421曲線的極坐標(biāo)方程的意義

1、1、直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中怎樣描述點(diǎn)的位置？、直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中怎樣描述點(diǎn)的位置？2、曲線的方程和方程的曲線（直角坐標(biāo)系中）定義？、曲線的方程和方程的曲線（直角坐標(biāo)系中）定義？3、求曲線方程的步驟。、求曲線方程的步驟。復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧1. 情境：情境：以極點(diǎn)以極點(diǎn)o為圓心為圓心, 1為半徑的圓上任意一點(diǎn)極徑為半徑的圓上任意一點(diǎn)極徑 為為1，反過來，極徑為，反過來，極徑為1的點(diǎn)都在這個圓上。的點(diǎn)都在這個圓上。 知識探究知識探究2. 問題：問題：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個方程嗎？曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個方程嗎？因此因此, 以極點(diǎn)為圓心以極點(diǎn)為圓心, 1為半徑的圓可以用方程為半徑的圓可以用方程

2、=1來表來表示示.3、定義：、定義：一般地一般地, 如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個極坐標(biāo)適合方程極坐標(biāo)適合方程f (r r , q q )0 ； 反之反之, 極坐標(biāo)適合方程極坐標(biāo)適合方程f (r r , q q )0的點(diǎn)在曲線上的點(diǎn)在曲線上, 那么這個那么這個方程方程稱為這條曲線稱為這條曲線的的極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程, 這條這條曲線曲線稱為這個稱為這個極坐標(biāo)方程的曲線極坐標(biāo)方程的曲線. 在直角坐標(biāo)平面上在直角坐標(biāo)平面上,曲線可以用曲線可以用 x、y的二元方的二元方程程f (x , y)=0來表示，這種方程也稱為曲線的直角來表示，這種方程也稱為曲線的直角坐標(biāo)方程。坐標(biāo)

3、方程。 同理，在極坐標(biāo)平面上同理，在極坐標(biāo)平面上, 曲線也可以用關(guān)于曲線也可以用關(guān)于r r、q q 的的二元方程二元方程f (r r , q q )0來表示來表示, 這種方程稱為曲線的極坐這種方程稱為曲線的極坐標(biāo)方程。標(biāo)方程。由于點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不唯一，因此，在極坐標(biāo)由于點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不唯一，因此，在極坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)中只要有滿足曲線方程系中，曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)中只要有滿足曲線方程的坐標(biāo)，但不要求曲線上的點(diǎn)的任意一個極坐標(biāo)都的坐標(biāo)，但不要求曲線上的點(diǎn)的任意一個極坐標(biāo)都滿足方程。滿足方程。由于點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不唯一，導(dǎo)致曲線的極坐由于點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不唯一，導(dǎo)致曲線的極坐標(biāo)方程也不唯一。標(biāo)

4、方程也不唯一。 如：以極點(diǎn)如：以極點(diǎn)o為圓心，為圓心，1為半徑的圓可以用方程為半徑的圓可以用方程r r =1表示，也可以用方程表示，也可以用方程r r =-1表示表示.說明：說明：例例1、求過點(diǎn)、求過點(diǎn)a(2,0)且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程解：如圖所示，在所求直線解：如圖所示，在所求直線 l 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)p( r r , , q q )， 連結(jié)連結(jié)op, 則則 opr r ，poaq q在在rtpoa中，由于中，由于opcosq q = =oa，所以所以 r r cosq q = =2, 所以所以 r r cosq q = =2為所求直線的極坐為所求直

5、線的極坐標(biāo)方程。標(biāo)方程。oxp(, )a(2,0)求曲線的極坐標(biāo)方程：求曲線的極坐標(biāo)方程：類似于曲線直角坐標(biāo)方程的求法，可以求曲線的極坐標(biāo)方程。類似于曲線直角坐標(biāo)方程的求法，可以求曲線的極坐標(biāo)方程。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1：已知點(diǎn)已知點(diǎn)p的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(1,)，那么過點(diǎn)，那么過點(diǎn)p且且垂直于極軸的直線極坐標(biāo)方程。垂直于極軸的直線極坐標(biāo)方程。例例2 2、求圓心在、求圓心在c(r,0),c(r,0),半徑為半徑為r r的圓的極坐標(biāo)方程。的圓的極坐標(biāo)方程。解：如圖所示，解：如圖所示，p(,)xa(2r,0)c(r,0)o則則|op|oa|cospoa 所以，所求圓的極所以，所求圓的極坐標(biāo)方程為坐標(biāo)方

