第五節(jié)曲線的凹凸性拐點(diǎn)與漸近線

1、第五節(jié)第五節(jié) 曲線的凹凸性曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線拐點(diǎn)與漸近線xyobaxyobaxyoba一一.曲線的凹凸性曲線的凹凸性定義定義1 直觀定義直觀定義.注注 (1)凹凹 凸凸 (2)凹也稱上凹、下凸凹也稱上凹、下凸凸也稱上凸、下凹凸也稱上凸、下凹.定義定義2 如果在某個區(qū)間內(nèi)如果在某個區(qū)間內(nèi), 曲線位于其上曲線位于其上任一點(diǎn)切線的上方任一點(diǎn)切線的上方, 則稱該曲線在則稱該曲線在這個區(qū)間內(nèi)是凹曲線這個區(qū)間內(nèi)是凹曲線;如果在某個區(qū)間內(nèi)如果在某個區(qū)間內(nèi), 曲線位于其上曲線位于其上任一點(diǎn)切線的下方任一點(diǎn)切線的下方,則稱該曲線在則稱該曲線在這個區(qū)間內(nèi)是凸曲線這個區(qū)間內(nèi)是凸曲線;xoyabxoyab1x

2、1x2x2x2)()()2(2121xfxfxxf 2)()()2(2121xfxfxxf 221xx 221xx 定義定義3 如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)21, xx有有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱曲線為凹曲線則稱曲線為凹曲線;,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱曲線為凸曲線則稱曲線為凸曲線.如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)21, xx有有如果如果)(xf函數(shù)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),則曲線則曲線)(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)凹內(nèi)凹(凸凸)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù))(xf 在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加(減少減少).證證

3、條件條件:)(xf ,結(jié)論結(jié)論:曲線曲線)(xf) 曲線曲線:)(xfy 曲線上任一點(diǎn)曲線上任一點(diǎn)0 x處的切線處的切線:)()(000 xxxfxfy 即即)()(000 xxxfxfy 只需證只需證)()()(000 xxxfxfxf ()(0 xx )(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加, 對對),(bax 只需證只需證)()()(000 xxxfxfxf 設(shè)設(shè))()()(000 xxxfxfxf )()()(000 xxxfxfxf )()(000 xxxfxxf 0 xxab )()(00 xxxff 0 所以所以)()()(000 xxxfxfxf 故曲線為凹曲線故曲線為凹曲線.)(0 xx

4、(條件條件:曲線曲線)(xf 結(jié)論結(jié)論:)(xf, )設(shè)設(shè)21xx 是是),(ba內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)曲線上過曲線上過1x處的切線處的切線:)()(111xxxfxfy 曲線上過曲線上過2x處的切線處的切線:)()(222xxxfxfy )(xf,因曲線因曲線)()()(111xxxfxfxf 故故 )()()(222xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf )()()(21221xxxfxfxf 從而從而)1()()()(12112xxxfxfxf )2()()()(21221xxxfxfxf 從而從而(1)式與式與(2)式相加得式相加得0)()(1212 xxxfxf故故)

5、()(12xfxf 從而從而)(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加.設(shè)設(shè))(xf函數(shù)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)有內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù),那么那么如果如果),(bax 時時, 恒有恒有, 0)( xf則曲線則曲線)(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)是凹曲線內(nèi)是凹曲線;如果如果),(bax 時時, 恒有恒有, 0)( xf則曲線則曲線)(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)是凸曲線內(nèi)是凸曲線.例例1討論曲線討論曲線12)(34 xxxf的凹凸性的凹凸性.解解2364)(xxxf )(xf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,(令令)1(12)( xxxf0)( xf得得1, 0 xxx)(xf )(xf)0 ,()1 , 0(), 1

6、( 補(bǔ)充補(bǔ)充:07年考研真題年考研真題10分分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )yy x 由方程由方程ln0yyxy確定確定,試判斷曲線試判斷曲線( )yy x 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.解解ln210yyy1ln2yy ( )yy x 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)附近是凸的附近是凸的.21(ln2)yyyy 31(ln2)yy 0 利用凹凸性證明不等式利用凹凸性證明不等式例例2試證明試證明 x0時時,有有.2sin xx (99年考題年考題)證明證明 xxxf 2sin)( 12cos21)( xxf2sin41)(xxf 0 所以曲線是凸的所以曲線是凸的又又0)0( f0)( f故故 x0時時 x

