【精品】土木工程測量章 測量誤差的基本知識

1、第五章第五章 測量誤差測量誤差土 木 工 程 測 量土 木 工 程 測 量教學(xué)課件的基本知識的基本知識5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識通過前幾章的學(xué)習(xí)，我們掌握了角度、距離和高差的測量方法，通過前幾章的學(xué)習(xí)，我們掌握了角度、距離和高差的測量方法，對測量過程和結(jié)果含有誤差也有了一定的感性認(rèn)識。本章集中講述對測量過程和結(jié)果含有誤差也有了一定的感性認(rèn)識。本章集中講述有關(guān)測量誤差的基本知識，包括衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)、誤差傳播定律和有關(guān)測量誤差的基本知識，包括衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)、誤差傳播定律和直接觀測平差。直接觀測平差。5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識對未知量進(jìn)行測量的過程，稱為對未知量進(jìn)

2、行測量的過程，稱為觀測觀測。測量所獲得的數(shù)值稱為。測量所獲得的數(shù)值稱為觀測值觀測值。進(jìn)行多次測量時(shí)，觀測值之間往往存在差異。這種差異實(shí)。進(jìn)行多次測量時(shí)，觀測值之間往往存在差異。這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為質(zhì)上表現(xiàn)為觀測值觀測值與其與其真實(shí)值真實(shí)值( (簡稱為簡稱為真值真值) )之間的差異，這種差異之間的差異，這種差異稱為稱為測量誤差測量誤差 或或 觀測誤差觀測誤差。5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.1 5.1.1 觀測及觀測誤差觀測及觀測誤差觀測觀測觀測值觀測值真實(shí)值真實(shí)值測量誤差測量誤差觀測誤差觀測誤差用用l li i代表觀測值，代表觀測值，x x代表真值，則有代表真值，則有i i=l=li

3、i-x-x(5-1)(5-1)式中式中i i就是就是觀測誤差觀測誤差，通常稱為，通常稱為 真誤差真誤差，簡稱誤差。，簡稱誤差。i i=l=li i-x-x(5-1)(5-1)真誤差真誤差一般情況下，只要是觀測值必然含有誤差。一般情況下，只要是觀測值必然含有誤差。5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識觀測誤差來源于三個(gè)方面：觀測誤差來源于三個(gè)方面：觀測者視覺鑒別能力和技術(shù)水平；觀測者視覺鑒別能力和技術(shù)水平；儀器、工具的精密程度；儀器、工具的精密程度；觀測時(shí)外界條件的好壞。觀測時(shí)外界條件的好壞。三個(gè)方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件將影響觀測成果三個(gè)方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件將影

4、響觀測成果的精度。觀測條件相同的各次觀測稱為的精度。觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測等精度觀測；觀測條件不相；觀測條件不相同的各次觀測，稱為同的各次觀測，稱為非等精度觀測非等精度觀測。5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.2 5.1.2 觀測誤差的來源觀測誤差的來源觀測條件觀測條件一般認(rèn)為，在測量中人們總希望測量誤差越小越好，甚至趨近一般認(rèn)為，在測量中人們總希望測量誤差越小越好，甚至趨近于零。于零。在實(shí)際生產(chǎn)中，據(jù)不同的測量目的，允許含有一定程度的誤差在實(shí)際生產(chǎn)中，據(jù)不同的測量目的，允許含有一定程度的誤差5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識根據(jù)性質(zhì)不同，觀測誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤

5、差和偶然誤差三根據(jù)性質(zhì)不同，觀測誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種，即種，即=1 1+2 2+3 3 (5-2)(5-2)5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法粗差粗差是一種大級量的觀測誤差，例如超限的觀測值中往是一種大級量的觀測誤差，例如超限的觀測值中往往含有粗差。粗差也包括測量過程中各種失誤引起的誤差。往含有粗差。粗差也包括測量過程中各種失誤引起的誤差。產(chǎn)生的原因產(chǎn)生的原因：疏忽大意、失職；儀器自身或受外界干擾發(fā)生故：疏忽大意、失職；儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障等。障等。含有粗差的觀測值都不能使用含有粗差的觀測值都不

