第一類換元積分法(一)

1、第一類換元積分法第一類換元積分法(一一),(d1d . 1baxax 利用利用3. .利用三角函數(shù)的恒等式利用三角函數(shù)的恒等式. .4. .利用代數(shù)恒等式利用代數(shù)恒等式二、不定積分的定義二、不定積分的定義三、基本積分公式三、基本積分公式四、不定積分的性質四、不定積分的性質一、原函數(shù)的定義一、原函數(shù)的定義求求.dcossin2 xxx解解 x2sin x2sin.sin313cx xxdcosxsind引例：引例：第一換元積分，也稱湊微分第一換元積分，也稱湊微分 dx)x( u )x(u(fdx)x(f1)x(u(d )x(u(f 1c)x(u(f 1第一換元法（湊微分法）第一換元法（湊微分法）

2、 例例 1求求.d)23sin( xx解解對照基本積分表，對照基本積分表，相似相似上式與表中上式與表中 dsin xx如果把如果把 dx 寫成了寫成了 d(3x + 2)， 那么就可用那么就可用,cosdsincxxx 為此將為此將 dx 寫成寫成),23(d31d xx代入式中，代入式中， 那么那么 xxd)23sin(. )2d(3)23sin(31 xx令令 3x + + 2 = u 則則 uudsin31cu cos31.)23cos(31cx ),(d1d . 1baxax 利用利用a, b 均為常數(shù)均為常數(shù)，且且 a 0.例例 2求求.d)54(99 xx解解上式與基本積分表中上式

3、與基本積分表中cxxx 111d 相似，相似， 為此將為此將 dx 寫成寫成那么那么 xxd)54(99, )5d(4)54(4199 xx,)54(d41d代入式中代入式中 xx令令 4x + + 5 = u， uu d4199則，原式則，原式cu 1004001.) 54(4001100cx 例例 3求求.1d xx解解上式與基本積分表中上式與基本積分表中. |lnd1類似類似cxxx 為此將為此將 dx = d(x + 1) 代入式中，代入式中， 那么那么 1dxx 1)1d(xx. |1|lncx ),(21 . 22axxxdd利用利用),d(31d32axxx ,dlnd1xxx

4、,1dd12xxx ,d2d1xxx ,cosddsinxxx ,sinddcosxxx ,tanddsec2xxx ,cotddcsc2xxx 等等等等. .例例 4求求.de2 xxx解解將被積分式中的將被積分式中的 xdx 因子湊微分，因子湊微分，.212xxxdd 則則 2de21de22xxxxxcx 2e21經(jīng)求導驗算，經(jīng)求導驗算，.ee2122xxxc 結果正確結果正確 .即即即即例例 5求求.dln xxx解解因子因子將被積分式中的將被積分式中的 d1 xx).lnd(d1xxx 湊微分，即湊微分，即則則 xxxdln xx lndln.ln212cx 例6 求xxxd)ln(

5、2，)lnd(d1xxx解)lnd( d)(ln)(ln22xxxxx.31)(ln3cx例例7 7 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1dxln211)ln2(ln211xdxxuln21 duu121cu ln21.ln21ln21cx )(lnx121例例 8求求.dcossin2 xxx解解 x2sin x2sin.sin313cx xxdcosxsind解解x1sin x1sin.1coscx 例例 9求求.d1sin12 xxx 21xxdx1d例例 10求求.de1e xxx解解.)1eln(cx e1 xxexd 1e x)1d(e x3. .利用三角函數(shù)

6、的恒等式利用三角函數(shù)的恒等式. .例例 11 求求.dtan xx解解 xxdtan. |cos|lncx xcosxsinxd xcosxcosd例例 12求求.dsin2 xx解解 xxdsin2 xxd22cos1 xxxd2cosd21 xxx2d2cos2121.2sin4121cxx 例例1313 求求解解:.cos2xdxxdx2cosdxx22cos1xxddx22cos411212x.42sincx例例 14求求.dsin3 xx解解 xxdsin3 xxxdsinsin2 xx cosdsin2 xxcosd)cos1(2.coscos313cxx 例例 15求求.d1 x

7、xx解解 xxxd1 xxxd111 xxd111.|1|lncxx 4. .利用代數(shù)恒等式利用代數(shù)恒等式例例 16求求 22dxax( (a 0 常數(shù)常數(shù)).).解解 22dxax )(dxaxax xxaxaxaxaad)()()(21 xaxxaxadd21.ln21cxaxaa cxaxaaxaxln21d22 xaxaxaxaa)(d)(d21例例17 17 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1cexx 例例1818 求求.) 1sin(dxxx解解dxxx).(1sin(2) 1() 1sin(2xdxcx)1c

8、os(2dxxx ) 1sin( 說明說明: 計算某些積分時，由于選擇計算某些積分時，由于選擇不同的變量代換或不同的湊微分形成，不同的變量代換或不同的湊微分形成，所以求出的不定積分在形式上也可能不所以求出的不定積分在形式上也可能不盡相同，但是它們之間至多只相差一個盡相同，但是它們之間至多只相差一個常數(shù)項，屬于同一個原函數(shù)族常數(shù)項，屬于同一個原函數(shù)族.例例 求求.d 2sinxx)d(2 )2sin(21d sin2 xxxx解法解法1 .2cos21cxxxxxxd cossin2d sin2 解法解法2xxxxxd cossin2d sin2解法解法3)sind( sin2xx .sin2c

9、x) d(cos cos2xx.cos2cx 22cos1sin2xx小結小結 用第一換元積分法求不定積分的步驟是：用第一換元積分法求不定積分的步驟是：uufxxxfxxuxuxxxfd )(d)( )( d)( d),( d)( )( . 1，于是有作變量代換，令的形式，若能將被積表達式化為換元.)(d )( )()( )( )( . 2cufuufufufufufu則，使得得易積分的，即如果易求是容，若被積函數(shù)為換元后的積分變量是積分.)( )()( . 3cxfxcufxu的函數(shù)，即得答案為積分變量中，還原為原代入已求出的把還原上述過程可表示為：上述過程可表示為：練練 習習 題題211. .(23)dxx 求求12. .12dxx 求求23. tan 3.xdx 求求2114. sin.dxxx 求求211. .(23)dxx 求求解：)()(32321212xdx原式)()(3232212x