第五節(jié)曲線的凹凸性拐點與漸近線

1、第五節(jié)第五節(jié) 曲線的凹凸性曲線的凹凸性、拐點與漸近線拐點與漸近線xyobaxyobaxyoba一一.曲線的凹凸性曲線的凹凸性定義定義1 直觀定義直觀定義.注注 (1)凹凹 凸凸 (2)凹也稱上凹、下凸凹也稱上凹、下凸凸也稱上凸、下凹凸也稱上凸、下凹.定義定義2 如果在某個區(qū)間內(nèi)如果在某個區(qū)間內(nèi), 曲線位于其上曲線位于其上任一點切線的上方任一點切線的上方, 則稱該曲線在則稱該曲線在這個區(qū)間內(nèi)是凹曲線這個區(qū)間內(nèi)是凹曲線;如果在某個區(qū)間內(nèi)如果在某個區(qū)間內(nèi), 曲線位于其上曲線位于其上任一點切線的下方任一點切線的下方,則稱該曲線在則稱該曲線在這個區(qū)間內(nèi)是凸曲線這個區(qū)間內(nèi)是凸曲線;xoyabxoyab1x

2、1x2x2x2)()()2(2121xfxfxxf 2)()()2(2121xfxfxxf 221xx 221xx 定義定義3 如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點21, xx有有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱曲線為凹曲線則稱曲線為凹曲線;,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱曲線為凸曲線則稱曲線為凸曲線.如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點21, xx有有如果如果)(xf函數(shù)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導,則曲線則曲線)(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)凹內(nèi)凹(凸凸)導函數(shù)導函數(shù))(xf 在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加(減少減少).證證

3、條件條件:)(xf ,結(jié)論結(jié)論:曲線曲線)(xf) 曲線曲線:)(xfy 曲線上任一點曲線上任一點0 x處的切線處的切線:)()(000 xxxfxfy 即即)()(000 xxxfxfy 只需證只需證)()()(000 xxxfxfxf ()(0 xx )(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加, 對對),(bax 只需證只需證)()()(000 xxxfxfxf 設設)()()(000 xxxfxfxf )()()(000 xxxfxfxf )()(000 xxxfxxf 0 xxab )()(00 xxxff 0 所以所以)()()(000 xxxfxfxf 故曲線為凹曲線故曲線為凹曲線.)(0 xx

4、(條件條件:曲線曲線)(xf 結(jié)論結(jié)論:)(xf, )設設21xx 是是),(ba內(nèi)任意兩點內(nèi)任意兩點曲線上過曲線上過1x處的切線處的切線:)()(111xxxfxfy 曲線上過曲線上過2x處的切線處的切線:)()(222xxxfxfy )(xf,因曲線因曲線)()()(111xxxfxfxf 故故 )()()(222xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf )()()(21221xxxfxfxf 從而從而)1()()()(12112xxxfxfxf )2()()()(21221xxxfxfxf 從而從而(1)式與式與(2)式相加得式相加得0)()(1212 xxxfxf故故)

5、()(12xfxf 從而從而)(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加.設設)(xf函數(shù)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)有內(nèi)有二階導數(shù)二階導數(shù),那么那么如果如果),(bax 時時, 恒有恒有, 0)( xf則曲線則曲線)(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)是凹曲線內(nèi)是凹曲線;如果如果),(bax 時時, 恒有恒有, 0)( xf則曲線則曲線)(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)是凸曲線內(nèi)是凸曲線.例例1討論曲線討論曲線12)(34 xxxf的凹凸性的凹凸性.解解2364)(xxxf )(xf的定義域為的定義域為),(令令)1(12)( xxxf0)( xf得得1, 0 xxx)(xf )(xf)0 ,()1 , 0(), 1

6、( 補充補充:07年考研真題年考研真題10分分設函數(shù)設函數(shù)( )yy x 由方程由方程ln0yyxy確定確定,試判斷曲線試判斷曲線( )yy x 在點在點(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.解解ln210yyy1ln2yy ( )yy x 在點在點(1,1)附近是凸的附近是凸的.21(ln2)yyyy 31(ln2)yy 0 利用凹凸性證明不等式利用凹凸性證明不等式例例2試證明試證明 x0時時,有有.2sin xx (99年考題年考題)證明證明 xxxf 2sin)( 12cos21)( xxf2sin41)(xxf 0 所以曲線是凸的所以曲線是凸的又又0)0( f0)( f故故 x0時時 x

