高一數(shù)學(xué)典型例題分析充分條件與必要條件

1、生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因為在它內(nèi)部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。泰戈爾充分條件與必要條件·典型例題能力素質(zhì)例 1已知 p：x1，x2 是方程 x2 5x 6 0 的兩根， q： x1 x2 5，則 p 是q 的A 充分但不必要條件B 必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件分析利用韋達定理轉(zhuǎn)換解 x1，x2 是方程 x2 5x 60 的兩根， x1， x2 的值分別為 1， 6， x1 x21 6 5因此選 A說明：判斷命題為假命題可以通過舉反例例 2p 是 q 的充要條件的是A p： 3x 25， q：

2、 2x 3 5B p：a 2， b2， q： a bC p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D p： a 0， q：關(guān)于 x 的方程 ax1 有惟一解分析逐個驗證命題是否等價解對 A p：x 1， q：x 1，所以， p 是 q 的既不充分也不必要條件；對 B pq 但 qp， p 是 q 的充分非必要條件；對 C pq 且 qp， p 是 q 的必要非充分條件；對 D pq且 qp，即 pq， p是 q的充要條件選D 說明：當(dāng)a 0 時， ax 0 有無數(shù)個解例 3 若 A 是 B 成立的充分條件， D 是 C 成立的必要條件， C 是 B 成立的充要條件，則 D 是 A

3、成立的A 充分條件B必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件分析通過 B、C 作為橋梁聯(lián)系A(chǔ)、D解 AD 是C是 B 的充分條件，成立的必要條件，ACBD C是B成立的充要條件，CB由得AC由得AD D 是 A 成立的必要條件選B說明：要注意利用推出符號的傳遞性例 4設(shè)命題甲為： 0 x 5，命題乙為 |x 2| 3，那么甲是乙的A 充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件分析先解不等式再判定解解不等式 |x 2|3 得 1 x 5 0 x 5 1x 5，但 1 x50 x 5甲是乙的充分不必要條件，選A說明：一般情況下，如果條件甲為xA ，條件乙為x B 當(dāng)且僅當(dāng) AB

4、時，甲為乙的充分條件；當(dāng)且僅當(dāng) AB時，甲為乙的必要條件；當(dāng)且僅當(dāng)A B 時，甲為乙的充要條件例 5設(shè) A 、B、C 三個集合，為使A(BC)，條件 AB 是A 充分條件B必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件分析可以結(jié)合圖形分析請同學(xué)們自己畫圖 A(B C)但是，當(dāng)B N， C R，A Z 時，顯然A(B C)，但AB 不成立，綜上所述：“ AB”“ A(B C)”，而“ A(B C)”“ AB”即“ AB”是“ A(B C)”的充分條件(不必要 )選 A 說明：畫圖分析時要畫一般形式的圖，特殊形式的圖會掩蓋真實情況例 6給出下列各組條件：(1)p ： ab 0， q：a2 b2 0；(2

5、)p ： xy 0， q：|x| |y| |x y|；(3)p ： m0， q：方程 x2 x m0 有實根；(4)p ： |x 1| 2， q：x 1其中 p 是 q 的充要條件的有A1組C3 組B2 組D4 組分析使用方程理論和不等式性質(zhì)解 (1)p 是 q 的必要條件(2)p 是 q 充要條件(3)p 是 q 的充分條件(4)p 是 q 的必要條件選 A a2 b2 0 指兩個都為零說明： ab0 指其中至少有一個為零，而例 7x 1 3x1x 2 6條件是的x 2 3x1x 2 9分析將前后兩個不等式組分別作等價變形，觀察兩者之間的關(guān)系解 x1 3且x 2 3x1 x 2 6且x 1x

6、 2 9，但當(dāng)取 x1 10，x 2 2時，x1 x 2 6x1 3x1 x2 9成立，而不成立 (x 2 2與 x2 3矛盾 ) ，所以填“充分不x 2 3必要”x 1 3x1 3 0說明：x 2 3x2 3 0(x 1 3) (x 2 3) 0(x 1 3)(x 2 3) 0x 1 x 2 6這一等價變形方法有時會用得上x 1x 2 3(x 1 x2 ) 9 0點擊思維例 8已知真命題“ a bc d”和“ a be f ”，則“ cd”是“ e f”的 _條件分析 a bc d(原命題 )， c d a b(逆否命題 ) 而 a b e f， c d e f 即 c d 是 e f 的充

