無窮小量定義

1、一、無窮小量一、無窮小量1、定義、定義:極限為零的變量稱為無窮小量極限為零的變量稱為無窮小量.5 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量 設(shè)設(shè)f在某在某u(x0)內(nèi)有定義內(nèi)有定義,若若 則稱則稱f為當(dāng)為當(dāng)xx0時(shí)的無窮小量。時(shí)的無窮小量。 0)(lim0 xfxx)( )1()(0 xxoxf 記為記為若函數(shù)若函數(shù)g在某在某u(x0)內(nèi)有界，則稱內(nèi)有界，則稱g為為xx0時(shí)的有界量。時(shí)的有界量。 )( )1()(0 xxoxf 記為記為 類似可定義類似可定義xx0+, xx0-,x+, x以及以及x時(shí)的無窮小量與有界量。時(shí)的無窮小量與有界量。 任何無窮小量都是有界量任何無窮小量都是有界量。例例1，

2、0sinlim )1(0 xx；即即時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小，是是當(dāng)當(dāng)) 0 ( (1) sin 0sin xoxxx1sinlim2 xx ，0 ；) 2 ( (1) sin xoxxxsinlim ，0 。) ( (1) sin xox注意注意（1）無窮小是一種）無窮小是一種變量變量,不能與不能與很小很小的的數(shù)數(shù)混淆混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù)）零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù)., 0)1( )2( nxnn)1()1(onxnn 。)( n問：?jiǎn)枺簾o窮小是否為無窮小是否為很小的數(shù)很小的數(shù)？很小的數(shù)很小的數(shù)是否為無窮??？是否為無窮小？二、無窮小量與極限的關(guān)系二、無窮小量與極限的關(guān)系

3、。變化過程，有變化過程，有的的對(duì)自變量對(duì)自變量(1)()( lim oatfatft 同一同一定理定理1 1意義：意義： （1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小量無窮小量);).1(,)()(20oaxfxxf誤誤差差為為式式附附近近的的近近似似表表達(dá)達(dá)在在）給給出出了了函函數(shù)數(shù)（ 三、無窮小量的性質(zhì)三、無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個(gè)有限個(gè)相同類型的相同類型的無窮小量的和、差、積仍是無窮小量的和、差、積仍是 無窮小量無窮小量.性質(zhì)性質(zhì)2 （同一過程中的同一過程中的）有界量有界量與無窮小量的乘積是與無窮小量的乘積是無窮小無窮小，即即 o(1)o(1)=

4、o(1).用迫斂性可以證明。用迫斂性可以證明。證法證法1：證法證法2。時(shí)時(shí)，恒恒有有，使使得得當(dāng)當(dāng)，則則對(duì)對(duì)mxxx )(00 0 202來來證證。這這種種自自變變量量的的變變化化過過程程僅僅對(duì)對(duì) 0 xx ，恒恒有有時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng)，取取 | )()(| |-| 0 ,min 021xxuxx性質(zhì)性質(zhì)2 （同一過程中的同一過程中的） o(1)o(1)=o(1).即即 o(1)o(1)=o(1).)( )1()(0 xxoxu 設(shè)設(shè))( )1()(0 xxox 設(shè)設(shè))( ,o(1) )()( 0 xxxxu 。時(shí)，恒有時(shí)，恒有使得當(dāng)使得當(dāng)即即mxuxxm )( 0 , 0 , 0 101 )1(

5、1sin )1(0，時(shí)時(shí)，例例如如，當(dāng)當(dāng)oxoxx ；，即即01sin lim (1) 1 sin 0 xxoxxx， (1) 1arctan )1(1tan rc )1( 22oxxoxaox 。即即01 tan lim 20 xarcxx注意注意無窮多個(gè)無窮多個(gè)無窮小量無窮小量的代數(shù)和的代數(shù)和未必未必是無窮?。皇菬o窮??； 無窮多個(gè)無窮多個(gè)無窮小量無窮小量的乘積的乘積未必未必是無窮小是無窮小. .; ,1 , ,51 ,41 ,31 ,21 1, :)1(nxn，例例如如不不是是無無窮窮小小。， )()()2()1( knnnnxxxy; ,1-1 , ,41 ,31 ,21 1, 2, :

