302第2講多元函數(shù)的極限、連續(xù)

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程第一章 多元函數(shù)微分學第二第二節(jié)節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性正確理解多元函數(shù)的重極限和累次極限的概念。正確理解多元函數(shù)的重極限和累次極限的概念。了解多元函數(shù)的重極限和累次極限的區(qū)別和聯(lián)系。了解多元函數(shù)的重極限和累次極限的區(qū)別和聯(lián)系。掌握極限的運算法則。掌握極限的運算法則。正確理解多元函數(shù)連續(xù)性的概念。正確理解多元函數(shù)連續(xù)性的概念。掌握多元連續(xù)函數(shù)的運算法則。掌握多元連續(xù)函數(shù)的運算法則。掌握有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。掌握有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。本節(jié)教學要求：本節(jié)教學要求： 重極限重極限 累次極限累次極限 連續(xù)性連續(xù)性 極限的運算法則極限的運算

2、法則 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性一. 多元函數(shù)的極限及極限的運算請點擊請點擊二. 多元函數(shù)的連續(xù)性三. 多元函數(shù)的間斷點1. 回憶與推廣請點擊請點擊一、多元函數(shù)的極限及其運算2.二元函數(shù)極限的定義3.多元函數(shù)極限的性質(zhì)、定理4. 累次極限回憶一元函數(shù)的情形回憶一元函數(shù)的情形推廣到多元函數(shù)中推廣到多元函數(shù)中驗證可行性驗證可行性1.1.回憶與推廣回憶與推廣x0 xyay ay ay().()a)(xf.xo. )(lim 0的幾何意義axfxx.x0 xyay ay ay().()a)(xf.xo. )(lim 0的幾何意義axfxx.x0

3、xyay ay ay().()a)(xf.xo. )(lim 0的幾何意義axfxx. . i i, )( 0的聚點為設(shè)xxxfy , ),(u , 0 , 0 0時當點若xx , |)(| ),u()(則稱即axfaxf . )(lim 0axfxx . i i, )( 0的聚點為設(shè)xxxfy , ),(u , 0 , 0 0時當點若xx , |)(| ),u()(則稱即axfaxf . )(lim 0axfxxxxfu )( 的聚點的聚點為為 0x),(u0xx ),u()( axf |)(| axf )(lim 0axfxx 進行整理 . , )( 0的聚點的聚點為為設(shè)設(shè)xxxfu ,

4、),(u , 0 , 0 0時時當點當點若若xx , |)(| ),u()(則稱則稱即即axfaxf . )(lim 0axfxx （重極限）（重極限） , d),(u , 0 , 0 0時時當點當點若若xx 時的極限時的極限( (二重極限二重極限), ), 記為記為 .),(lim)(lim000ayxfxfyyxxxx0 )( xxxfza當當為為則稱則稱 ),u()( axf有有 ,d),( , )( 2ryxxxfz設(shè)設(shè) . d ),(000的聚點的聚點為為yxx 2.2.二元函數(shù)極限的定義二元函數(shù)極限的定義幾點注意. ), u( 00的某些點可無定義內(nèi)及函數(shù)在點xx. ,),( u

5、00行向進可以任意方式沿任何方內(nèi)的鄰域落在點點xxx . | ),(u , |)(| ),u()(azazaxfaxf亦即亦即即即 . , )3( 的類似極限的定義與二元函數(shù)時nrxn . )( )()(0 d,),(u20200處有定義處有定義在點在點且且即即xxfyyxxxx)(xfz 多元函數(shù)的極限如果存在多元函數(shù)的極限如果存在, , 則必唯一則必唯一. . . )( , 0)(lim 00時的無窮小量時的無窮小量為為則稱則稱若若xxxxxxaxfaxfxx)( )(lim0應用這個性質(zhì)應用這個性質(zhì), , 可將一元函數(shù)的可將一元函數(shù)的極限運算法則和極限運算法則和性質(zhì)推廣到多元性質(zhì)推廣到多

6、元函數(shù)中來函數(shù)中來. . 0lim ),(u ,00xxxx其中其中3.3.多元函數(shù)極限的性質(zhì)、定理多元函數(shù)極限的性質(zhì)、定理例(夾逼定理)由于由于. |lim 2200yxyxyx求求|022yxyx怎么辦怎么辦? ?|22yxyyxx怎么辦怎么辦? ?| |22yxyyxx而而, 0) | (lim00yxyx故由夾逼定理故由夾逼定理, , 得得0|lim2200yxyxyx夾逼定理夾逼定理 例例解解例(無窮小性質(zhì))又又( (有界量有界量) )( (無窮小量無窮小量) )無窮小量的性質(zhì)無窮小量的性質(zhì). 1sin)(lim 222200yxyxyx求求由于由于1 1sin 22 yx0)(li

