42最大值最小值及其在最優(yōu)化中的應(yīng)用

1、15-215-2函數(shù)的最大值函數(shù)的最大值與最小值與最小值 復(fù)習(xí)舊知識(shí)：復(fù)習(xí)舊知識(shí)：1、 f(x0)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值這的一個(gè)極大值這一概念是怎樣敘述的？一概念是怎樣敘述的？2 2、 f(x0)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值這的一個(gè)極小值這一概念是怎樣敘述的？一概念是怎樣敘述的？3 3、求函數(shù)的極值的步驟是哪四步？、求函數(shù)的極值的步驟是哪四步？0 xyabx0y=f (x)f (x0)f (b)一、函數(shù)的最大值與最小值一、函數(shù)的最大值與最小值 定義定義: 設(shè)設(shè)f(x)是區(qū)間是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，如果上的連續(xù)函數(shù)，如果存在點(diǎn)存在點(diǎn)x0a,b，使得對(duì)于所有使得對(duì)于所有xa,b，都

2、有都有f(x)f(x0)（或或f(x)f(x0)），），則稱則稱f(x0)是函數(shù)是函數(shù)f(x)在在a,b上的最大值（或最小值）。上的最大值（或最小值）。最大值和最小值統(tǒng)稱最值。最大值和最小值統(tǒng)稱最值。 0 xyabx0y=f (x)f (x0)f (b)最大值最大值最小值最小值 可以看出可以看出,函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間a ,b上的最大值和最小值要么是區(qū)間上的最大值和最小值要么是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，要么是極值。端點(diǎn)的函數(shù)值，要么是極值。 而極值點(diǎn)又包括在駐點(diǎn)中，因此我們只要把駐點(diǎn)的函數(shù)值及區(qū)而極值點(diǎn)又包括在駐點(diǎn)中，因此我們只要把駐點(diǎn)的函數(shù)值及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值都求出來(lái)，放在一起比較大小，就能找出最大間

3、端點(diǎn)的函數(shù)值都求出來(lái)，放在一起比較大小，就能找出最大值和最小值來(lái)。最大值和最小值統(tǒng)稱最值。值和最小值來(lái)。最大值和最小值統(tǒng)稱最值。 求函數(shù)最值的一般方法：求函數(shù)最值的一般方法： 先求出先求出f(x)在在a,b內(nèi)的所有駐點(diǎn)內(nèi)的所有駐點(diǎn)（或不可導(dǎo)但連續(xù)的點(diǎn)），（或不可導(dǎo)但連續(xù)的點(diǎn)）， 將這些點(diǎn)的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)的將這些點(diǎn)的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值函數(shù)值f(a),f(b)進(jìn)行比較，進(jìn)行比較， 其中最大（?。┑木褪呛瘮?shù)在區(qū)其中最大（小）的就是函數(shù)在區(qū)間間a,b上的最大（?。┲瞪系淖畲螅ㄐ。┲?例例1：求函數(shù)：求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-4 ，4上上的最值的最值解：解： 令令 ，解之得駐點(diǎn)，解之得駐點(diǎn) 駐點(diǎn)函數(shù)

4、值駐點(diǎn)函數(shù)值 端點(diǎn)函數(shù)值端點(diǎn)函數(shù)值 比較以上函數(shù)值的大小，可得比較以上函數(shù)值的大小，可得函數(shù)的最大值為函數(shù)的最大值為 最小值為最小值為 3093)(23xxxxf)3)(1(3963)(2xxxxxf0)( xf3121xx35) 1(f3)3(f46)4(f10)4(f35) 1(f46)4(f 注：如果連續(xù)函數(shù)注：如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間（有限或無(wú)限，在區(qū)間（有限或無(wú)限，開或閉）內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)開或閉）內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)x0，而這個(gè)駐點(diǎn)又是極值而這個(gè)駐點(diǎn)又是極值點(diǎn)，那么，當(dāng)點(diǎn)，那么，當(dāng)f(x0)是極大值時(shí)，它就是最大值；當(dāng)是極大值時(shí)，它就是最大值；當(dāng)f(x0)是極小值時(shí)，它就是最小值。是極小值

5、時(shí)，它就是最小值。 yax0bxoxax0bo 練習(xí)練習(xí): 習(xí)題習(xí)題15-2 第第 題題二、函數(shù)最值應(yīng)用問(wèn)題舉例二、函數(shù)最值應(yīng)用問(wèn)題舉例 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，科學(xué)技術(shù)研究和經(jīng)營(yíng)管理中，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，科學(xué)技術(shù)研究和經(jīng)營(yíng)管理中，常常會(huì)遇到在一定條件下，怎樣使用料最省，常常會(huì)遇到在一定條件下，怎樣使用料最省，產(chǎn)量最多，成本最低，效益最大等最優(yōu)化問(wèn)題。產(chǎn)量最多，成本最低，效益最大等最優(yōu)化問(wèn)題。這些問(wèn)題通?？梢杂脭?shù)學(xué)上求函數(shù)的最大值或這些問(wèn)題通常可以用數(shù)學(xué)上求函數(shù)的最大值或最小值的辦法來(lái)解決。最小值的辦法來(lái)解決。 下面的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，我們?cè)?jīng)建立過(guò)它下面的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，我們?cè)?jīng)建立過(guò)它的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。

