第十章習題課線,面積分

1、習題課一、一、 曲線積分的計算法曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法二、曲面積分的計算法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 線面積分的計算 第十章 一、曲線積分的計算法一、曲線積分的計算法1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對弧長 )第二類 ( 對坐標 )(1) 統一積分變量轉化定積分用參數方程用直角坐標方程用極坐標方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終練習題: p184 題 3 (1), (3), (6)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解答提示解答提示: 計算,d22syxl其中l(wèi)為圓周.22xayx提示提示: 利用極坐標 ,)22(cos: arldd22rrs原

2、式 =sxald22dcos22aa22a說明說明: 若用參數方程計算,:l)20( txaoyrda)cos1 (2txatyasin2t則tyxsdd22 tad2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 p184 3 (1)ttad)cos1 ( p184 3(3). 計算,dd)2(lyxxya其中l(wèi)為擺線, )sin(ttax)cos1 (tay上對應 t 從 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zoyx1p184

3、 3(6). 計算其中由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在 上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd)cos1 (cos42022221221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx從 z 軸正向看沿逆時針方向.,12所得 z機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 利用對稱性及重心公式簡化計算 ;(2) 利用積分與路徑無關的等價條件;(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯系公式 .2. 基本技巧基本技巧機動 目錄 上

4、頁 下頁 返回 結束 例例1. 計算,d)(22szyxi其中 為曲線02222zyxazyx解解: 利用輪換對稱性 , 有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxid)(32222sad322334azoyx(的重心在原點)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 計算,d)(d)(22lyxyxyxi其中l(wèi) 是沿逆時針方向以原點為中心,coyxabl解法解法1 令,22xyqyxp則xq這說明積分與路徑無關, 故yxyxyxiabd)(d)(22aaxx d2332a1ypa 為半徑的上半圓周.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法解法2 ,ba它與l所圍區(qū)域為d

5、,coyxabldyxdd0yxyxyxbad)(d)(22xxaad2d(利用格林公式)思考思考:(2) 若 l 同例2 , 如何計算下述積分:lyxyxyxid)(d) (2222ylyxyxyxid)(d)(2213332a(1) 若l 改為順時針方向,如何計算下述積分:balyxyxyxid)(d)(22則添加輔助線段機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考題解答思考題解答:lyxyxyxid)(d)(2213(1)ababldyxdd2)32(2aalyxyxyxid)(d) (2222y(2)lyxyxyxd)(d)(22lxy d2ttadsin303,sin,cos:tayta

6、xl332a13223 a32a0: t332aicoyxabld機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 sin)cos1 (:taytaxldyalxo計算,d)2cos(d)2sin(lxxyyexyyei其中l(wèi)為上半圓周, 0,)(222yayax提示提示: :lxxyyexyeid)2cos(dsinlxyd2lxyd2bayxddd0ax20d0022dsin2tta0: t2a沿逆時針方向.ababl練習題練習題: p184 題 3(5) ; p185 題6; 103(5).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 p185 6 . 設在右半平面 x 0 內, 力構成力場,其中k 為常數,

7、,22yx 證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關.提示提示:)dd(3yyxxkwl令33,ykqxkp易證53yxkypxq)0(x),(3yxkff 沿右半平面內任意有向路徑 l 所作的功為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 p185 10. 求力沿有向閉曲線 所作的功, 其中 為平面 x + y + z = 1 被三個坐標面所截成三提示提示: bazyxcozxyzxywdddabzxyzxyddd3abzxd310d)1 (3zz23方法方法1從 z 軸正向看去沿順時針方向.利用對稱性角形的整個邊界,),(xzyf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設三角形區(qū)域為 , 方向向上

8、, 則zxyzxywdddzyxsd313131yzx1:zyxsd)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法2nbazyxco23yxdyxdd33利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、曲面積分的計算法二、曲面積分的計算法1. 基本方法曲面積分第一類( 對面積 )第二類( 對坐標 )轉化二重積分(1) 統一積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關坐標面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思思 考考 題題1) 二重積分是哪一類積分? 答答: 第一類曲面積分的特例.2) 設曲

9、面,),( ,0:dyxz問下列等式是否成立?dyxyxfszyxfdd)0 ,(d),( 不對不對 ! 對坐標的積分與 的側有關 dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉化機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zyxo練習練習:p185 題題4(3) ,ddddddyxzxzyzyx其中 為半球面222yxrz的上側.且取下側 , 提示提示: 以半球底面0原式 =3323r032rp18

10、5 題題4(2) , p185 題題 9 同樣可利用高斯公式計算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx記半球域為 ,高斯公式有計算為輔助面, 利用機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.證明證明: 設(常向量)則單位外法向向量, 試證sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos設 為簡單閉曲面, a 為任意固定向量, n 為的 . 0d)cos(sa,nsa ,nd)cos(sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 計算曲面積分

11、yxrzxzryzyrxidddddd333其中,222zyxr.:2222取外側rzyx解解:yxzxzyzyxridddddd13zyxrddd3134思考思考: 本題 改為橢球面1222222czbyax時, 應如何計算 ?提示提示: 在橢球面內作輔助小球面取2222zyx內側, 然后用高斯公式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2121i例例5. 設 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxi2221:yxz解解: 取足夠小的正數, 作曲面取下側 使其包在 內, 2為 xoy 平面上夾于之間的部分, 且取下側 ,1與21ozyx取上

12、側, 計算, )0( z則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 21ozyx)2(133i2121ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二項添加輔助面, 再用高斯公式計算, 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 計算曲面積分其,d2)(22szyzyxi中 是球面.22222zxzyx解解: szxd)22(32szyxid )(222zyyx22syzxd)(2szxd)(20利用對稱性用重心公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xzoy例例7.zyxyxzxzyild)3(d)2(d)(222222設l 是平面與柱面1 yx的交線從 z 軸正

13、向看去, l 為逆時針方向, 計算 解解: 記 為平面2zyx上 l 所圍部分的上側, d為在 xoy 面上的投影.i3131312zyx223yx szyxd)324(3222zy 222xz szyxdld由斯托克斯公式公式 目錄 上頁 下頁 返回 結束 dyxyxdd)6(2dxyo11d 的形心0 yxdyxdd1224szyxid)324(32dyxzyx),(, 2:1: yxd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)p184 3 (2) , (4) ; 3 (2) 5 ; 8機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 在任一固定時刻 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是備用題備用題

14、 地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像, 若地球半徑為r , 衛(wèi)星距地球表面高度為h =0.25 r , 衛(wèi)星繞地球一周的時間為 t , 試求(2) 在yzxo解解: 如圖建立坐標系.,54cos8 . 0arccosr25. 1r3t的時間內 , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少 ?多少 ? 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 利用球坐標, 任一固定時刻監(jiān)視的地球表面積為yzxor25. 1r02201dsindrs)cos1 (22r252r(2) 在2s2025234rsr3t時間內監(jiān)視的地球表面積為54cos點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停注意盲區(qū)與重復部分其中s0 為盲區(qū)面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 利