第12節(jié)導數的引入和定義

1、3.1 切線和速度問題一、切線的斜率.)()(limtanaxafxfkax 二、瞬時速度hafhafh)()(limv0 瞬時速度瞬時速度3.2 導數的定義一、導數的定義,存在存在hxfhxfxyhx)()(limlim0000 .|)()( 000 xxxxdxxdfyxf 或或，或或記為記為.)(0處可導處可導在點在點并稱并稱xxfy 如如果果極極限限有有定定義義的的某某個個鄰鄰域域內內在在點點設設函函數數,)(0 xxfy 定義2.1.)(0處的導數處的導數在點在點則稱該極限為則稱該極限為xxf.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 其它形式其它形式.)()(lim)(000

2、0 xxxfxfxfxx 說明：（ ）導導數數的的實實質質是是增增量量之之比比的的極極限限1.3義義）一點處導數是局部定）一點處導數是局部定（.,2右極限右極限可正可負，極限包含左可正可負，極限包含左）（hx 定義2.2 （左右導數）若若對對極極限限存存在在，000()()0,limhf xhf xhh 二、單側導數,);()(0內內有有定定義義在在函函數數 xuxf);( 00 xfxf 的右導數，記為的右導數，記為在在則稱其為則稱其為若若對對極極限限存存在在，000()()0,limhf xhf xhh );( 00 xfxf 的左導數，記為的左導數，記為在在則稱其為則稱其為定理2.1).

3、( )( )(000 xfxfxxf 可導可導在在例 1.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數討論函數 xxxf解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點不可導點不可導在在函數函數 xxfy定義2.3若若在在的的每每一一點點可可導導，則則稱稱 在在上上可可導導( )( , )( , ).f xa bfa b若若在在上上可可導導 且且，都都存存在在 則則稱稱( , ),( )( ),fa bfafb 在在上上可可導導 , .fa b由由在在每每一一個個可

4、可導導點點的的導導數數值值，得得到到導導函函數數簡簡稱稱函函數數的的導導數數( )( ),( ).f xfxf x三、可導與連續(xù)的關系定理2.2.)(0可可導導，則則在在該該點點必必連連續(xù)續(xù)在在若若xxf注注 可導一定連續(xù)可導一定連續(xù), ,連續(xù)未必可導連續(xù)未必可導. .例 2.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導性處的連續(xù)性與可導性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解,1sin是有界函數是有界函數x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時時當當

5、 xyx.0)(處不可導處不可導在在 xxf0)(lim)0(0 xffx四、常用函數的導數例1.)()(的導數的導數為常數為常數求函數求函數ccxf 解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即例2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設函數設函數解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 類似可得：類似可得：.sin)(cosxx 例3.)(的導數的導數為正整數為正整數求函數求函數nxyn 解hxhxx

6、nnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地)(.)(1rxx )( x例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例4.)1, 0()(的導數的導數求函數求函數 aaaxfx解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 16例例5 5.)1, 0(log的導數的導數求函數求函數 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 .ln1ax 五、小結3. 導數的實質導數的實質: 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(