第36講數(shù)列模型及應(yīng)用

1、1.認(rèn)識數(shù)列的函數(shù)特性，能結(jié)合方認(rèn)識數(shù)列的函數(shù)特性，能結(jié)合方程、不等式、解析幾何、算法等知識程、不等式、解析幾何、算法等知識解決一些數(shù)列問題解決一些數(shù)列問題.2.掌握與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)掌握與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題的解法的實(shí)際應(yīng)用問題的解法.1.某種細(xì)胞開始有某種細(xì)胞開始有2個(gè)，個(gè)，1小時(shí)后分裂成小時(shí)后分裂成4個(gè)個(gè)并死去并死去1個(gè)，個(gè)，2小時(shí)后分裂成小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去個(gè)并死去1個(gè)，個(gè)，3小時(shí)后分裂成小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去個(gè)并死去1個(gè)，按個(gè)，按此規(guī)律進(jìn)行下去，此規(guī)律進(jìn)行下去，6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是（數(shù)是（ ）ba.63 b.65c.67 d.71 設(shè)開

2、始的細(xì)胞數(shù)和每小時(shí)后的細(xì)設(shè)開始的細(xì)胞數(shù)和每小時(shí)后的細(xì)胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為an，則有，則有a1=2，an+1=2an-1，即，即 =2.所以數(shù)列所以數(shù)列an-1是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1，公比為，公比為2的等的等比數(shù)列比數(shù)列.因此，因此，an-1=2n-1，即，即an=2n-1+1.所以所以a7=26+1=65.111nnaa2.在一個(gè)凸多邊形中，最小內(nèi)角為在一個(gè)凸多邊形中，最小內(nèi)角為120，各內(nèi)角度數(shù)成等差數(shù)列，公差為各內(nèi)角度數(shù)成等差數(shù)列，公差為5，則，則這一凸多邊形的邊數(shù)為這一凸多邊形的邊數(shù)為( )aa.9 b.16c.9或或16 d.9或或10 設(shè)凸多邊形邊數(shù)為設(shè)凸多邊形邊數(shù)為n,其內(nèi)

3、角和為其內(nèi)角和為180(n-2),依題意依題意,有有n120+ n(n-1)5=180(n-2),化簡得化簡得n2-25n+144=0，解得，解得n=9或或n=16.當(dāng)當(dāng)n=16時(shí)，最大內(nèi)角為時(shí)，最大內(nèi)角為120+(16-1)5=1950,180)，故，故n=16舍去，舍去，當(dāng)當(dāng)n=9時(shí)時(shí),最大內(nèi)角為最大內(nèi)角為120+(9-1)5=160.123.若若 =110(xn*),則則x= .101 35(21)1111 22 3(1)xx x 因?yàn)橐驗(yàn)?+3+5+(2x-1)= =x2， + + =1- + - + - = ,所以所以 =110，即，即x(x+1)=110，解得，解得x=10.(12

4、1)2xx11 212 31(1)x x1213121x11x1xx21xxx4.橢圓橢圓 + =1上有上有n個(gè)不同的點(diǎn)個(gè)不同的點(diǎn)p1，p2，pn，橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為f，數(shù)列，數(shù)列|pnf|是公差不小于是公差不小于 的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，則則n的最大值為的最大值為( )d24x23x1100a.198 b.199 c.200 d.201 |p1f|a-c=1,|pnf|max=a+c=3,所以所以1+(n-1)d3,所以所以n-1 ,因?yàn)橐驗(yàn)閐 , 100,所以所以n-1200,故故n201.2d11001d5.彈子跳棋共有彈子跳棋共有60顆大小相同的球形彈子，顆大小相同的球形彈

5、子，現(xiàn)在棋盤上將它疊成正四面體球垛，使現(xiàn)在棋盤上將它疊成正四面體球垛，使剩下的彈子盡可能的少，那么剩下的彈剩下的彈子盡可能的少，那么剩下的彈子有子有( )ba.3顆顆 b.4顆顆c.8顆顆 d.9顆顆 熟悉正四面體的特征，由題設(shè)構(gòu)造模熟悉正四面體的特征，由題設(shè)構(gòu)造模型：第型：第k層為層為k個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和；化簡通項(xiàng)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和；化簡通項(xiàng)再用分組求和法再用分組求和法.依題設(shè)依題設(shè),第第k層正四面體為層正四面體為1+2+3+k= = ,則前則前k層共有層共有 (12+22+k2)+ (1+2+k)= 60,k最大為最大為6,剩下剩下4顆顆,故選故選b.(1)2k k 22kk1212(1)(2

