高中數(shù)學(xué)人教版選修11習(xí)題：第二章2.32.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) Word版含答案

1、起第二章圓錐曲線與方程2.32.3拋物線拋物線2.3.22.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)a a 級(jí)級(jí)基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固一、選擇題一、選擇題1 1已知拋物線的對(duì)稱軸為已知拋物線的對(duì)稱軸為x x軸軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線焦點(diǎn)在直線 2 2x x4 4y y11110 0 上上，則此拋物則此拋物線的方程是線的方程是( () )a ay y2 21111x xb by y2 21111x xc cy y2 22222x xd dy y2 22222x x解析：令解析：令y y0 0 得得x x11112 2，所以所以 拋物線的焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)為f f11112 2，0 0

2、，即即p p2 211112 2，所以所以p p1111，所以所以 拋物線的方程是拋物線的方程是y y2 22222x x. .答案：答案：c c2 2過(guò)拋物線過(guò)拋物線y y2 28 8x x的焦點(diǎn)作傾斜角為的焦點(diǎn)作傾斜角為 4545的直線的直線，則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為( () )a a8 8b b1616c c3232d d6464解析：由題可知拋物線解析：由題可知拋物線y y2 28 8x x的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為(2(2，0 0) )，直線的方程為直線的方程為y yx x2 2，代入代入y y2 28 8x x，得得( (x x2)2)2 28 8x x，即即x x2 2

3、1212x x4 40 0，所以所以x x1 1x x2 21212，弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)x x1 1x x2 2p p12124 416.16.答案：答案：b b3 3已知拋物線已知拋物線y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為f f，點(diǎn)點(diǎn)p p1 1( (x x1 1，y y1 1) )，p p2 2( (x x2 2，y y2 2) )，p p3 3( (x x3 3，y y3 3) )在拋物線在拋物線上上，且且 2 2x x2 2x x1 1x x3 3，則有則有( () )a a| |fpfp1 1| | |fpfp2 2| | |fpfp3 3| |b b| |fpfp1

4、 1| |2 2| |fpfp2 2| |2 2| |fpfp3 3| |2 2c c| |fpfp1 1| | |fpfp3 3| |2|2|fpfp2 2| |d d| |fpfp1 1| | |fpfp3 3| | |fpfp2 2| |2 2解析：由焦半徑公式解析：由焦半徑公式，知知| |fpfp1 1| |x x1 1p p2 2，| |fpfp2 2| |x x2 2p p2 2，| |fpfp3 3| |x x3 3p p2 2. .因?yàn)橐驗(yàn)?2 2x x2 2x x1 1x x3 3，所以所以 2 2x x2 2p p2 2 x x1 1p p2 2 x x3 3p p2 2

5、，即即 2|2|fpfp2 2| | |fpfp1 1| | |fpfp3 3|.|.答案：答案：c c4 4過(guò)拋物線過(guò)拋物線y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦點(diǎn)作一條直線交拋物線于點(diǎn)的焦點(diǎn)作一條直線交拋物線于點(diǎn)a a( (x x1 1，y y1 1) )，b b( (x x2 2，y y2 2) )，則則y y1 1y y2 2x x1 1x x2 2的值為的值為( () )a a4 4b b4 4c cp p2 2d dp p2 2解析：法一解析：法一( (特例法特例法) )：當(dāng)直線垂直于：當(dāng)直線垂直于x x軸時(shí)軸時(shí)，a ap p2 2，p p，b bp p2 2，p p，

6、則則y y1 1y y2 2x x1 1x x2 2p p2 2p p2 24 44.4.法二法二：由焦點(diǎn)弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立由焦點(diǎn)弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得可得y y1 1y y2 2p p2 2，則則y y1 1y y2 2x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2y y2 21 12 2p py y2 22 22 2p p4 4p p2 2y y1 1y y2 24 4p p2 2p p2 24.4.答案：答案：b b5 5過(guò)拋物線過(guò)拋物線y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)f f的直線與拋物線交于的直線與拋物線交于a a、b b兩點(diǎn)兩點(diǎn)，