6、)2(nxn; ,2-1 , ,31 ,21 1, 2, 3, :)3(nxn; ,11 , ,4- ,3- ,2- 1,- , :)( n-kkkkkkxkn不不是是無無窮窮小小。， )()()2()1( knnnnxxxz四、無窮小量階的比較四、無窮小量階的比較無窮小量之比無窮小量之比的極限（的極限（0/0）可以出現(xiàn)各種情況：）可以出現(xiàn)各種情況：出現(xiàn)不同情況的原因是無窮小趨向于零的出現(xiàn)不同情況的原因是無窮小趨向于零的速度速度不同不同.例如例如,xxx20limxxxsinlim0201sinlimxxxx.1sin,sin,02都是無窮小都是無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx ; 2快得多快得多比

7、比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xxx1sin1lim0 .不存在且無界不存在且無界觀察各極限觀察各極限型）型）（0020limxxx; 2慢得多慢得多比比 xx, 設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)xx0時(shí)，時(shí)，f與與g均為無窮小量，均為無窮小量，1若若 則稱當(dāng)則稱當(dāng)xx0時(shí)時(shí) , f為為g的的高階高階無無窮小量窮小量,或稱或稱g為為f的的低階低階無窮小量，記作無窮小量，記作 , 0)()(lim0 xgxfxx)( )()(0 xxxgoxf 例如，當(dāng)例如，當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，x, x2, , xn (n為正整數(shù)為正整數(shù))等都等都是無窮小量，有是無窮小量，有)0( )(1 xxoxk

8、kxxxsincos1lim0 2cos2sin22sin2lim20 xxxx . 02tanlim0 xx)0( )(sincos1 xxox故故若存在若存在正數(shù)正數(shù)k和和l，使得在某，使得在某u(x0)上有上有 ,|)()(|lxgxfk 則稱則稱f與與g為當(dāng)為當(dāng)xx0時(shí)的時(shí)的同階同階無窮小量。無窮小量。 , 0)()(lim0 cxgxfxx特別當(dāng)特別當(dāng)f與與g必為同階無窮小量。必為同階無窮小量。 )( )()( ,|)()(|0 xxxgoxflxgxf 則記則記若若2.注注 若若f(x),g(x)是同階無窮小量，則可記作是同階無窮小量，則可記作f(x)=o(g(x),但若但若 f(

9、x)=o(g(x),則則f(x)與與g(x)不一定是同階無窮小量。不一定是同階無窮小量。20cos1limxxx 2202sin2limxxx .21 )0( )(cos12 xxox故故)0( )(1sin xxoxx|1sin|xxx|1sin|x , 1 并并不不是是同同階階無無窮窮小小量量。與與但但xxx1sin. 0)()(lim)()( xgxfxgoxf.|)()(|)()(lxgxfxgoxf 反之不然。反之不然。),()()()(xgoxfxgoxf )()( )()(xgoxfxgoxf 屬于屬于函數(shù)類函數(shù)類0)()(lim| )()( xgxfxfxgo)(,|)()(|

10、)()(0 xuxlxgxfxfxgoo 3若若 則稱當(dāng)則稱當(dāng)xx0時(shí)時(shí) , f與與g是等價(jià)無是等價(jià)無窮小量，記作窮小量，記作 , 1)()(lim0 xgxfxx f(x)g(x) (xx0).注：并不是任何兩個(gè)無窮小量都可以進(jìn)行這種階的比較。注：并不是任何兩個(gè)無窮小量都可以進(jìn)行這種階的比較。 例如，當(dāng)例如，當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，x sin 1/x和和x2都是無窮小量，都是無窮小量， xxxxx1sin11sin2 但但當(dāng)當(dāng)x0時(shí)不是有界量，時(shí)不是有界量， xxxxx1sin1sin2 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)不是有界量，時(shí)不是有界量， 故當(dāng)故當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，x sin 1/x和和x2不能比較。不能比較。，03li

