【人教A版】高中數(shù)學(xué)選修11同步輔導(dǎo)與檢測 章末復(fù)習(xí)課

1、起章末復(fù)習(xí)課整合整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建警示警示易錯(cuò)提醒易錯(cuò)提醒1關(guān)于切線的注意點(diǎn)關(guān)于切線的注意點(diǎn)在確定曲線在某點(diǎn)處切線的方程時(shí)在確定曲線在某點(diǎn)處切線的方程時(shí)， 一定要首先確定此點(diǎn)是否為一定要首先確定此點(diǎn)是否為切點(diǎn)切點(diǎn)， 若此點(diǎn)是切點(diǎn)若此點(diǎn)是切點(diǎn)， 則曲線在該點(diǎn)處切線的斜率即為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值則曲線在該點(diǎn)處切線的斜率即為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，若此點(diǎn)不是切點(diǎn)若此點(diǎn)不是切點(diǎn)，則需應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)則需應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求斜率再求斜率，寫出直線的方程寫出直線的方程2求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)單調(diào)區(qū)間的求解過程中單調(diào)區(qū)間的求解過程中，應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：(1)不要忽略不要忽略 yf(x)的定的定義域

2、；義域；(2)增增(減減)區(qū)間有多個(gè)時(shí)區(qū)間有多個(gè)時(shí)，用用“， ”或者用或者用“和和”連接連接，切不可切不可用用“”“”連接連接3函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的注意點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的注意點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù) f(x)可導(dǎo)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明來說明 f(x)0 與與 f(x)為增函數(shù)的關(guān)系為增函數(shù)的關(guān)系： f(x)0 能推出能推出 f(x)為增為增函數(shù)函數(shù)，但反之不一定如函數(shù)但反之不一定如函數(shù) f(x)x3在在(，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增，但但 f(x)0，所以，所以 f(x)0 是是 f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件為增函數(shù)的充分

3、不必要條件4可導(dǎo)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的注意點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的注意點(diǎn)x0為極值點(diǎn)能推出為極值點(diǎn)能推出 f(x0)0，但反之不一定但反之不一定f(x0)0 是是 x0為極為極值點(diǎn)的必要而不充分條件值點(diǎn)的必要而不充分條件x0是極值點(diǎn)的充要條件是是極值點(diǎn)的充要條件是 f(x0)0，且且x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號5函數(shù)的最值與極值的注意點(diǎn)函數(shù)的最值與極值的注意點(diǎn)(1)函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極函數(shù)的極大值大值、 極小值是比較極值極小值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的 函數(shù)的極值可以有函數(shù)的極值可以有

4、多個(gè)多個(gè)，但最大但最大(小小)值最多只能有一個(gè)值最多只能有一個(gè)(2)在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值，應(yīng)把極值點(diǎn)的函數(shù)值應(yīng)把極值點(diǎn)的函數(shù)值與兩端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較與兩端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較， 不可直接用極大不可直接用極大(小小)值替代最大值替代最大(小小)值值專題專題 1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義在導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中在導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中， 要熟練掌握基本導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則要熟練掌握基本導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則 由于由于函函數(shù)數(shù) yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) f(x0)就是曲線就是曲線 yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn) p(x0，f(x0)處處的切線的斜率的切

5、線的斜率，其切線方程為其切線方程為 yf(x0)f(x0)(xx0)，因此關(guān)于曲線因此關(guān)于曲線的切線問題可嘗試用導(dǎo)數(shù)的方法解決的切線問題可嘗試用導(dǎo)數(shù)的方法解決例例 1(1)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中中，若曲線若曲線 yax2bx(a，b 為為常數(shù)常數(shù))過點(diǎn)過點(diǎn) p(2，5)，且該曲線在點(diǎn)且該曲線在點(diǎn) p 處的切線與直線處的切線與直線 7x2y30 平行平行，則，則 ab 的值是的值是_(2)若曲線若曲線 yxln x 上點(diǎn)上點(diǎn) p 處的切線平行于直線處的切線平行于直線 2xy10， 則則點(diǎn)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_解析：解析：(1)由曲線由曲線 yax2bx過點(diǎn)過點(diǎn) p(2，

6、5)，可得可得54ab2.y2axbx2，則曲線在點(diǎn)則曲線在點(diǎn) p 處的切線斜率為處的切線斜率為 4ab4，由題意可由題意可知知 4ab472.由由解得解得 a1，b2，所以所以 ab3.(2)設(shè)設(shè) p(x0，y0)因?yàn)橐驗(yàn)?yxln x，所以所以 yln xx1x1ln x所所以以 1ln x02，解得解得 x0e，所以所以 y0eln ee.所以點(diǎn)所以點(diǎn) p 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(e，e)答案：答案：(1)3(2)(e，e)歸納升華歸納升華1函數(shù)函數(shù) yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)為處的導(dǎo)數(shù)為 f(x0)就是曲線就是曲線 yf(x)在在點(diǎn)點(diǎn)p(x0，f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率，其