6、程為r r 2rcos q q設(shè)設(shè)p ( ( r r , , q q ) )為圓上任意一點(diǎn)，由于為圓上任意一點(diǎn)，由于opap即即 r r 2rcos q q|oa|=2r，poa q q變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2：求圓心在求圓心在c(r,/2), 半徑為半徑為r的圓的極坐的圓的極坐標(biāo)方程。標(biāo)方程。解：解：如圖所示，由題意可知，所求圓的圓心在垂直于極軸且位于極軸上方的射線上，如圖所示，由題意可知，所求圓的圓心在垂直于極軸且位于極軸上方的射線上，而圓周經(jīng)過極點(diǎn)。而圓周經(jīng)過極點(diǎn)。設(shè)圓與垂直于極軸的射線的另一交點(diǎn)為設(shè)圓與垂直于極軸的射線的另一交點(diǎn)為a，則，則a點(diǎn)的極坐標(biāo)為（點(diǎn)的極坐標(biāo)為（r, /2)。設(shè)圓上任

7、意一點(diǎn)為設(shè)圓上任意一點(diǎn)為p（，），連結(jié)），連結(jié)pa，則，則op，pox在在rtpoa中，由于中，由于cospoa=|op|/|oa|，cos()/2 ,2rqr sin/2 , rqr即所以所以 2rsin為所求圓的極坐標(biāo)方程。為所求圓的極坐標(biāo)方程。a(2r,2)c(r,2)xp(,)o特別地特別地, 我們知道我們知道,在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，x=k(k為常數(shù)為常數(shù))表示表示一條平行于一條平行于y軸的直線；軸的直線；y=k(k為常數(shù)為常數(shù))表示一條平行表示一條平行于于x軸的直線。軸的直線。 我們可以證明（具體從略），在極坐標(biāo)系中，我們可以證明（具體從略），在極坐標(biāo)系中，r rk(k為常

8、數(shù)為常數(shù))表示圓心在極點(diǎn)、半徑為表示圓心在極點(diǎn)、半徑為k的圓；的圓；k(k為常數(shù)為常數(shù))表示極角為表示極角為k的一條直線（過極點(diǎn)）。的一條直線（過極點(diǎn)）。第一步建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系；第一步建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系；第二步在曲線上任取一點(diǎn)第二步在曲線上任取一點(diǎn)p( ( r r , , q q ) )第三步根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件寫出等第三步根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件寫出等 式；式；第四步用極坐標(biāo)第四步用極坐標(biāo)r r 、q q表示上述等式，并化簡表示上述等式，并化簡 得極坐標(biāo)方程；得極坐標(biāo)方程；第五步證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)程。第五步證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)程。求曲線極坐標(biāo)方程的基本步驟：求曲線

9、極坐標(biāo)方程的基本步驟：例例3、（1）化在直角坐標(biāo)方程）化在直角坐標(biāo)方程x2+y2-8y=0為極坐標(biāo)方程；為極坐標(biāo)方程；（2）化極坐標(biāo)方程）化極坐標(biāo)方程=6cos(q q -/3) 為直角坐標(biāo)方程。為直角坐標(biāo)方程。數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用1、把下列下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：、把下列下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程： (1) r r cosq q=4 (2) r r = 5 (3) r r = 2r sinq q（1）解：把代入上式，得它的直角坐標(biāo)方程）解：把代入上式，得它的直角坐標(biāo)方程 x=4 把把r r 2=x2+y2代入上式，得它的直角坐代入上式，得它的直角坐標(biāo)方程標(biāo)方程x2+y2=25變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3：（2）解：兩邊同時平方，得）解：兩邊同時平方，得r r 2=25（3）解：兩邊同時乘以）解：兩邊同時乘以r r，得，得r r 2=2rr r sinq q，把，把r r 2=x2+y2, r r sinq q =y代入上式，得它的直角坐標(biāo)方程代入上式，得它的直角坐標(biāo)方程x2+y2=2ry 即即x2+(y-r)2=r2 1. 在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中,我們可以用一個角度和一個距離來我們可以用一個角度和一個距離來確定點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的位置. 2. 極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系是兩種不