7、若若a a、b b在準(zhǔn)線上在準(zhǔn)線上的射影為的射影為a a1 1、b b1 1，則則a a1 1fbfb1 1等等于于( () )a a9090b b4545c c6060d d120120解析：如圖解析：如圖，由拋物線定義知由拋物線定義知| |aaaa1 1| | |afaf| |，| |bbbb1 1| | |bfbf| |，所以所以aaaa1 1f fafaafa1 1，又又aaaa1 1f fa a1 1fofo，所以所以 afaafa1 1a a1 1fofo，同理同理bfbbfb1 1b b1 1fofo，于是于是afaafa1 1bfbbfb1 1a a1 1fofob b1 1f

8、ofoa a1 1fbfb1 1. .故故a a1 1fbfb1 19090. .答案：答案：a a二、填空題二、填空題6 6 拋物線拋物線y y2 24 4x x的弦的弦abab垂直于垂直于x x軸軸， 若若| |abab| |4 4 3 3， 則焦點(diǎn)到弦則焦點(diǎn)到弦abab的距離為的距離為_解析解析：由題意我們不妨設(shè)由題意我們不妨設(shè)a a( (x x，2 2 3 3) )，則則( (2 2 3 3) )2 24 4x x，所以所以x x3 3，所以直線所以直線abab的方程的方程為為x x3 3，又拋物線的焦點(diǎn)為又拋物線的焦點(diǎn)為(1(1，0 0) )，所以焦點(diǎn)到弦所以焦點(diǎn)到弦abab的距離為

9、的距離為 2.2.答案：答案：2 27 7 拋物線拋物線y y2 24 4x x與直線與直線 2 2x xy y4 40 0 交于兩點(diǎn)交于兩點(diǎn)a a與與b b，f f為拋物線的焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)， 則則| |fafa| | |fbfb| |_解析：設(shè)解析：設(shè)a a( (x x1 1，y y1 1) )，b b( (x x2 2，y y2 2) )，則則| |fafa| | |fbfb| |x x1 1x x2 22.2.又又y y2 24 4x x，2 2x xy y4 40 0，x x2 25 5x x4 40 0，所以所以x x1 1x x2 25 5，| |fafa| | |fbfb|

10、|x x1 1x x2 22 27.7.答案：答案：7 78 8在拋物線在拋物線y y2 21616x x內(nèi)內(nèi)，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)(2(2，1 1) )且被此點(diǎn)平分的弦且被此點(diǎn)平分的弦abab所在直線的方程是所在直線的方程是_解析解析：顯然斜率不存在時(shí)的直線不符合題意顯然斜率不存在時(shí)的直線不符合題意設(shè)直線斜率為設(shè)直線斜率為k k，則直線則直線方程為方程為y y1 1k k( (x x2)2)，由由y y1 1k k（x x2 2） ，y y2 21616x x，消去消去x x得得kyky2 21616y y16(116(12 2k k) )0 0，所以所以y y1 1y y2 21616k k2(2(y

11、 y1 1，y y2 2分別是分別是a a，b b的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo)) )，所以所以k k8.8.代入代入得得y y8 8x x15.15.答案：答案：y y8 8x x1515三、解答題三、解答題9 9已知過(guò)拋物線已知過(guò)拋物線y y2 24 4x x的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)f f的弦長(zhǎng)為的弦長(zhǎng)為 3636，求弦所在的直線方程求弦所在的直線方程解：因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為解：因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為 3636，所以所以 弦所在的直線的斜率存在且不為零弦所在的直線的斜率存在且不為零故可設(shè)弦所在直線的斜率為故可設(shè)弦所在直線的斜率為k k，且與拋物線交且與拋物線交于于a a( (x x1 1，y y1 1) )、b b( (

12、x x2 2，y y2 2) )兩點(diǎn)兩點(diǎn)因?yàn)閽佄锞€因?yàn)閽佄锞€y y2 24 4x x的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為f f(1(1，0 0) )所以所以 直線的方程為直線的方程為y yk k( (x x1)1)由由y yk k（x x1 1） ，y y2 24 4x x，整理得整理得k k2 2x x2 2(2(2k k2 24)4)x xk k2 20(0(k k0)0)所以所以x x1 1x x2 22 2k k2 24 4k k2 2. .所以所以 | |abab| | |afaf| | |bfbf| |x x1 1x x2 22 22 2k k2 24 4k k2 22.2.又又| |abab| |3

13、636，所以所以2 2k k2 24 4k k2 22 23636，所以所以k k2 24 4. .所以所以 所求直線方程為所求直線方程為y y2 24 4( (x x1)1)或或y y2 24 4( (x x1)1)1010正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y y2 22 2pxpx( (p p0)0)上上，求這求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)解解：如圖所示如圖所示：設(shè)正三角形設(shè)正三角形oaboab的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)a a，b b在拋物線上在拋物線上，且坐標(biāo)分別為且坐標(biāo)分別為a a( (x x1 1，y y1 1) )，b b