11、m20 xxx，1sinlim0 xxx高階的無窮小，高階的無窮小，是比是比時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxx302；即即)0( )3(2 xxox).0( sinxxx例例1例例.1lim0 xexx 求求解解xexx1lim0 1 xeu)1ln(lim0uuu uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 .1)1ln(0 xexxxx ，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 x，xxxxxx)1ln(arctanarcsintansin )0(1)1(,21cos1,12 aaxxxxxeax五、等價(jià)無窮小量在求極限問題中的作用五、等價(jià)無窮小量在求極限問題中的作用 定理定理 3

12、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f,g,h在在u(x0)內(nèi)有定義，且有內(nèi)有定義，且有 f(x)g(x) (xx0).bxgxhbxfxhxxxx )()(lim,)()(lim200則則）若）若（,)()(lim,)()(lim100axhxgaxhxfxxxx 則則）若）若（證（證（2）)()()()(lim)()(lim00 xgxfxfxhxgxhxxxx )()(lim)()(lim00 xgxfxfxhxxxx .1bb 推論推論 .limlim, 則則設(shè)設(shè)證證 lim lim 1lim.lim 證畢證畢 1lim例例5 5.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02

13、xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原原式式. 8 例例6 6.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯(cuò)錯(cuò) 注意：注意：只可對(duì)乘積中的無窮小因子作等價(jià)無窮小代換只可對(duì)乘積中的無窮小因子作等價(jià)無窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無窮小項(xiàng)不能隨意作等價(jià)無窮小量，對(duì)于代數(shù)和中各無窮小項(xiàng)不能隨意作等價(jià)無窮小量代換。代換。作作 業(yè)業(yè) p66. 1 (4) 2 (2) 六、無窮大量六、無窮大量

14、定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f在某在某u(x0)內(nèi)有定義，若內(nèi)有定義，若.| )(|),();(, 0, 000gxfxuxuxgoo 有有 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f當(dāng)當(dāng)xx0時(shí)有非正常極限時(shí)有非正常極限，記作，記作.)(lim0 xfxx 若將若將“|f(x)|g”換成換成“f(x)g”或或“f(x)g”,則分別則分別稱稱f當(dāng)當(dāng)xx0時(shí)有非正常極限時(shí)有非正常極限或或，分別記作，分別記作和和 )(lim0 xfxx.)(lim0 xfxx類似可定義其他極限過程類似可定義其他極限過程 的非正常極限。的非正常極限。定義定義 3 對(duì)于自變量對(duì)于自變量x的某種趨向（或的某種趨向（或n時(shí)），所有以時(shí)），所有以，或

15、或?yàn)榉钦O限的函數(shù)（包括數(shù)列），都稱為無為非正常極限的函數(shù)（包括數(shù)列），都稱為無窮大量。窮大量。:)(lim0 xfxx如如.)(),;(, 0, 00gxfxuxgo 有有 :)(lim xfx如如.)(,|, 0, 0gxfmxmg 有有至此，我們定義了極限的全部至此，我們定義了極限的全部24種情形。種情形。),)(,)(,| )(|,|)(| ),0( , 0gxfgxfgxfaxfg 刻畫函數(shù)極限值情況?？坍嫼瘮?shù)極限值情況。,|,),;(),;(),;( ),0( , 0000mxmxmxxuxxuxxuxmooo 刻畫自變量變化情況?？坍嬜宰兞孔兓闆r。 )(lim? axfx。種

16、極限過程的任何一種種極限過程的任何一種其中？可以是其中？可以是6注意注意（1）無窮大量是變量）無窮大量是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大量是一種特殊的無界變量）無窮大量是一種特殊的無界變量,但是但是無界變量未必是無窮大量無界變量未必是無窮大量.)(lim20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在）切勿將）切勿將（ xfxx. 1 11 1l li im m證證明明1 1xx例例1 1證證0 0. .m m對(duì)對(duì)任任給給定定的的,11mx 要使要使, ,m m1 11 10 0只只要要 x, ,m m1 1(m)(m)可取可取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)mx .11mx 就有就有.11lim1 xx

