線性代數(shù)應(yīng)用舉例16816

1、線性代數(shù)應(yīng)用實(shí)例取自線性代數(shù)機(jī)算與應(yīng)用指導(dǎo)（matlab）版2010.12例例 1 平板穩(wěn)態(tài)溫度的計(jì)算平板穩(wěn)態(tài)溫度的計(jì)算為了計(jì)算平板形導(dǎo)熱體的溫度分布，將平板劃分為許多方格，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的穩(wěn)態(tài)溫度將等于其周圍四個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度的平均值。由此可得出階數(shù)與節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的線性方程組，方程的解將取決于平板的邊界條件。 這個(gè)方法可以用來(lái)計(jì)算飛行器的蒙皮溫度等。t1t2t3t44/50304/50104/30204/2010324413412321tttttttttttt8060503041101401104101144321tttt平板溫度計(jì)算的模型整理為a=4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0

2、,4,-1; 0,-1,-1,4;b=30; 50; 60; 80;u=rref(a,b)matlab 程序運(yùn)行結(jié)果為：u = 1.0000 0 0 0 21.2500 0 1.0000 0 0 26.2500 0 0 1.0000 0 28.7500 0 0 0 1.0000 33.7500向高階系統(tǒng)擴(kuò)展則要解 25 階的線性方程組。運(yùn)行書上的程序得溫度分布如下 將平板分割得愈細(xì)，求出的解就愈精確。如果把上述區(qū)域分成 25 個(gè)點(diǎn)如右12233414=100 =72 =37 =9xxxxxxxx例例 2 交通流的建模交通流的建模對(duì)于一個(gè)有雙向車流的十字路口，根據(jù)流出流入車數(shù)相等的規(guī)則，可以列出

3、下列方程組:節(jié)點(diǎn)a：x1360 x2260節(jié)點(diǎn)b：x2220 x3292節(jié)點(diǎn)c：x3320 x4357節(jié)點(diǎn)d：x4260 x1251相應(yīng)的矩陣方程為：a=1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1;b=-100;72;37;-9;u=rref(a,b)142434910937xxxxxxmatlab 程序運(yùn)行結(jié)果為：u = 1 0 0 -1 9 0 1 0 -1 109 0 0 1 -1 37 0 0 0 0 0 由于 u 的最后一行為全零，也就是說(shuō)，四個(gè)方程中實(shí)際上只有三個(gè)獨(dú)立。x4 可以任設(shè)，因?yàn)槿绻幸恍┸囇卮寺房诃h(huán)行，對(duì)方程無(wú)影響，故方程組的解可如上表示.

4、把上述模型擴(kuò)展到多個(gè)十字路，乃至整個(gè)城市，就構(gòu)成高階的線性代數(shù)方程組。例如下面的 6 節(jié)點(diǎn)交通流圖，它就要由 6 個(gè)方程和 7 個(gè)變量來(lái)描述。用行最簡(jiǎn)型方法可以知道，它的解將包括兩個(gè)自由變量。其物理意義類推。向高階系統(tǒng)擴(kuò)展左圖描述了四個(gè)城市之間的航空航線圖，其中1、2、3、4 表示四個(gè)城市；帶箭頭線段表示兩個(gè)城市之間的航線。設(shè)行號(hào)表示起點(diǎn)城市，列號(hào)為到達(dá)城市，則定義鄰接矩陣 a 為：0111001100001100a例例 3 飛機(jī)航線問(wèn)題飛機(jī)航線問(wèn)題轉(zhuǎn)機(jī)航線的數(shù)學(xué)模型不難證明：矩陣 a2=a*a 表示一個(gè)人連續(xù)坐兩次航班可以到達(dá)的城市，矩陣 a3=a*a*a 表示連續(xù)坐三次航班可以到達(dá)的城市：