6、 例題例題1：有一邊長(zhǎng)為：有一邊長(zhǎng)為48厘米的正方形鐵皮，厘米的正方形鐵皮，從它的四個(gè)角截去相等的小正方形，然后折起各從它的四個(gè)角截去相等的小正方形，然后折起各邊做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，問(wèn)在四角截去多大的小正邊做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，問(wèn)在四角截去多大的小正方形，才能使所做的鐵盒容積最大？方形，才能使所做的鐵盒容積最大？ 4848-2xx48-2xx解：（1）設(shè)截去的小正方形邊長(zhǎng)為x,盒子的容積為y. 盒子容積即長(zhǎng)方體體積，等于底面積乘高，即盒子容積與截去的小正方形邊長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系為 yxx 2)248()24, 0 (x4848-2xx48-2xx（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求容積）問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求容積 y 的最大值，

7、同時(shí)求的最大值，同時(shí)求出小正方形邊長(zhǎng)出小正方形邊長(zhǎng)x . .由上一節(jié)求函數(shù)最值的程由上一節(jié)求函數(shù)最值的程序，應(yīng)先求導(dǎo)數(shù)及駐點(diǎn)。序，應(yīng)先求導(dǎo)數(shù)及駐點(diǎn)。 ) 8)(24(12)648)(248()2484)(248()248() 2()248( 2)248()248(222xxxxxxxxxxxxxxyyxx 2)248()24, 0 (x令令 解之得駐點(diǎn)解之得駐點(diǎn) （此根不在定義（此根不在定義域范圍，舍去）域范圍，舍去） 0 y24821xx（3）由上一節(jié)求函數(shù)最值的程序，應(yīng)把駐點(diǎn)的函數(shù)值）由上一節(jié)求函數(shù)最值的程序，應(yīng)把駐點(diǎn)的函數(shù)值與閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，但這是開區(qū)間，沒(méi)與閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)

8、值進(jìn)行比較，但這是開區(qū)間，沒(méi)有端點(diǎn)，又只有一個(gè)駐點(diǎn)，根據(jù)常識(shí)，鐵盒必然存在有端點(diǎn)，又只有一個(gè)駐點(diǎn)，根據(jù)常識(shí)，鐵盒必然存在一個(gè)最大容積，因此這個(gè)駐點(diǎn)就是使函數(shù)（鐵盒容積）一個(gè)最大容積，因此這個(gè)駐點(diǎn)就是使函數(shù)（鐵盒容積）取最大值的最大值點(diǎn)。即取最大值的最大值點(diǎn)。即 當(dāng)截去的小正方形邊長(zhǎng)為當(dāng)截去的小正方形邊長(zhǎng)為8（厘米）時(shí)，使鐵盒容（厘米）時(shí)，使鐵盒容積最大。積最大。 （1）設(shè)出自變量和函數(shù)的字母，列函數(shù)式，并）設(shè)出自變量和函數(shù)的字母，列函數(shù)式，并找出自變量取值范圍。找出自變量取值范圍。（2）求導(dǎo)數(shù)，并求）求導(dǎo)數(shù)，并求 的根，即駐點(diǎn)。的根，即駐點(diǎn)。（3）如果定義域?yàn)殚]區(qū)間，則用求函數(shù)最值的）如果定義

9、域?yàn)殚]區(qū)間，則用求函數(shù)最值的辦法求解。辦法求解。 如果定義域?yàn)殚_區(qū)間，且只有一個(gè)駐點(diǎn)，如果定義域?yàn)殚_區(qū)間，且只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么這個(gè)駐點(diǎn)就是這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的最大值點(diǎn)或那么這個(gè)駐點(diǎn)就是這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)。最小值點(diǎn)。 由上例可以得出求實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題由上例可以得出求實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最大值和最小值的一般步驟：最大值和最小值的一般步驟： 0)( xf互動(dòng)練習(xí)題互動(dòng)練習(xí)題: 如圖如圖,靠墻建一個(gè)矩形的豬圈靠墻建一個(gè)矩形的豬圈,現(xiàn)只有圍現(xiàn)只有圍60米的建筑材料米的建筑材料.問(wèn)長(zhǎng)和寬怎樣選取問(wèn)長(zhǎng)和寬怎樣選取,可以使豬圈的面積最大可以使豬圈的面積最大?x小結(jié)小結(jié): 1, 求函數(shù)最值的一般方法：求函數(shù)最值的一般方法： 先求出先求出f(x)在在a,b內(nèi)的所有駐點(diǎn)內(nèi)的所有駐點(diǎn)（或不可導(dǎo)但連續(xù)的點(diǎn)），（或不可導(dǎo)但連續(xù)的點(diǎn)）， 將這些點(diǎn)的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)的將這些點(diǎn)的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值函數(shù)值f(a),f(b)進(jìn)行比較，進(jìn)行比較， 其中最大（?。┑木褪呛瘮?shù)在區(qū)其中最大（小）的就是函數(shù)在區(qū)間間a,b上的最大（?。┲瞪系淖畲螅ㄐ。┲?2,2,求實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最大值和最小值的求實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最大值和最小值的一般步驟：一般步驟： （1）設(shè)出自變量和函數(shù)的字母，列函數(shù)式，并）設(shè)出自變量和函數(shù)的字母，列函數(shù)式，并找出自變量取值范圍。找出自變量取值范圍。（2）求導(dǎo)數(shù)，并求）求導(dǎo)數(shù)，并求 的根，即駐點(diǎn)。的根，即