高一數(shù)學(xué)典型例題分析：數(shù)列的求和(3)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因?yàn)樵谒鼉?nèi)部蘊(yùn)含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時(shí)間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。泰戈?duì)枌ｎ}研究：數(shù)列的求和·例題解析【例 1】求下列數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Sn：(1)11 ， 21 ， 31 ， ( n1n ) ，；248212121212(2)32，34，56，2 n 12 n，；3333333(3)1，1，11， 111，121241242n1解 (1)S n111(n1= 1232n )248= (1 211113 n) (482n )211n(n +1)2(12n )=211 n(n 1)21= 122n(2

2、)S n=121212332333432 n132 n11+1222= ( +33 + 32n-1) + (2 +34 +32n )331121= 3(132 n )32 (132 n )11113232518(132 n )(3) 先對(duì)通項(xiàng)求和an = 1111212 42n 12 n 1 Sn= (2 2 2) (111+ +12+n-1 )42學(xué)習(xí)必備歡迎下載111= 2n (12 + 4 + + 2 n-1 )1= 2n 2 2 n 1【例 2】求和：(1)1+1+1+ 1·2·3·n(n1)123 4(2)1111·5·7·

3、9(2n1)(2n3)135(3)11112·55·88·(3n1)( 3n2)11解 (1)111n(n + 1)nn1 Sn(11)(11)(11)(11 )122334nn111n1nn1(2)1111)(2n1)(2n + 3)4(12n2n3 Sn =11111111537592n341112n12n12n31 1111=32n1 2n43n( 4n5)3(2n1)( 2n3)(3)1111)(3n1)(3n + 2)3(13n3n21111111) 11 Sn = () () (11(13n)3255883n2=111)(3n322n6n4學(xué)習(xí)必備歡迎

4、下載【例 3】求下面數(shù)列的前n 項(xiàng)和：1111 1， a 4， a2 7， an 1 (3n 2) ，分析 將數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)組成以1 為公比的等a比數(shù)列，另一個(gè)數(shù)組成以3n2 為通項(xiàng)的等差數(shù)列，分別求和后再合并解 設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為 an，前 n 項(xiàng)和為 Sn則 an =1 (3n2)n 1a111 Sn= (1aa2an1 ) 1 4 7 (3n 2)1(3n2) · n3n2n當(dāng) a = 1時(shí)， Sn = n2211(13n2)nan1(3n1) n當(dāng) a 1時(shí)， Sn =an112anan 12a說明等比數(shù)列的求和問題，分q=1 與 q 1 兩種情況討論【例 4】

5、設(shè) ak =12 22 k 2(k N*) ，則數(shù)列3，5 ，7 ，a1a2a3的前 n 項(xiàng)之和是6nB3nC6(n 1)D 6( n1)A1n1nn2n解 設(shè)數(shù)列3 ， 5， 7，的通項(xiàng)為 bn a1a2a32n1則 bn =an又 a n= 12 22 n2=1n(n 1)(2n 1)6 bn=611)n(n + 1)= 6(nn + 1數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和 Sn=b1 b2 bn學(xué)習(xí)必備歡迎下載1111111= 6(1) (2n)23n3n 11)= 6(1n 1= 6n 選 (A) n + 1【例 5】求在區(qū)間 a， b(b a， a， b N) 上分母是 3 的不可約分?jǐn)?shù)之和

6、解法一 區(qū)間 a， b上分母為 3的所有分?jǐn)?shù)是3a ， 3a1 ， 3a2 ，333 ， 3a4 ， 3a5 ， ， ， 3b2 ， 3b1， 3b 它是以a 13a 2b 133333a 為首項(xiàng)，以 1 為公差的等差數(shù)列331項(xiàng)數(shù)為 3b 3a 1，其和 S =(3b 3a 1)(a b)其中，可約分?jǐn)?shù)是a，a 1， a 2， b1其和 S =(b a 1)(a b)故不可約分?jǐn)?shù)之和為1S S =(a b)(3b 3a 1) (b a1)2=b2 a2解法二 S = 3a +1 + 3a + 2 + 3a + 4 + 3a + 5 + + 3b2 + 3b1333333 S=(a 1 )(a

