423一階線性微分方程

1、4 4. .2 2. .3 3 一一階階線線性性微微分分方方程程 一一階階線線性性微微分分方方程程的的一一般般形形式式為為： )()(xqyxpy 其其中中)( ),(xqxp為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)。 若若0)( xq，則則稱稱 0)( yxpy 為為一一階階線線性性齊齊次次方方程程； 為為一一階階線線性性非非齊齊次次方方程程。 若若0)( xq，則則稱稱 )()(xqyxpy 通通常常稱稱方方程程為為方方程程所所對對應(yīng)應(yīng)的的線線性性齊齊次次方方程程。 （一一）一一階階線線性性齊齊次次方方程程的的解解法法 , 0)( yxpy,)(dxxpydy ,)( dxxpydy,)(ln1cdxxpy

2、,1)( cdxxpey即即 dxxpceey)(1， 令令1cec ，得得方方程程的的通通解解： dxxpcey)( 。 例例 1求方程求方程0)2(2 dyxdxxyy滿足初始條件滿足初始條件 eyx 1的特解。的特解。 將初始條件將初始條件eyx 1代入通解，得代入通解，得1 c， 故故所所求求特特解解為為xexy12 。 通通解解為為： 1ln)12()(222xxdxxxxdxxpcececey ， 即即xecxy12 。 2222121)(xxxxxxp 解：解： 0212 yxxdxdy （二）一階線性非齊次方程的解法（二）一階線性非齊次方程的解法 )()(xqyxpy 所所對對

3、應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次微微分分方方程程為為 0)( yxpy 1常數(shù)變易法常數(shù)變易法及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) dxxpdxxpexpxcexcy)()()()()( 代入方程，則有代入方程，則有 dxxpcey)(是方程的通解，將是方程的通解，將xc 變易為變易為的的 待定函數(shù)待定函數(shù))(xc，猜想，猜想 dxxpexcy)()(是的解。是的解。 將將 dxxpexcy)()( ),()()()()()()()()(xqexcxpexpxcexcdxxpdxxpdxxp ),()()(xqexcdxxp ,)()()( dxxpexqxc)()()( cdxexqeydxxpdxxp cdxexqxcdxx

4、p)()()(， 把代入中，即得方程的通解：把代入中，即得方程的通解： 這種將對應(yīng)的線性齊次方程通解中的任意這種將對應(yīng)的線性齊次方程通解中的任意c 常數(shù)常數(shù)變易變易 為待定為待定)(xc函數(shù)函數(shù)，再通過，再通過)( xc確定確定來求得線性非齊次來求得線性非齊次 方程通解的方法，稱為方程通解的方法，稱為常數(shù)變易法常數(shù)變易法。 一一階階線線性性非非齊齊次次方方程程)()(xqyxpy 的的通通解解公公式式為為 )()()( cdxexqeydxxpdxxp 2 2通解公式的結(jié)構(gòu)通解公式的結(jié)構(gòu) 此通解是由兩項組成的，一項此通解是由兩項組成的，一項 dxxpce)( 是對是對 應(yīng)的一階線性齊次方程應(yīng)的

5、一階線性齊次方程0)( yxpy的通解，另一項的通解，另一項 dxexqedxxpdxxp)()()( 是原方程是原方程的特解。的特解。 例例 2求求方方程程xyyxsin 的的通通解解。 解解法法 1（常數(shù)變易法）（常數(shù)變易法） 令令xxcy)( ，則則得得2)()(xxcxxcy ，代代入入原原方方程程得得 xxxxcxxcxxcsin)()()(22 ， xxcsin)( ，cxxc cos)(， 原原方方程程的的通通解解為為)cos(1cxxy 。 xxyxysin1 ，這這是是一一階階線線性性非非齊齊次次方方程程。與與它它對對應(yīng)應(yīng) 的線性齊次方程的通解為的線性齊次方程的通解為 dxx

6、ecy11 )(1221ccxcxc 方法方法 2（用通解公式法）（用通解公式法）xxyxysin1 ， xxp1)( ， xxxqsin)( ， sin11 cdxexxeydxxdxxsin1 cdxxxxx.cos1cxx 例例 3求方程求方程0)(4 ydxdyyx的通解。的通解。 其中其中 yyp1)( ，3)(yyq ，代入通解公式，得，代入通解公式，得 313131cyycdyeyexdyydyy ， 故原方程的通解為故原方程的通解為cyyx 431。 分析分析：若仍把：若仍把當(dāng)作自變量當(dāng)作自變量x，把，把當(dāng)作當(dāng)作y未知函數(shù)，未知函數(shù)， 由于方程中由于方程中4y含有含有，則它不是