6、)6k kk1.數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題常見的數(shù)學(xué)模型數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題常見的數(shù)學(xué)模型(1)復(fù)利公式復(fù)利公式.按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲蓄，本金為按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為元，每期利率為r,存期為存期為x期，則本利和期，則本利和y= .(2)單利公式單利公式.利用按單利計(jì)算利用按單利計(jì)算,本金為本金為a元元,每期利率每期利率為為r,存期為存期為x,則本利和則本利和y= .a(1+r)xa+arx(3)產(chǎn)值模型產(chǎn)值模型.原來產(chǎn)值的基數(shù)為原來產(chǎn)值的基數(shù)為n，平均增長率為，平均增長率為p，對于時(shí)間對于時(shí)間x的總產(chǎn)值的總產(chǎn)值y= .(4)遞推與猜證型遞推與猜證型遞推型有遞推型有an+1=f(an)

7、與與sn+1=f(sn)類，猜類，猜證型主要是寫出前若干項(xiàng)，猜測結(jié)論，并證型主要是寫出前若干項(xiàng)，猜測結(jié)論，并根據(jù)題設(shè)條件加以證明根據(jù)題設(shè)條件加以證明.2.數(shù)列與其他知識綜合，主要有數(shù)列與數(shù)列與其他知識綜合，主要有數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與解析幾何等不等式、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與解析幾何等n(1+p)x例例1 某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙的利潤；乙方案：每年貸款方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利萬元，第一年可獲

8、利1萬元，萬元，以后每年比前一年增加以后每年比前一年增加5千元千元.兩種方案的使用兩種方案的使用期都是期都是10年，到期一次性歸還本息年，到期一次性歸還本息.若銀行兩若銀行兩種形式的貸款都按年息種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？較兩種方案中，哪種獲利更多？(參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：1.0510=1.629,1.310=13.786,1.510=57.665) 甲方案是等比數(shù)列甲方案是等比數(shù)列,乙方案是等差數(shù)列乙方案是等差數(shù)列,甲方案獲利：甲方案獲利：1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9 = 42.63(萬元萬元)，銀行貸款本息：銀

9、行貸款本息：10(1+5%)1016.29(萬元萬元)，故甲方案純利：故甲方案純利：42.63-16.29=26.34(萬元萬元)，101.310.3乙方案獲利：乙方案獲利：1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5) =101+ 0.5=32.50(萬元萬元);銀行本息和：銀行本息和：1.051+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)9 =1.05 13.21(萬元萬元)，故乙方案純利：故乙方案純利：32.50-13.21=19.29(萬元萬元);綜上可知，甲方案更好綜上可知，甲方案更好.10 92101.0510.05 這是一道比較簡單的數(shù)列應(yīng)用問題，這是一道比較簡單的數(shù)列應(yīng)

10、用問題，由于本息與利潤是熟悉的概念，因此只建由于本息與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解.例例2 已知點(diǎn)已知點(diǎn)a(1,0),b(0,1)和互不相同的點(diǎn)和互不相同的點(diǎn)列列p1,p2,p3,pn,且滿足且滿足 =an +bn (nn*),其中其中an、bn分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，o為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)，若p1是線段是線段ab的中點(diǎn)的中點(diǎn). (1)求求a1,b1的值；的值； (2)討論討論:點(diǎn)點(diǎn)p1，p2，p3，,pn,是否共線是否共線.nopoa ob (1)因?yàn)橐驗(yàn)閜1是線段是線段ab的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以

11、 = + ,又又 =a1 +b1 ,且且 , 不共線，不共線，由平面向量基本定理，知由平面向量基本定理，知a1=b1= .(2)由由 =an +bn (nn*)，得得 =(an,bn).設(shè)設(shè)an的公差為的公差為d，bn的公比為的公比為q,則由于則由于p1,p2,p3,pn,互不相同，互不相同，所以所以d=0,q=1不會同時(shí)成立不會同時(shí)成立.1opoa ob 12121opoa ob oa ob 12nopoa ob nop1若若d=0且且q1，則，則an=a1= (nn*) p1,p2,p3,pn,都在直線都在直線x= 上；上；2若若q=1且且d0，則，則bn= 為常數(shù)列為常數(shù)列p1,p2,p