7、 2 ) (a 4 ) (a 5 ) (b 2 )(b 1 )333333而又有1(b 2)(b 4)(b 5) 2)S=(b)333(a331)(a3兩式相加： 2S=(a b) (a b) (a b)其個(gè)數(shù)為以3 為分母的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)減去可約分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)即 3(b a) 1 (b a1)=2(b a) 2S=2(b a)(a b) S=b2a2【例 6】求下列數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Sn：(1)a， 2a2， 3a3， nan， (a 0、 1)；學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2)1， 4，9， n2，；(3)1， 3x， 5x2， (2n 1)x n-1， (x 1)(4)1 ， 2， 3，nn ，2482解 (

8、1)Sn=a 2a23a3 nan a 0 aSn=a22a3 3a4 (n 1)annan+1Sn aSn=aa2 a3 an nan+1 a 1 ()a(1an )n 11a Sn1anaSna(1an )nan 1(1a)21a(2)Sn=1 4 9 n2 (a 1)3 a3=3a2 3a 1 23 13=3× 12 3× 1 1 33 23=3×22 3× 2143 33=3×32 3× 31n3 (n 1)3=3(n 1)23(n 1) 1(n 1)3n3=3n 23n 1把上列幾個(gè)等式的左右兩邊分別相加，得(n 1)313

9、=3(1 2 22 n2)3(1 2 n) n= 3(12 22 32 n2 ) 3n(n1) n2 12 22 32 n2學(xué)習(xí)必備歡迎下載=1(n 1) 3 1 3n(n1) n32=1n 3 3n 2 3n 3n(n1) n32=1n(2n 2 3n 1)6=1n(n 1)(2n 1)6(3) Sn=1 3x 5x2 7x3 (2n1)x n-1 xSn=x 3x2 5x3 (2n3)x n-1 (2n 1)x n兩式相減，得(1 x)Sn=1 2x(1 x x2 xn-2) (2n 1)xn= 1 (2n1)x n 2x(x n11)x1(2n1)x n+1(2n1) x n(1x)=1

10、x Sn(2n1)x n+1(2n 1) x n(1x)=(1x)2(4) Sn123n=22232n21123n2 Sn22232 42 n 1兩式相減，得11111n2 Sn2 22232n2 n 1112(12n )n112 n1211n2n2 n 1 Sn= 21n2n12n說明求形如 a n·bn 的數(shù)列的前n 項(xiàng)和， 若其中 a n 成等差數(shù)列， b n 成等比數(shù)列，則可采用推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法，即錯(cuò)位相減法，此方法體現(xiàn)了化學(xué)習(xí)必備歡迎下載歸思想【例 7】 設(shè)等差數(shù)列 a n 的前 n項(xiàng)和為 Snan1 2，且 Sn = ()2n N* ，若 b=( 1)n

11、3;S ，求數(shù)列 b 的前 n項(xiàng)和 Tnnnn分析 求 b 的前 n 項(xiàng)和，應(yīng)從通項(xiàng) bn入手，關(guān)鍵在于求 a 的前 n 項(xiàng)和 S ，nnn而由已知只需求 a 的通項(xiàng) a 即可nn解法一 a n 是等差數(shù)列， Sn= ( an 1) 22a11 2解得 a1 = 1當(dāng) n = 1時(shí)， a1 = ()2當(dāng) n = 2時(shí)， a1 a2a212解得 a2 = 3或 a2 = 1= ()2當(dāng) n = 3時(shí)， a1 a2 a3 = ( a321) 2 ，由 a2= 3，解得 a3= 5或 a3 = 3，由 a2=1，解得 a3=1an1 2 0， a= 1， a3= 3， a3 = 1( 舍 )又 Sn

12、 = ()22即 a=1， a =3， a =5， d=2123an=1 2(n 1)=2n 1Sn=1 3 5 (2n1)=n 2bn=( 1)n· Sn=( 1)n·n2Tn= 1222 3242 (1) n· n2當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，即 n=2k， kN*T=( 12 22) (32 42) (2k 1)2 (2k) 2n=3 7 (4k 1)=3 + (4k 1)· k2=(2k 1)k=n( n 1)2當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，即n=2k 1， k N*學(xué)習(xí)必備歡迎下載Tn= 1222 3242 (2k 1)2=12 2232 42 (2k 1)2(2k) 2 (2k) 2=(2k 1)k (2k) 2=k(2k 1)= n(n 1) 2 Tn = ( 1) n · n( n 1)n N *2也可利用等差數(shù)列的前(a1+ a n )· nn項(xiàng)和公式 Sn =2，求 an 解法二 取 n = 1，則 a1= (