7、分條件答 填寫“充分” 說明：充分利用原命題與其逆否命題的等價性是常見的思想方法例 9 ax22x 1 0 至少有一個負實根的充要條件是A 0 a 1B a1C a 1D 0 a 1 或 a 0分析 此題若采用普通方法推導(dǎo)較為復(fù)雜，可通過選項提供的信息，用排除法解之當(dāng) a 1 時，方程有負根 x 1，當(dāng) a0 時， x 1 故排除 A 、B、D選C 2解 常規(guī)方法：當(dāng) a 0時， x 1 2當(dāng) a 0 時1 a 0，則 ax 2 2x1 0至少有一個負實根244a 02a2 1 a 20 a 12 a 0，則 ax2 2x1 0至少有一個負實根244a 02a2 2 1 a 21 a 1a 0

8、綜上所述 a 1即 ax2 2x 1 0 至少有一個負實根的充要條件是a 1說明：特殊值法、排除法都是解選擇題的好方法例 10 已知 p、 q 都是 r 的必要條件， s 是 r 的充分條件， q 是 s 的充分條件，那么 s， r， p 分別是 q 的什么條件？分析畫出關(guān)系圖1 21，觀察求解解s 是 q 的充要條件； (srq， qs)r 是 q 的充要條件；(rq， qsr)p 是 q 的必要條件； (qsrp)說明：圖可以畫的隨意一些，關(guān)鍵要體現(xiàn)各個條件、命題之間的邏輯關(guān)系例 11關(guān)于 x 的不等式|x (a1)2| (a 1) 2與x 2 3(a1)x 2(3a1) 0的解集依次為

9、A22與B，問“ AB”是“ 1 a 3或a 1”的充要條件嗎？分析化簡 A 和 B ，結(jié)合數(shù)軸，構(gòu)造不等式(組 )，求出 a解 A x|2a x a2 1 ， B x|(x 2)x (3a 1) 0當(dāng) 2 3a 1即 a 1 時，3B x|2 x 3a1 2a 2ABa2 + 1 3a + 11 a 3當(dāng) 2 3a 1即 a 1 時，3B x|3a 1 x2A B2a 3a+1a2a 1+12綜上所述： ABa 1或 1 a 3“ AB”是“ 1 a 3或 a 1”的充要條件說明：集合的包含關(guān)系、命題的真假往往與解不等式密切相關(guān)在解題時要理清思路，表達準確，推理無誤學(xué)科滲透例 12 x y，

10、 xy 0是 1 1 的必要條件還是充分條件，還是充x y要條件？分析將充要條件和不等式同解變形相聯(lián)系解 1當(dāng) 1 1 時，可得1 1 0即 y x 0xyxyxyyx0yx 0則或xy 0xy 0，x yxy即或xy 0xy 0，故 1 1 不能推得 x y且 xy0(有可能得到x y 0并非 1 1 的必要條件x y2當(dāng) x y且 xy0則分成兩種情況討論：11不論哪一種情況均可化為xy1 1 x y且 xy 0是 的充分條件 x yx y) ，即 xy且xy xy 0x yxyx 0或 x 0y 0y 0說明：分類討論要做到不重不漏例 13 設(shè)，是方程x2 ax b 0 的兩個實根，試分析a2 且 b 1 是兩根，均大于 1 的什么條件？分析 把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問題相聯(lián)系，解題時需要搞清楚條件 p與結(jié)論 q分別指什么然后再驗證是 pq還是 qp還是p q2解 據(jù)韋達定理得： ， ，判定的條件是pa：ab1b 1結(jié)論是 q：(還要注意條件 p中， a，b需要滿足大前提 a2 4b 1 0)(1) 由 12， b 1，得 a 1 q p上述討論可知：a 2， b 1 是 1， 1 的必要但不充分條件說明：本題中的討論內(nèi)容在二次方程的根的分布理論中常被使用高考巡禮例 14 設(shè)甲、乙、丙是三