5、其中，第 i 行描述從城市 i 出發(fā)，可以到達(dá)各個(gè)城市的情況，若能到達(dá)第 j 個(gè)城市，記 a(i,j)=1，否則 a(i,j)=0，規(guī)定 a(i,i)=0 (其中 i=1,2,3,4)。如第 2 行表示：從城市 2出發(fā)可以到達(dá)城市 3 和城市 4 而不能到達(dá)城市 1 和 2。31222012200002211a2444123300003433at2多次轉(zhuǎn)機(jī)到達(dá)的城市分析矩陣 a3 的第二行，可以得出：某人從城市 2 出發(fā)，連續(xù)坐三次航班可以到達(dá)城市 2、3 和城市4，不能到達(dá)城市 1，而到達(dá)城市 3 和城市 4 的方法各有兩種。 不難看出，轉(zhuǎn)機(jī)兩次以下的航線的航路矩陣為at2= a+ a2 +

6、 a3程序?yàn)椋篴=0,1,1,1; 0,0,1,1; 0,0,0,0; 1,1,0,0;at2=a+a2+a3例例 4 行列式的幾何應(yīng)用行列式的幾何應(yīng)用二階行列式的幾何意義是兩個(gè)二維向量構(gòu)成的平行四邊形的面積，三階行列式的幾何意義是三個(gè) 3 維向量構(gòu)成的平行六面體的體積。如下圖所示，用 matlab 軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)面積和體積的運(yùn)算。 由向量 和 所構(gòu)成的平行四邊形的面積為行列式 的絕對(duì)值。計(jì)算的matlab語(yǔ)句為： s=abs(a1*b2-a2*b1)如果給出的是三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)a1,b1， a2,b2，a3,b3，求該三角形面積，則有：matlab寫成s=abs(det(a2-a1,b2-b1

7、; a3-a1,b3-b1)11,a bu22,a bv1122abab212131310.5aa bbsabsaa bb平行四邊形面積計(jì)算 多邊形可以劃分為多個(gè)三角形來(lái)計(jì)算。 先對(duì)三角形面積計(jì)算構(gòu)成一個(gè)函數(shù)程序； 這個(gè)子程序名為：cal_area3(a,b,c) a,b,c為三個(gè)頂點(diǎn)的二維坐標(biāo)向量 凸多邊形面積只需多次調(diào)用這個(gè)函數(shù)程序； 例如五邊形abcde，可由s5= cal_area3(a,b,c)+ cal_area3(a,c,d)+ cal_area3(a,d,e)求得。也可由多邊形面積子程序cal_arean(a)計(jì)算。擴(kuò)展至多邊形面積計(jì)算matlab 程序程序function s

8、=cal_area3(a,b,c)% a,b,c 應(yīng)為同形的 2 維行向量或列向量，% 格式檢驗(yàn)語(yǔ)句略去 ab=b-a; % 計(jì)算向量abac=c-a; % 計(jì)算向量acif size(ab)=1,2 % 判讀向量ab是否為行向量 a=ab;ac; % 構(gòu)造矩陣aelse a=ab,ac;ends=abs(det(a)/2; % 根據(jù)公式計(jì)算三角形面積成藥1號(hào)成藥2號(hào)成藥3號(hào)成藥4號(hào)成藥5號(hào)成藥6號(hào)成藥7號(hào)成藥a10214122038100b1201225356055c531105140d79255154735e012255336f255355355550g94172523925h651610

9、103510i821200620例例 5 藥方配置問(wèn)題藥方配置問(wèn)題 （1）某醫(yī)院要購(gòu)買這 7 種特效藥，但藥廠的第 3號(hào)和第 6 號(hào)特效藥已經(jīng)賣完，請(qǐng)問(wèn)能否用其它特效藥配制出這兩種脫銷的藥品。分析：即 3, 6 向量與其他向量是否線性相關(guān) （2）現(xiàn)在該醫(yī)院想用這 7 種中草藥配制三種新的特效藥，下表為新藥所需的成分質(zhì)量 (單位: 克) 。請(qǐng)問(wèn)如何配制。分析：這是新藥向量與原來(lái)藥向量是否線性相關(guān)的問(wèn) 題。問(wèn)題及分析思路1號(hào)新藥2號(hào)新藥3號(hào)新藥a4016288b6214167c14278d4410251e53607f5015580g7111838h416821i145230新藥的成分要求新藥的成分