6、能使用。在觀測中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)粗差。在觀測中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)粗差，發(fā)現(xiàn)粗差的有效方法是，進(jìn)行必要的，發(fā)現(xiàn)粗差的有效方法是，進(jìn)行必要的重復(fù)重復(fù)觀測，通過多余觀測條觀測，通過多余觀測條件，采用必要而又嚴(yán)密的件，采用必要而又嚴(yán)密的檢核檢核、驗(yàn)算驗(yàn)算等。等。=1 1+2 2+3 3 (5-2)(5-2)5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測時(shí)，符號在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測時(shí)，符號和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有積累性，對測量結(jié)果影響很大系統(tǒng)誤差具有積累性，對測

7、量結(jié)果影響很大。5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法在測量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有：在測量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有：在觀測方法和觀測程度上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)在觀測方法和觀測程度上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響誤差的影響。如角度測量中盤左、盤右觀測，水準(zhǔn)測量中限制前后。如角度測量中盤左、盤右觀測，水準(zhǔn)測量中限制前后視視距差等。視視距差等。找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對觀測值進(jìn)行系統(tǒng)誤差的找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對觀測值進(jìn)行系統(tǒng)誤差的改正改正。如對距離觀測值

8、進(jìn)行尺長改正、溫度改正和傾斜改正，對豎。如對距離觀測值進(jìn)行尺長改正、溫度改正和傾斜改正，對豎直角進(jìn)行指標(biāo)差改正等。直角進(jìn)行指標(biāo)差改正等。將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)。有的系統(tǒng)誤差既不便計(jì)算改。有的系統(tǒng)誤差既不便計(jì)算改正，又不能采用一定的觀測方法加以消除，例如，經(jīng)緯儀照準(zhǔn)部管正，又不能采用一定的觀測方法加以消除，例如，經(jīng)緯儀照準(zhǔn)部管水準(zhǔn)器軸水準(zhǔn)器軸不垂直于不垂直于儀器豎軸儀器豎軸的誤差對水平角的影響，對于這類系統(tǒng)的誤差對水平角的影響，對于這類系統(tǒng)誤差，則只能按規(guī)定的要求對儀器進(jìn)行精確檢校，并在觀測中仔細(xì)誤差，則只能按規(guī)定的要求對儀器進(jìn)行精確檢校，并在觀測中仔細(xì)整平將其影響

9、減小到允許范圍內(nèi)。整平將其影響減小到允許范圍內(nèi)。5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識偶然誤差偶然誤差在一定的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測在一定的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測時(shí)，符號和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。時(shí)，符號和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是不固定的不固定的和和難以控制難以控制的，如觀測者的，如觀測者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等。不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境也的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等。不斷變化著的溫度、風(fēng)力

10、等外界環(huán)境也會產(chǎn)生偶然誤差。會產(chǎn)生偶然誤差。粗差粗差可以發(fā)現(xiàn)并被剔除，可以發(fā)現(xiàn)并被剔除，系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而能夠加以改正，而偶然誤差偶然誤差是不可避免是不可避免的，的，并且是消除不了的并且是消除不了的。它在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的。它在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的觀測值中占主導(dǎo)地位觀測值中占主導(dǎo)地位從單個(gè)偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性從單個(gè)偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且，但對大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個(gè)數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。誤差個(gè)數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。例如某一測區(qū)在相

11、同觀測條件下觀測了例如某一測區(qū)在相同觀測條件下觀測了358358個(gè)三角形的全部內(nèi)個(gè)三角形的全部內(nèi)角。由于觀測值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于角。由于觀測值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于真值真值180180( (表表5-1)5-1)5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法負(fù)誤差 正誤差 合計(jì) 誤差區(qū)間 d 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 03 36 69 912 1215 1821 2124 24 45 40 33 23 17 1

12、3 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 91 81 66 44 33 26 11 6 0 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 181 0.505 177 0.495 358 1.00 5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀

13、測誤差的分類及其處理方法從表從表5-1中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差小誤差比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻率相近，最大誤差不超過率相近，最大誤差不超過24。統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性：統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性：特性特性1 在一定觀測條件下的有限個(gè)觀測中，偶然誤差的絕對值在一定觀測條件下的有限個(gè)觀測中，偶然誤差的絕對值不超過一定的限值。不超過一定的限值。(范圍范圍)特性特性2 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大