7、xxf 2sin)(0 即即.2sin xx 定義定義 曲線凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)曲線凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).如果如果)(,(00 xfxp為曲線為曲線)(xf的拐點(diǎn)的拐點(diǎn),則必有則必有0)(0 xf或或)(0 xf 不存在不存在.0)( xf)(xf 不存在不存在注注 (1)一般來說圈中的點(diǎn)為一般來說圈中的點(diǎn)為有限多個有限多個.(2)拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn),表表示拐點(diǎn)要用兩個坐標(biāo)示拐點(diǎn)要用兩個坐標(biāo).二二.曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn)例例3 討論曲線討論曲線12)(34 xxxf拐點(diǎn)拐點(diǎn).解解2364)(xxxf )(xf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,(令令)1(12)( xxxf0)

8、( xf得得1, 0 xxx)(xf )(xf)0 ,(0)1 , 0(), 1( 1 00 )1 , 0()0 , 1(拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)例例4討論曲線討論曲線35)1()(xxxf 的凹凸性與拐點(diǎn)的凹凸性與拐點(diǎn)解解)(xf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,(令令310 41( )9xfxx 0)( xf得得41 xx)(xf )(xf)0 ,( 0)41,0(),41( 41 不不存存在在0 )0 , 0()16163,41(3 32353538)(xxxf 另另)0(f 不存在不存在三三.曲線的漸近線曲線的漸近線定義定義如果曲線上的動點(diǎn)如果曲線上的動點(diǎn)p沿著曲線無限沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時地遠(yuǎn)離原點(diǎn)

9、時,點(diǎn)點(diǎn)p與某一固定直線與某一固定直線的距離趨于零的距離趨于零,則稱該直線為曲線的則稱該直線為曲線的漸近線漸近線.1.水平漸近線水平漸近線2.垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線3.斜漸近線斜漸近線漸近線漸近線1.水平漸近線水平漸近線xoybxpby 是水平漸近線是水平漸近線0)(lim bxfxbxfx )(lim0)(lim bxfx或或或或bxfx )(lim例例5 求曲線求曲線xy1 的水平漸近線的水平漸近線.解解 因因01lim xx水平漸近線為水平漸近線為. 0 y)(xfy 2.垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線xoyxpccx 是鉛垂?jié)u近線是鉛垂?jié)u近線 )(l

10、imxfcx或或 )(limxfcxc是是)(xf的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)例例4 求曲線求曲線xy1 的鉛垂?jié)u近線的鉛垂?jié)u近線.解解 因因 xx1lim0鉛垂?jié)u近線為鉛垂?jié)u近線為. 0 x0是是)(xf的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn), 且且 xx1lim0 )()()(xfy 3.斜漸近線斜漸近線xoyxpbaxy baxy 是斜漸近線是斜漸近線0)(lim axxfx或或baxxfx )(lim 0)(lim axxfxbaxxfx )(lim lim ( )()0(0)xf xaxba或或lim ( )()0(0)xf xaxba)(xfy 設(shè)設(shè)lim ( )()0(0)xf xaxba又又01lim xx故故

11、0)()(1lim baxxfxx從而從而0)(lim axxfxbaxxfx )(lim 若若0)(lim axxfxbaxxfx )(lim 則則lim ( )()0(0)xf xaxba討論討論例例6 求曲線求曲線122 xxy的斜漸近線的斜漸近線.解解 xxfx)(lim021 21)(limxxfx41 4121 xy是斜漸近線是斜漸近線. 12limxxx)12(2lim xxxby 是水平漸近線是水平漸近線bxfx )(lim或或bxfx )(limcx 是鉛垂?jié)u近線是鉛垂?jié)u近線 )(limxfcx或或 )(limxfcxc是是)(xf的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn))()()0)(lim axxfx或或baxxfx )(lim 0)(lim axxfxbaxxfx )(lim baxy 是斜漸近線是斜漸近線漸近線總結(jié)漸近線總結(jié):練習(xí)練習(xí) 求曲線求曲線xexy11)1( 的漸近線的漸近線.解解 xxxexxf11)1(lim)(lim 故無水平漸近線故無水平漸近線. xxxexxf1100)1 (lim)(lim0 xxxexxf1100)1 (lim)(lim (1)(2)故有垂直漸近線故有垂直漸近線. 0 x xxfx)(lim0 e)(