17、11 xy。 - - lnln limlim : :試證試證 0 00 0 xx例2例2證證0 0. .m m對(duì)對(duì)任任給給定定的的 , ,e ee ee em m l ln n 由由m mm m l ln n xxx. .e e( (m m) )可可取取 m m , ,- -m m l ln n 恒恒有有 時(shí)時(shí), , 0 0 當(dāng)當(dāng) xx。 xx l ln nl li im m 0 00 0七、無窮小與無窮大的關(guān)系七、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大量的倒數(shù)為無窮無窮大量的倒數(shù)為無窮小量小量; ;恒不為零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量恒不為零的無窮小量的倒數(shù)為

18、無窮大量. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1 xf即即.)(1,0為無窮小為無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反之反之,1)(0, 0, 00mxfxxm 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1mxf 從而從而.)(1,0為無窮大為無窮大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx , 0)( xf由由于于意義：意義： 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論小的討論.注注 對(duì)無窮大量也可以比較它們趨于無窮大對(duì)無窮大量也可以比較它們趨于無窮大的速度，定義的速度，定義高（低、同）階無

19、窮大高（低、同）階無窮大以及以及等等價(jià)無窮大價(jià)無窮大；也可以進(jìn)行；也可以進(jìn)行等價(jià)無窮大量替換等價(jià)無窮大量替換。例例3時(shí)不是無窮大量。時(shí)不是無窮大量。但但上無界，上無界，在任意在任意證明證明0)0(1cos1)( xuxxxgo分析分析有界，即有界，即在某在某若若); 0()( ouxg.| )(|),; 0(, 0mxguxmo 有有 但但有有只要只要取取),; 0(,21,2100 ouxnnx ,22cos2)(0 nnnxg .| )(|,20mxgmn 不可能不可能而當(dāng)而當(dāng) 證明證明則則取取,21,2max, 0, 0 mnm .| )(|),; 0(2100mxgunxo 且且則則

20、上無界。上無界。在任意在任意即即)0()(ouxg時(shí)不是無窮大量。時(shí)不是無窮大量。但但上無界，上無界，在任意在任意證明證明0)0(1cos1)( xuxxxgo,2/1, 0, 11 nxg取取取取,2/1 n只要只要),; 0(1 oux 有有.10| )(|1gxg 而而.)(lim0 xgx故故即即若若,)(lim0 xgx.| )(|),; 0(, 0, 0gxguxgo 有有 時(shí)不是無窮大量。時(shí)不是無窮大量。但但上無界，上無界，在任意在任意證明證明0)0(1cos1)( xuxxxgo證明證明八、曲線的漸近線八、曲線的漸近線定義定義: :. )(: 漸漸近近線線的的一一條條為為的的距

21、距離離趨趨向向于于零零，則則稱稱到到某某直直線線點(diǎn)點(diǎn)無無限限遠(yuǎn)遠(yuǎn)離離原原點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，沿沿曲曲線線若若點(diǎn)點(diǎn)cllpxfycp 1.1.垂直漸近線垂直漸近線.)()(lim)(lim)(lim0000直直漸漸近近線線垂垂的的一一條條就就是是那那么么或或或或如如果果xfyxxxfxfxfxxxxxx 的的漸漸近近線線?？煽衫糜脴O極限限求求曲曲線線)(xfy ?；蚧虿荒苁遣荒苁恰５?。但或或可以是可以是這里這里 0 x 即動(dòng)點(diǎn)沿著上下方向無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)即動(dòng)點(diǎn)沿著上下方向無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到直線到直線x=x0距離趨于距離趨于0。例如例如,)3)(2(1 xxy有垂直漸近線兩條有垂直漸近線兩條: :. 3, 2 xx求垂直漸近線，一般關(guān)注分式中分母為求垂直漸近線，一般關(guān)注分式中分母為0的點(diǎn)。的點(diǎn)。,)3)(2(1lim2 xxx,)3)(2(1lim3 xxx2.2.水平漸近線水平漸近線.)()()(lim)(lim 水水平平漸漸近近線線的的一一條條就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctanxy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy 即動(dòng)點(diǎn)沿著左右方向無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)即動(dòng)點(diǎn)沿著左右方向無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到直