14、( (x x2 2，y y2 2) )，則則y y2 21 12 2pxpx1 1，y y2 22 22 2pxpx2 2. .又因?yàn)橛忠驗(yàn)閨 |oaoa| | |obob| |，所以所以x x2 21 1y y2 21 1x x2 22 2y y2 22 2，即即x x2 21 1x x2 22 22 2pxpx1 12 2pxpx2 20 0，整理得整理得( (x x1 1x x2 2)()(x x1 1x x2 22 2p p) )0.0.因?yàn)橐驗(yàn)閤 x1 10 0，x x2 20 0，2 2p p0 0，所以所以x x1 1x x2 2，由此可得由此可得| |y y1 1| | |y

15、y2 2| |，即點(diǎn)即點(diǎn)a a，b b關(guān)于關(guān)于x x軸對(duì)稱軸對(duì)稱由此得由此得aoxaox3030，所以所以y y1 13 33 3x x1 1，與與y y2 21 12 2pxpx1 1聯(lián)立聯(lián)立，解得解得y y1 12 2 3 3p p. .所以所以 | |abab| |2 2y y1 14 4 3 3p p. .b b 級(jí)級(jí)能力提升能力提升1 1在同一平面直線坐標(biāo)系中在同一平面直線坐標(biāo)系中，方程方程a a2 2x x2 2b b2 2y y2 21 1 與與axaxbyby2 20(0(a ab b0)0)的曲線大致為的曲線大致為( () )解析解析： 將方程將方程a a2 2x x2 2b

16、 b2 2y y2 21 1 與與axaxbyby2 20 0 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為x x2 21 1a a2 2y y2 21 1b b2 21 1 與與y y2 2a ab bx x. .因?yàn)橐驗(yàn)閍 ab b0 0， 所所以以1 1b b1 1a a0 0，所以橢圓的焦點(diǎn)在所以橢圓的焦點(diǎn)在y y軸上軸上，拋物線的焦點(diǎn)在拋物線的焦點(diǎn)在x x軸上軸上，且開口向左且開口向左答案：答案：d d2 2設(shè)設(shè)a a，b b是拋物線是拋物線x x2 24 4y y上兩點(diǎn)上兩點(diǎn)，o o為原點(diǎn)為原點(diǎn)，若若| |oaoa| | |obob| |，且且aobaob的面積為的面積為 1616，則則aobaob等于等于_解析

17、：由解析：由| |oaoa| | |obob| |，知拋物線上點(diǎn)知拋物線上點(diǎn)a a，b b關(guān)于關(guān)于y y軸對(duì)稱軸對(duì)稱設(shè)設(shè)a aa a，a a2 24 4 ，b ba a，a a2 24 4 ，a a0 0，s saobaob1 12 22 2a aa a2 24 41616，解得解得a a4.4.所以所以 aobaob為等腰直為等腰直角三角形角三角形，aobaob9090. .答案：答案：90903 3已知過(guò)拋物線已知過(guò)拋物線y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)，斜率為斜率為 2 2 2 2 的直線交拋物線于的直線交拋物線于a a( (x x1 1，y y1 1) )，b

18、 b( (x x2 2，y y2 2)()(x x1 1 x x2 2) )兩點(diǎn)兩點(diǎn)，且且| |abab| |9.9.(1)(1)求該拋物線的方程；求該拋物線的方程；(2)(2)o o為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，c c為拋物線上一點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若若o oc coaoaobob，求求的值的值解：解：(1)(1)直線直線abab的方程是的方程是y y2 2 2 2x xp p2 2 ，與與y y2 22 2pxpx聯(lián)立聯(lián)立，消去消去y y得得 4 4x x2 25 5pxpxp p2 20 0，所以所以x x1 1x x2 25 5p p4 4. .由拋物線的定義得由拋物線的定義得| |abab| |x x1 1x x2 2p p5 5p p4 4p p9 9，所以所以p p4 4，從而拋物線方程是從而拋物線方程是y y2 28 8x x. .(2)(2)由于由于p p4 4，所以所以 4 4x x2 25 5pxpxp p2 20 0 即為即為x x2 25 5x x4 40 0，從