12、3,pn,都在直線都在直線y= 上；上；3若若d0且且q1，p1,p2,p3,pn,共線共線 =(an-an-1,bn-bn-1)與與 =(an+1-an,bn+1-bn)共線共線(n1,nn*)(an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0(bn+1-bn)=(bn-bn-1)q=1,與與q1矛盾，矛盾，所以當(dāng)所以當(dāng)d0且且q1時(shí)時(shí),p1,p2,p3,pn,不共線不共線.121212121nnp p1nnp p 本題是數(shù)列與平面向量綜合的基本本題是數(shù)列與平面向量綜合的基本題型，以平面向量共線為載體構(gòu)造數(shù)列遞題型，以

13、平面向量共線為載體構(gòu)造數(shù)列遞推關(guān)系或等式，從而得到數(shù)列通項(xiàng)及屬性，推關(guān)系或等式，從而得到數(shù)列通項(xiàng)及屬性，使得問題得到解決使得問題得到解決.例例3 讀下列算法，指出當(dāng)輸入的四個(gè)數(shù)讀下列算法，指出當(dāng)輸入的四個(gè)數(shù)依次為依次為1,1,0,0時(shí)，輸出的結(jié)果是什么？時(shí)，輸出的結(jié)果是什么？ s1：輸入：輸入a,b,c,n； s2：n=n+1； s3：a=2a； s4：b=b+2； s5：c=c+ab； s6：若：若c500，則轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)s2； s7：輸出：輸出n，c. 從數(shù)列的角度看算法，則從數(shù)列的角度看算法，則s3可以看作可以看作an+1=2an；s4可以看作可以看作bn+1=bn+2；s5可以看作可以看作

14、cn+1=cn+anbn，輸入的四個(gè)數(shù)依次為，輸入的四個(gè)數(shù)依次為1,1,0,0，即即a0=1,b0=1,c0=0,n=0,故故an=2n，bn=2n+1,cn=a1b1+a2b2+anbn=32+522+723+(2n+1)2n.因?yàn)橐驗(yàn)閏1=32=6,c2=6+54=26,c3=26+78=82,c4=82+916=226,c5=226+1132=578500,執(zhí)執(zhí)行行s7,故輸出的結(jié)果是故輸出的結(jié)果是5,578. 數(shù)列中的遞推關(guān)系與算法中的循環(huán)數(shù)列中的遞推關(guān)系與算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)簡直就是結(jié)構(gòu)簡直就是“天造地設(shè)的一對天造地設(shè)的一對”，同學(xué)，同學(xué)們應(yīng)重視們應(yīng)重視. 某個(gè)網(wǎng)絡(luò)某個(gè)網(wǎng)絡(luò)qq群體中有群

15、體中有n名同學(xué)在玩一名同學(xué)在玩一個(gè)數(shù)字哈哈鏡游戲，這些同學(xué)依次編號為個(gè)數(shù)字哈哈鏡游戲，這些同學(xué)依次編號為1，2，n，且在哈哈鏡中，每個(gè)同學(xué)看到的，且在哈哈鏡中，每個(gè)同學(xué)看到的像可用數(shù)對像可用數(shù)對(p,q)(p0)的切線的切線ln，切點(diǎn)為，切點(diǎn)為pn(xn,yn). (1)求數(shù)列求數(shù)列xn與與yn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)證明證明:x1x3x5x2n-1 sin .11nnxx2nnxy 曲線曲線cn:(x-n)2+y2=n2是圓心為是圓心為(n,0),半徑為半徑為n的圓的圓,切線切線ln:y=kn(x+1).(1)依題意有依題意有 =n,解得解得kn2= .又切點(diǎn)為又切點(diǎn)為(xn,yn)

16、,得得xn2-2nxn+yn2=0,yn=kn(xn+1),聯(lián)立可解得聯(lián)立可解得xn= ,yn= .2|1nnnnkkk221nn1nn211nnn(2)證明：由證明：由(1)知，知， = , sin = sin .先證先證:x1x3x5x2n-1 .運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法:當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),x1= ,命題成立命題成立;假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)時(shí),命題成立命題成立,即即x1x3x5x2k-1 ,則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),x1x3x5x2k-1x2k+11,故故 = .所以所以,當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題成立命題成立.故故x1x3x5x2n-1 成立成立.(另證：另證：x1x3x5x2n-1= = .)下證：下證： sin .不妨設(shè)不妨設(shè)t= (0, .221()23212(1)kkk22484483kkkk21