7、線性方程，為此，則它不是線性方程，為此， 可把可把yx當(dāng)作是當(dāng)作是的函數(shù)。的函數(shù)。 解：解：dyyxydx)(4 ， 31yxydydx ， 這是一個關(guān)于未知函數(shù)這是一個關(guān)于未知函數(shù))(yxx 的一階線性非齊次方程，的一階線性非齊次方程， 令令nyz 1，得，得 )()1()()1(xqnzxpndxdz ， 形如形如 )1 , 0()()( nyxqyxpdxdyn 的方程的方程 稱為稱為伯努利方程伯努利方程，其中，其中)(xp、 )(xxq為為的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。 （三三）伯伯努努利利)(bernoulli方方程程的的解解法法 除除用用 ny方方程程兩兩端端，得得到到)()(1xqyx

8、pdxdyynn ， dxdyyndxydnn )1()(1， 有有)()()(1111xqyxpdxydnnn ， 求求出出通通解解后后，再再用用zyn代代替替 1，便便得得伯伯努努利利方方程程的的解解。 例例 4求求方方程程2)(lnyxaxydxdy 的的通通解解。 解解：xayxdxdyyln112 ， 令令1 yz，dxdyydxdz 2，則則得得xazxdxdzln1 ， )ln(11cdxexaezdxxdxx lncdxxxax )(ln22xacx ， 將將1 yz代代入入，得得原原方方程程的的通通解解：1)(ln22 xacxy。 （伯努利方程）（伯努利方程） 解解：把把方

9、方程程yxxydxdy 4改改寫寫為為 yxyxdxdy 4，這這是是伯伯努努利利方方程程，且且21 n。 例例 5 5求求方方程程yxxydxdy 4的的通通解解。 xyxdxdyy 41， 令令yz ，則則有有dxdyydxdz 21，代代入入原原方方程程，得得 22xxzdxdz ，這這是是線線性性方方程程。 222cdxexezdxxdxx ln212cxx ， 把把2zy 代代入入，得得原原方方程程的的通通解解：24)ln21(cxxy 。 例例 6 6設(shè)可導(dǎo)函數(shù)設(shè)可導(dǎo)函數(shù))(xf滿足方程滿足方程 xxdttxftxdttf00)( )(，求求)(xf。 解解：令令utx ，則則方方

10、程程化化為為 xxxduuufduufxxdttf000)()()(， 分析分析：積分式中含有未知函數(shù)的方程，稱為：積分式中含有未知函數(shù)的方程，稱為積分方程積分方程。 此類問題的解法是利用對變限求導(dǎo)，化為此類問題的解法是利用對變限求導(dǎo)，化為)(xf的微分的微分 方程初值問題，然后求解。方程初值問題，然后求解。 兩邊兩邊求導(dǎo)求導(dǎo)對對 x，得，得 xduufxf0)(1)(， 確確定定初初值值條條件件1)0( f， 1)0(0)()(fxfxf，這這是是一一階階齊齊次次線線性性方方程程。 解之，得解之，得xcexf )(， 代代入入初初始始條條件件1)0( f，得得1 c， 故所求積分方程的解為故

11、所求積分方程的解為xexf )(。 再再求求導(dǎo)導(dǎo)對對 x，得得)()(xfxf ， 于是得于是得初值問題初值問題： 例例 8設(shè)跳傘員開始跳傘后所受的空氣阻力與它下落設(shè)跳傘員開始跳傘后所受的空氣阻力與它下落 的速度成正比（比例系數(shù)為的速度成正比（比例系數(shù)為0 k常數(shù)常數(shù)） ，起跳時的速） ，起跳時的速 度為度為 0，求下落的速度與時間之間的函數(shù)關(guān)系。，求下落的速度與時間之間的函數(shù)關(guān)系。 解解：設(shè)設(shè)跳跳傘傘員員下下落落速速度度為為)(tvv ，則則 )(tva 。 跳傘員所受的外力等于重力和阻力之和，即跳傘員所受的外力等于重力和阻力之和，即kvmgf ， 由由牛牛頓頓第第二二定定律律知知，maf ， 得得. ,gvmkvkvmgvm 即即 又起跳時的速度為又起跳時的速度為 0，故初始條件為，故初始條件為00 tv。 得初值問題：得初值問題： . 0)0(,vkvmgvm cdtegevdtmkdtmk ,cekmgetmktmk . :tmkcekmgv 即通解為即通解為 把把初初始始條條件件0)0