7、切線方程為其切線方程為 yf(x0)f(x0)(xx0)，因此關(guān)于曲線的切線問題可嘗試用導(dǎo)數(shù)的方法解決因此關(guān)于曲線的切線問題可嘗試用導(dǎo)數(shù)的方法解決2 求曲求曲線線 yf(x)過過點(diǎn)點(diǎn) p(x0， f(x0)的切線方程的切線方程： 設(shè)切設(shè)切點(diǎn)點(diǎn) q(x1， f(x1)，則切線方程為則切線方程為 yf(x1)f(x1)(xx1)，把點(diǎn)把點(diǎn) p 的坐標(biāo)代入切線方程解的坐標(biāo)代入切線方程解得得 x1，再回代到切線方程中再回代到切線方程中變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x3x16.(1)求曲線求曲線 yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(2，6)處的切線方程；處的切線方程；(2)直線直線 l 為曲線為曲線 yf(

8、x)的切線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線求直線 l 的方程及的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)切點(diǎn)坐標(biāo)解：解：(1)點(diǎn)點(diǎn)(2，6)在曲線在曲線 yf(x)上上因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)(x3x16)3x21，所以所以 f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(2，6)處的切線的斜率為處的切線的斜率為 kf(2)13.所以切線的方程為所以切線的方程為 y13(x2)(6)，即即 y13x32.(2)設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線則直線 l 的斜率為的斜率為 f(x0)3x201，所以直所以直線線 l 的方程為的方程為 y(3x201)(xx0)x30 x016.又因?yàn)橹本€又因?yàn)橹本€ l 過點(diǎn)過點(diǎn)(0，0)，所以所以 0(3x201

9、)(x0)x30 x016，整理得整理得 x308，所以所以 x02，所以所以 y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，所以直線所以直線 l 的方程為的方程為 y13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，26)專題專題 2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)把導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具把導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具，求解單調(diào)區(qū)間求解單調(diào)區(qū)間，研究函數(shù)的極大研究函數(shù)的極大(小小)值值，以及求在閉區(qū)間以及求在閉區(qū)間a，b的最大的最大(小小)值是本章的重點(diǎn)值是本章的重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性是基礎(chǔ)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性是基礎(chǔ)， 求極值是關(guān)鍵求極值是關(guān)鍵， 學(xué)習(xí)時(shí)一定要學(xué)習(xí)時(shí)一定要熟練它們熟練它們的求解方法的求解方

10、法例例 2已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ax3x2(ar)在在 x43處取得極值處取得極值(1)確定確定 a 的值；的值；(2)若若 g(x)f(x)ex，討論討論 g(x)的單調(diào)性的單調(diào)性解：解：(1)對對 f(x)求導(dǎo)得求導(dǎo)得 f(x)3ax22x.因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)在在 x43處取得極值處取得極值， 所以所以 f43 3a169243 16a3830，解得解得 a12.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意(2)由由(1)知知 g(x)12x3x2ex，定義域?yàn)槎x域?yàn)?r，所所以以 g(x)32x22xex12x3x2ex12x352x22xex12x(x1)(x4)ex.令令 g(x)0，解得解得

11、 x0，x1 或或 x4.當(dāng)當(dāng) x4 時(shí)時(shí)，g(x)0，故故 g(x)為減函數(shù)；為減函數(shù)；當(dāng)當(dāng)4x0，故故 g(x)為增函數(shù)；為增函數(shù)；當(dāng)當(dāng)1x0 時(shí)時(shí)，g(x)0 時(shí)時(shí)，g(x)0，故故 g(x)為增函數(shù)為增函數(shù)綜上知綜上知，g(x)在在(，4)和和(1，0)內(nèi)為減函數(shù)內(nèi)為減函數(shù)，在在(4，1)和和(0，)內(nèi)為增函數(shù)內(nèi)為增函數(shù)歸納升華歸納升華1利用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟：的一般步驟：( (1)確定函數(shù)確定函數(shù) yf(x)的定義域的定義域(2)求求 f(x)(3)解不等式解不等式 f(x)0 或或 f(x)0.(4)不等式的解集與定義域取交集不等式的解集

12、與定義域取交集(5)確定并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間確定并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間2關(guān)于函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)注點(diǎn)：關(guān)于函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)注點(diǎn)：(1)已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后，要回代驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值要回代驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義的定義(2)討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即即 f(x)的正負(fù)的正負(fù)(3)求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者，求最小值要在極求最小值要在極小值與端點(diǎn)值中取最小者小值與端點(diǎn)值中取最小者變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練已知函已知函數(shù)數(shù)f(x)x33a

13、x22bx在在x1處有極小值處有極小值1.(1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)求函數(shù) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間2，2上的最大值和最小值上的最大值和最小值解解： (1)f(x)3x26ax2b， 因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x1 處有極小值處有極小值1，所以所以f（1）0，f（1）1，即即36a2b0，13a2b1，解得解得a13，b12.所以所以 f(x)x3x2x，f(x)3x22x1.令令 f(x)0，得得 x1 或或 x13；令令 f(x)0，得得13x1.所以所以 函數(shù)函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是，13 和和(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞減

