材料加工而成的零件，它是以圓柱體的上底面為底面，在其內部“掏取”一個與圓柱體等高的圓錐體而得到的，其底面直徑AB=12cm，高BC=8cm，求這個零件的表面積（結果保留根號）三、應用與探究：AOCB1如圖所示，A是半徑為1的O外一點，OA=2，AB是O的切線，B為切點，弦BCOA，連結AC，求陰影部分

25、的面積 2已知：如圖，ABC中，ACBC，以BC為直徑的O交AB于點D，過點D作DEAC于點E，交BC的延長線于點F 求證：（1）ADBD； （2）DF是O的切線3如圖，在RtABC中，B90°，A的平分線與BC相交于點D,點E在AB上，DE=DC,以D為圓心，DB長為半徑作D（1）AC與D相切嗎？并說明理由（2）你能找到AB、BE、AC之間的數(shù)量關系嗎？為什么？4、如圖，已知：內接于O，點 在的延長線上，（1）求證：是O的切線； （2）若，求的長圓的綜合測試一：選擇題1有下列四個命題：直徑是弦；經(jīng)過三個點一定可以作圓；三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等；半徑相等的兩個半圓是等弧

26、其中正確的有（ ）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個2下列判斷中正確的是（ ）A.平分弦的直線垂直于弦 B.平分弦的直線也必平分弦所對的兩條弧C.弦的垂直平分線必平分弦所對的兩條弧D.平分一條弧的直線必平分這條弧所對的弦3如上圖，已知O的弦AB、CD相交于點E，的度數(shù)為60°，的度數(shù)為100°，則AEC等于（ ）A.60° B.100° C.80° D.130°4圓內接四邊形ABCD中，A、B、C的度數(shù)比是2:3:6，則D的度數(shù)是（ ）A.67.5° B.135° C.112.5° D.110

27、6;5.過O內一點的最長弦長為6cm,最短的弦長為4cm,則的長為( ). A、B、C、D、6兩個圓是同心圓，大、小圓的半徑分別為9和 5，如果P與這兩個圓都相切，則P 的半徑為( ) A.2 B.7 C.2或7 D.2或4.57ABC的三邊長分別為a、b、c，它的內切圓的半徑為r，則ABC的面積為（ ）A.（abc）r B.2（abc） C.（abc）r D.（abc）r8已知半徑分別為r和2 r的兩圓相交，則這兩圓的圓心距d的取值范圍是（ ）A.0d 3r B.r d 3r C.r d 3r D.r d 3r9.將一塊弧長為p 的半圓形鐵皮圍成一個圓錐（接頭忽略不計），則圍成的圓錐的高為（）CABDFOA B C D10.如圖，圓 O中弦AB、CD相交于點F，AB=10，AF=2，若CF:DF=1:4，則CF的長等于（ ）。A B2 C3 D2DABCABCC11.有一張矩形紙片ABCD，其中AD=4cm，上面有一個以AD為直徑的 半圓，正好與對邊BC相切，如圖（甲），將它沿DE折疊，使A點落在BC上，如圖（乙），這時，半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積是（ ）A. BC D12.如圖，兩同心圓間的圓環(huán)（即圖中陰影部分）的面積為 16，過小 圓上任一點作 大圓的弦，則的值是（