7、xxf 2sin)(0 即即.2sin xx 定義定義 曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點.如果如果)(,(00 xfxp為曲線為曲線)(xf的拐點的拐點,則必有則必有0)(0 xf或或)(0 xf 不存在不存在.0)( xf)(xf 不存在不存在注注 (1)一般來說圈中的點為一般來說圈中的點為有限多個有限多個.(2)拐點是曲線上的點拐點是曲線上的點,表表示拐點要用兩個坐標示拐點要用兩個坐標.二二.曲線的拐點曲線的拐點例例3 討論曲線討論曲線12)(34 xxxf拐點拐點.解解2364)(xxxf )(xf的定義域為的定義域為),(令令)1(12)( xxxf0)

8、( xf得得1, 0 xxx)(xf )(xf)0 ,(0)1 , 0(), 1( 1 00 )1 , 0()0 , 1(拐點拐點拐點拐點例例4討論曲線討論曲線35)1()(xxxf 的凹凸性與拐點的凹凸性與拐點解解)(xf的定義域為的定義域為),(令令310 41( )9xfxx 0)( xf得得41 xx)(xf )(xf)0 ,( 0)41,0(),41( 41 不不存存在在0 )0 , 0()16163,41(3 32353538)(xxxf 另另)0(f 不存在不存在三三.曲線的漸近線曲線的漸近線定義定義如果曲線上的動點如果曲線上的動點p沿著曲線無限沿著曲線無限地遠離原點時地遠離原點

9、時,點點p與某一固定直線與某一固定直線的距離趨于零的距離趨于零,則稱該直線為曲線的則稱該直線為曲線的漸近線漸近線.1.水平漸近線水平漸近線2.垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線3.斜漸近線斜漸近線漸近線漸近線1.水平漸近線水平漸近線xoybxpby 是水平漸近線是水平漸近線0)(lim bxfxbxfx )(lim0)(lim bxfx或或或或bxfx )(lim例例5 求曲線求曲線xy1 的水平漸近線的水平漸近線.解解 因因01lim xx水平漸近線為水平漸近線為. 0 y)(xfy 2.垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線xoyxpccx 是鉛垂?jié)u近線是鉛垂?jié)u近線 )(l

10、imxfcx或或 )(limxfcxc是是)(xf的間斷點的間斷點例例4 求曲線求曲線xy1 的鉛垂?jié)u近線的鉛垂?jié)u近線.解解 因因 xx1lim0鉛垂?jié)u近線為鉛垂?jié)u近線為. 0 x0是是)(xf的間斷點的間斷點, 且且 xx1lim0 )()()(xfy 3.斜漸近線斜漸近線xoyxpbaxy baxy 是斜漸近線是斜漸近線0)(lim axxfx或或baxxfx )(lim 0)(lim axxfxbaxxfx )(lim lim ( )()0(0)xf xaxba或或lim ( )()0(0)xf xaxba)(xfy 設設lim ( )()0(0)xf xaxba又又01lim xx故故

11、0)()(1lim baxxfxx從而從而0)(lim axxfxbaxxfx )(lim 若若0)(lim axxfxbaxxfx )(lim 則則lim ( )()0(0)xf xaxba討論討論例例6 求曲線求曲線122 xxy的斜漸近線的斜漸近線.解解 xxfx)(lim021 21)(limxxfx41 4121 xy是斜漸近線是斜漸近線. 12limxxx)12(2lim xxxby 是水平漸近線是水平漸近線bxfx )(lim或或bxfx )(limcx 是鉛垂?jié)u近線是鉛垂?jié)u近線 )(limxfcx或或 )(limxfcxc是是)(xf的間斷點的間斷點)()()0)(lim axxfx或或baxxfx )(lim 0)(lim axxfxbaxxfx )(lim baxy 是斜漸近線是斜漸近線漸近線總結(jié)漸近線總結(jié):練習練習 求曲線求曲線xexy11)1( 的漸近線的漸近線.解解 xxxexxf11)1(lim)(lim 故無水平漸近線故無水平漸近線. xxxexxf1100)1 (lim)(lim0 xxxexxf1100)1 (lim)(lim (1)(2)故有垂直漸近線故有垂直漸近線. 0 x xxfx)(lim0 e)(