10、要求 u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8; u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2; u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12; u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0; u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0; u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6; u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20; u1=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 v1,r=rref(u1)問(wèn)題 (1) 的 matlab 程序運(yùn)行結(jié)果運(yùn)行結(jié)果v1 = 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 0 0 0 0 1 0

11、1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0r = 1 2 4 5 7可見(jiàn)這七種特效藥是“相關(guān)的”, 3、6 兩種藥可用其它 5種藥線性配制出來(lái), 但第1 、2 、 4、5 、7 種藥“無(wú)關(guān)”。因此，8，9 兩種藥可以配出，第 10 種藥則不能配出。v2 = 1 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 1 2 0 0 3 0 3 4 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

12、 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0s = 1 2 4 5 7 10為求第二個(gè)問(wèn)題, 把 3 種新藥與 7 種原藥組成矩陣 u2，求 rref，得：假設(shè)一個(gè)城市的總?cè)丝跀?shù)是固定不變，但人口的分布情況變化如下：每年都有 5 的市區(qū)居民搬到郊區(qū)；而有 15 的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。若開始有 700000 人口居住在市區(qū)，300000 人口居住在郊區(qū)。請(qǐng)分析：（1）10 年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（2）30 年后、50 年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（3）分析（2）中數(shù)據(jù)相似的原因。例例

13、6 人口遷徙問(wèn)題人口遷徙問(wèn)題,nnnxyx110.950.150.050.85nnnnnnxxyyxy1110.950.150.050.85nnnnnnxxyyxax解 這個(gè)問(wèn)題可以用矩陣乘法來(lái)描述。令人口變量其中 xn 為市區(qū)人口所占比例，yn 為郊區(qū)人口所占比例。在 n+1年的人口分布狀態(tài)為：用矩陣乘法可寫成：000700000,300000 xyx2nnn-1n-20x = ax= a x= a xa=0.95,0.15;0.05,0.85;x0=700000;300000;x10=a10*x0 開始市區(qū)和郊區(qū)的人口數(shù)為 可以得到 n 年后市區(qū)和郊區(qū)的人口分布：因此 (1) 10 年后的

14、人口可用程序計(jì)算如下：1010107.44637446301.0005,2.5537255370 xeyx運(yùn)行結(jié)果為：故市區(qū)和郊區(qū)人口數(shù)約為：744630和255370。 kkk-1-1-1-1a = pp ppppp p 00kk-1kx= a x = p p x1122kkk k 無(wú)限增加時(shí)間 n，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向常數(shù)0.75/0.25。為了弄清為什么它趨向于一個(gè)穩(wěn)態(tài)值，需要可以求 ak, 為此可先將 a 對(duì)角化, 然后求其冪。對(duì)角矩陣的冪次可以化為元素的冪次 余下很容易計(jì)算。-1a = pp令其中為對(duì)角矩陣，則有% 分析 n 年后城市人口分布cleara=0.95,0.15; 0

15、.05,0.85;x0=700000; 300000;p,lambda=eig(a);syms n % 定義符號(hào)變量 nxn=p*lamda.n*inv(p)*x0 matlab 程序顯然, 隨 n 增大 (4/5)n 趨近于零, 而 xn 趨于75000050000*4/525000050000*4/5nnxn運(yùn)行結(jié)果為：750000250000 x01234y-270210-75例例 7 多項(xiàng)式插值與擬合多項(xiàng)式插值與擬合234401234( )pxaa xa xa xa x求: (1) 過(guò)這五個(gè)點(diǎn)作一個(gè)四次多項(xiàng)式函數(shù)22012( )pxaa xa x(2) 請(qǐng)根據(jù)這五個(gè)點(diǎn)，擬合一個(gè)二次多項(xiàng)