7、m2200yxyx. 01sin)(lim 222200yxyxyx故故 例例解解例(有理化)有理化有理化 ( (平方差公式平方差公式) ). 11 lim 222200yxyxyx求求1)1 () 11 )(lim22222200yxyxyxyx原式原式2) 11 (lim2200yxyx 例例解解例(等價無窮小)等價無窮小替代等價無窮小替代.sinlim 20 xyxyx求求xxyxxyyxyx2020limsinlim . 2lim20yyx 例例解解 0)( sin2sinlimlimsinlimsinlim20202020 xyxyyxyxyyxxyyxyxyxyx利用重要極限利用重

8、要極限例(重要極限) .11lim 25yxxyxx求求 例例解解 , 11lim 15eexyxxxyx原式原式 . 1lim , 11lim 55yxxexyxxyx其中其中利用重要極限利用重要極限例(極限不存在) 例例解解 . , 2的次數(shù)相同分子與分母關(guān)于時當xxy , 2則取kxy . 1lim),(lim2424220000kkxkxkxxyxfyxyx )0 , 0(),(yx由于極限存在應與的方式和方向無關(guān), 而上述結(jié)果與 k 值有關(guān), 故原極限不存在. . ),(lim 00yxfyx求求),( yxf設(shè)設(shè), 0 ,22242yxyxyx, 0 , 022 yx該例還說明一個

9、問題 對此你有什么想法 ?, 2xky 雖然沿無窮多個方向：雖然沿無窮多個方向：, , )0 , 0(),( 函數(shù)均有極限函數(shù)均有極限時時當當yx . ),( lim 00不存在不存在但函數(shù)的極限但函數(shù)的極限yxfyx多元函數(shù)的極限不存在.“無窮多個方向”不等于“任意方向”.可利用方向性來判別 累次極限是指的下列極限 一般說來, 這兩個極限不一定相等. 在高等數(shù)學中, 運算順序不能隨便交換.),(limlimyxfbyax) ),(lim (limyxfbyax),(limlimyxfaxby) ),(lim (limyxfaxby4. 累次極限若兩個累次極限存在, 但不相等：),(limli

10、m),(limlimyxfyxfaxbybyax. ),( lim 不存在則二重極限yxbyax例.lim 2200yxyxyxyx求1limlimlim202200 xxxyxyxyxxyx1limlimlim202200yyyyxyxyxyxy由于兩個累次極限不相等, 故. lim2200不存在yxyxyxyx 例例解解例 二重極限存在不一定能推出累次極限存在.則有設(shè) , 0 ,1sin),( 22yxyxyxf) 1|1sin| ( 01sinlim00yyxyx但. )1sinlim(lim1sinlimlim0000不存在yxyxyxyx 例例即算兩個累次極限存在且相等,也不一定能推

11、出二重極限存在.請同學們課后討論函數(shù)22),(yxxyyxf時的兩類極限.)0,0(),(yx當證明二元函數(shù)極限不存在的常用方法有：證明二元函數(shù)極限不存在的常用方法有：1.證明沿某特殊路徑的極限不存在.2.驗證沿某兩個特殊路徑的極限存在但不相等.,limlim,limlim. 3存在但不相等即兩個二次極限證明yxfyxfaxbybyax對一元函數(shù)的極限,只需討論它的兩個單側(cè)極限,但二元函數(shù)的極限要求討論“所有”路徑.二.多元函數(shù)的連續(xù)性1.二元函數(shù)連續(xù)性的定義請點擊請點擊2.二元連續(xù)函數(shù)的運算3.多元初等函數(shù)4.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) , ),u( , 0 , 0 0時當點若dxx在在則稱

12、二元函數(shù)則稱二元函數(shù)有有 ),( ),),(u()( 0yxfxfxf . , ),( 02dxrdxxfz設(shè)設(shè) . 0處連續(xù)處連續(xù)點點 x . 0稱為函數(shù)的連續(xù)點稱為函數(shù)的連續(xù)點點點 x 0則函數(shù)在點則函數(shù)在點為函數(shù)定義域的聚點，為函數(shù)定義域的聚點，若若 x 0處的連續(xù)性等價于處的連續(xù)性等價于x . )()(lim00xfxfxx. , )u( )( 00的聚點為則內(nèi)有定義在若dxxxf1.1.二元函數(shù)連續(xù)性的定義二元函數(shù)連續(xù)性的定義若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域 上的每一點上的每一點都連續(xù)都連續(xù), , 則稱函數(shù)則稱函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域 上連續(xù)上連續(xù), ,記為記為. )()(cxf)(xf)(xf數(shù)中