14、區(qū)間是13，1.(2)由由(1)，當(dāng)當(dāng) x 變化時(shí)變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表所示：的變化情況如下表所示：x22，131313，11(1，2)2f(x)00f(x)1052712由表中數(shù)據(jù)知由表中數(shù)據(jù)知，函數(shù)函數(shù) f(x)在在 x2 處取得最大值處取得最大值 2，在在 x2 處處取得最小值取得最小值10，所以所以 函數(shù)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間2，2上的最大值為上的最大值為 2，最小值為最小值為10.專題專題 3利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問題實(shí)質(zhì)上是利用導(dǎo)數(shù)求解切線問題、單調(diào)性問導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問題實(shí)質(zhì)上是利用導(dǎo)數(shù)求解切線問題、單調(diào)性問題題、 極

15、值問題的逆向思維型問題極值問題的逆向思維型問題， 此類問題主要是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意此類問題主要是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性義及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系極值的關(guān)系，并結(jié)合函數(shù)與方程思想并結(jié)合函數(shù)與方程思想、分分類討論思想等來解答的類討論思想等來解答的例例 3已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)axln x，若若 f(x)1 在區(qū)間在區(qū)間(1，)內(nèi)內(nèi)恒成立恒成立，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍解：解：由已知得由已知得 a1ln xx在區(qū)間在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立設(shè)設(shè) g(x)1ln xx，則則 g(x)ln xx2.因?yàn)橐驗(yàn)?x1，所以所以 g(x)0.所以所以 g(x)1ln

16、 xx在區(qū)間在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞減內(nèi)單調(diào)遞減，所以所以 g(x)g(1)，即即 g(x)1 在區(qū)間在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立故故 a1.歸納升華歸納升華已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍可轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍可轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間不等式在某區(qū)間上恒成立問題上恒成立問題，即即 f(x)0或或 f(x)0恒成立恒成立，用分離參數(shù)求最值或用分離參數(shù)求最值或函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)性質(zhì)求解，注意驗(yàn)證使注意驗(yàn)證使 f(x)0 的參數(shù)是否符合題意的參數(shù)是否符合題意變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)a2ln xx2ax，a0.(1)求求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；(2)求所有的實(shí)數(shù)求

17、所有的實(shí)數(shù) a，使使 e1f(x)e2對對 x1，e恒成立恒成立注：注：e 為自然對數(shù)的底數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)解：解：(1)因因?yàn)闉?f(x)a2ln xx2ax，其中其中 x0，所以所以 f(x)a2x2xa（xa） （2xa）x.由于由于 a0，所以所以 f(x)的遞增區(qū)間為的遞增區(qū)間為(0，a)，遞減區(qū)間為遞減區(qū)間為(a，)(2)由題意得由題意得 f(1)a1e1，即即 ae.由由(1)知知 f(x)在在1，e內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增，要使要使 e1f(x)e2對對 x1，e恒成立恒成立，只要只要f（1）a1e1，f（e）a2e2aee2，解得解得 ae.專題專題 4分類討論思想分類討論思想分

18、類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想， 運(yùn)用分類討論思想運(yùn)用分類討論思想， 必須必須理解為什么分類、如何分類以及最后如何整合理解為什么分類、如何分類以及最后如何整合，只有分類標(biāo)準(zhǔn)明確只有分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分類才能不重不漏分類才能不重不漏本章中求單調(diào)區(qū)間本章中求單調(diào)區(qū)間、 求參數(shù)的取值范圍求參數(shù)的取值范圍、 求極值和最值以及恒成求極值和最值以及恒成立問題立問題，常常用到分類討論思想常常用到分類討論思想例例 4已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ln xx1.(1)試判斷函數(shù)試判斷函數(shù) f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(2)設(shè)設(shè) m0，求求 f(x)在在m，2m上的最上的最大值大值解：解：

19、(1)函數(shù)函數(shù) f(x)的定義域是的定義域是(0，)由已知由已知 f(x)1ln xx2，令令 f(x)0 得得，1ln x0，所以所以 xe.因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) 0 x0，當(dāng)當(dāng) xe 時(shí)時(shí)，f(x)1ln xx20，所以函數(shù)所以函數(shù) f(x)在在(0，e上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增，在在e，)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減(2)由由(1)知函數(shù)知函數(shù) f(x)在在(0， e上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增， 在在 e， )上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減，故故當(dāng)當(dāng) 02me 即即 0me2時(shí)時(shí)，f(x)在在m，2m上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增，所以所以 f(x)maxf(2m)ln 2m2m1.當(dāng)當(dāng) me 時(shí)時(shí)，f(x)在在m，2m上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減，所以所以 f(x)maxf(m)ln mm1.當(dāng)當(dāng) me2m，即即e2me 時(shí)時(shí)，f(x)maxf(e)1e1.所以所以 f(x)在在m，2m上的最大值為上的最大值為f(x)maxln 2m2m1，0me2，1e1，e2me，ln mm1，me.歸納升華歸納升華分類討論的原則和步驟分類討論的原則和步驟1原則：要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)原則：要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)2分類討論的一般步驟：先明確討論對象分類討論的一般步驟：先明確討論對象，確定對象的范圍確定對象的范圍，再確定分類標(biāo)