16、式函數(shù)下表給出了平面坐標(biāo)系中五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。并求 x=5 時(shí)的函數(shù)值 p4(5)。用 matlab 繪制多項(xiàng)式函數(shù) p4(x) 的曲線、已知點(diǎn)及插值點(diǎn) (5, p4(5)。并用 matlab 繪制 p2(x) 的曲線及已知的五個(gè)點(diǎn)。23401234234012342340123423401234234012340000271111022222133330444475aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aa = y234023412342234323442710000011111,21122220133337514444aaaaaaay其中矩陣：解：(1) 根據(jù)已知條件，把五個(gè)點(diǎn)的

17、坐標(biāo)值分別代入四次多項(xiàng)式函數(shù)，可以得到如下線性方程組：系數(shù)矩陣 a 的行列式為范德蒙 (vandermonde) 行列式，且五個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同，則該行列式不等于零，所以方程組有唯一解。 matlab 程序：x=0;1;2;3;4; % 輸入已知點(diǎn)坐標(biāo)y=-27;0;21;0;-75;a=x.0, x.1, x.2, x.3, x.4; % 構(gòu)造 vandermonde 矩陣a=ay; % 得到適定方程組的唯一解 a運(yùn)行程序，得到a(1)=-27, a(2)=12, a(3)=26, a(4)=-12, a(5)= 1.2012201220122012201200271102221330

18、4475aaaaaaaaaaaaaaa aa = y 把五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值分別代入二次多項(xiàng)式函數(shù)，可以得到如下線性方程組：22021222271000111,21122013375144aaaaya其中，(2) 多項(xiàng)式擬合要解一個(gè)超定方程該方程組有三個(gè)未知數(shù)，但有五個(gè)方程，進(jìn)一步分析可以得到該方程組無(wú)解，即不存在一個(gè)二次多項(xiàng)式曲線剛好能過(guò)已知的五個(gè)點(diǎn)。matlab 軟件提供了一個(gè)利用最小二乘法解決超定方程組解的方法。求系數(shù)的公式也是 a = ay，以找到一條二次曲線來(lái)近似地描述已知 5 個(gè)點(diǎn)的變化情況。對(duì)比插值和擬合的曲線如下圖用平面坐標(biāo)系中的一個(gè)閉合圖形來(lái)描述剛體，用一個(gè)矩陣 x 來(lái)表示它。x

19、的一列表示剛體一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。為了使圖形閉合，x 的最后一列和第一列相同；為了實(shí)現(xiàn)剛體的平移運(yùn)算，給矩陣 x 添加元素值都為 1 的一行，使 x 為 3n 矩陣。1210cossin001,sincos0 ,001001cttctt12mry = mxy = rx且，若有矩陣：則可以證明，矩陣 y1 是剛體 x 沿 x 軸正方向平移 c1，沿 y 軸正方向平移 c2 后的結(jié)果；矩陣 y2 是剛體 x 以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) t 弧度的結(jié)果。例例 8 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)x04610853.56.1 6.53.220y014140011664.54.500實(shí) 例用下列數(shù)據(jù)表示字母 a: 對(duì) a 進(jìn)行以下平面運(yùn)動(dòng), 并繪制移動(dòng)前后的圖形。(1) 向上移動(dòng) 15, 向左移動(dòng) 30;(2) 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) /3;(3) 先逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3 /4, 然后向上平移 30, 向右平移 20。04610853.56.16.53.220014140011664.54.500111111111111x解 構(gòu)造剛體矩陣 x，平移矩陣及轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣。m1=100010-30201m2=10001020301r1=3