13、討論區(qū)間端點處連續(xù)性的情形數(shù)中討論區(qū)間端點處連續(xù)性的情形. .如果點如果點為區(qū)域為區(qū)域 的邊界點的邊界點, ,則只需討論則只需討論x點點的鄰域中屬于的鄰域中屬于 的那一部分的那一部分, ,類似于一元函類似于一元函x連續(xù)的多元函數(shù)的連續(xù)的多元函數(shù)的和、差、積、和、差、積、 商商( (分母不能為零分母不能為零) )仍是仍是連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)； 可以參考以下兩本書連續(xù)的多元函數(shù)的復合函數(shù)仍連續(xù)連續(xù)的多元函數(shù)的復合函數(shù)仍連續(xù). .在一定的條件下在一定的條件下, , 2.二元連續(xù)函數(shù)的運算1.分析中的反例 美 b.r.蓋爾鮑姆, j. m. h. 奧姆斯特德, 上?？茖W出版社, 1980.參考書：2.高

14、等數(shù)學是非300例分析 計幕然等, 北京航空學院出版社, 1985. 與一元函數(shù)類似 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成的多元函數(shù), 稱為多元初等函數(shù). 由基本初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的運算法則可知: 多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.3.多元初等函數(shù) 一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì), 推廣到多元函數(shù)中應是連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的性質(zhì).在空間)2( nrn中, 閉區(qū)域不一定有界.在一維空間中, 閉區(qū)間一定是有界的.4.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) . 為有界閉區(qū)域為有界閉區(qū)域設(shè)設(shè)nr使使則則若若 , ),()( 2, 1xxcxf , )(max)(1xfxfx . )(mi

15、n)(2xfxfx 性質(zhì)1 (最大、最小值定理)推 論 )()( , cxfrn為有界閉區(qū)域. )( 內(nèi)有界在xf設(shè)nr為有界閉區(qū)域. 任意一個值, 至少存在一點0x使得.)(0xf, )()(cxf且)(xf在上取兩個若函數(shù)值與, )(則對于與間的性質(zhì)2(介值定理)從定理可看出：)(maxxfx)(minxfx則至少存在一點0x使得.)(0xf若取 由連續(xù)性根存在定理能否由介值定理得出?設(shè)nr為有界閉區(qū)域.存在一點0x使得.0)(0xf兩個函數(shù)值與0, 且, 則至少, )()(cxf又)(xf在上取若 該定理實際上是介值定理的推論.性質(zhì)3(根存在定理)通常說：通常說：0x如果函數(shù)如果函數(shù)在點

16、在點)(xf處處不連續(xù)不連續(xù), , 則稱函數(shù)在點則稱函數(shù)在點0x處間斷處間斷點點0x稱為函數(shù)的間斷點稱為函數(shù)的間斷點. .三.多元函數(shù)的間斷點 尋找間斷點的方法與一元函數(shù)的情況類似函數(shù)無定義的點;極限存在但不等于函數(shù)例如：極限不存在的點;在該點的函數(shù)值的點等等.例 . 的間斷點的間斷點求函數(shù)求函數(shù)yxxyz由分母不能為零由分母不能為零, ,的一切點均為函的一切點均為函數(shù)的間斷點數(shù)的間斷點. .oxy 例例解解直線直線上上0 yx多元函數(shù)的間斷點可以構(gòu)成直線、曲線、曲面等, 也可以是某些點的集合.例 . 1 22的間斷點的間斷點求函數(shù)求函數(shù)yxz由分母不能為零由分母不能為零, , . , 0 22函數(shù)無定義函數(shù)無定義時時當當 yx 例例解解故點故點為函數(shù)的間斷點為函數(shù)的間斷點. .)0 , 0(例由三角函數(shù)知識可知由三角函數(shù)知識可知, ,所求間斷點為所求間斷點為222kyx),2, 1,0(koxy同心圓同心圓 . )tan( 22的間斷點的間斷點求函數(shù)求函數(shù)yxz 例例解解例(極坐標)根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義,