14、的誤差出絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。現(xiàn)的頻率小。(絕對值大小絕對值大小)特性特性3 絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。(符號符號)特性特性4 當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差平均值的極限為當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差平均值的極限為0，即即(抵償性抵償性)(5-3)本章此處及以后本章此處及以后“ ”表示取括號中下標(biāo)變量的代數(shù)和，即表示取括號中下標(biāo)變量的代數(shù)和，即i=(5-3) 0limlim21nnnnn5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分

15、類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法用用圖示法圖示法可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表5-1的數(shù)據(jù)，的數(shù)據(jù)，以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k/n與區(qū)間與區(qū)間d的比值為縱坐標(biāo)，如圖的比值為縱坐標(biāo)，如圖5-1所示。這種圖稱為所示。這種圖稱為頻率直方圖頻率直方圖。5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)n，同時(shí)又無限縮小誤差區(qū)間，同時(shí)又無限縮小誤差區(qū)間d，圖，圖5-1中各矩形的頂邊折

16、線就成為一條光滑的曲線，如圖中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖5-2所示。該所示。該曲線稱為曲線稱為誤差分布曲線誤差分布曲線。其函數(shù)式為：其函數(shù)式為：(5-4)22221)(efy即正態(tài)分布曲線上任一點(diǎn)即正態(tài)分布曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo)y均為橫坐標(biāo)均為橫坐標(biāo)的函的函數(shù)。數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差大小反映觀測精大小反映觀測精度的高低，定義為：度的高低，定義為：(5-5)nn2lim上式可知，上式可知，的大小決定的大小決定于一定條件下偶然誤差出現(xiàn)于一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕對值的大小。的絕對值的大小。22221e5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1

17、.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法在圖在圖5-1中各矩形的中各矩形的面積是頻率面積是頻率k/n。由概率。由概率統(tǒng)計(jì)可知，頻率統(tǒng)計(jì)可知，頻率k/n就是就是真誤差出現(xiàn)在區(qū)間真誤差出現(xiàn)在區(qū)間d上上的概率的概率p()(圖圖5-2)，記，記為：為：(5-6) dfdpdnk式式(5-4)和式和式(5-6)中中f()是誤差分布的概率的是誤差分布的概率的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，簡稱，簡稱密度函數(shù)密度函數(shù)。22221e5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.2 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)在相同觀測條件下，對某一量所進(jìn)行的一組觀測，對應(yīng)著同一在相同觀測

18、條件下，對某一量所進(jìn)行的一組觀測，對應(yīng)著同一種誤差分布，因此，這一組中的每一個(gè)觀測值，都種誤差分布，因此，這一組中的每一個(gè)觀測值，都具有同樣的精度具有同樣的精度。為了衡量觀測值的精度高低，顯然可以用前一節(jié)方法，為了衡量觀測值的精度高低，顯然可以用前一節(jié)方法，繪出頻率直繪出頻率直方圖或誤差分布表加以分析來衡量方圖或誤差分布表加以分析來衡量。但這樣做實(shí)際應(yīng)用十分不便，。但這樣做實(shí)際應(yīng)用十分不便，又缺乏一個(gè)簡單的關(guān)于精度的數(shù)值概念。這個(gè)數(shù)值應(yīng)該能反映誤差又缺乏一個(gè)簡單的關(guān)于精度的數(shù)值概念。這個(gè)數(shù)值應(yīng)該能反映誤差分布的分布的密集密集或或離散離散程度，即應(yīng)程度，即應(yīng)反映其離散度的大小反映其離散度的大小，

19、作為衡量精度，作為衡量精度的指標(biāo)。的指標(biāo)。下面介紹幾種常用的衡量精度的指標(biāo)。下面介紹幾種常用的衡量精度的指標(biāo)。5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.2 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.1 5.2.1 中中 誤誤 差差由式由式(5-5)定義的定義的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，但那是理論上是衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，但那是理論上的表達(dá)式。在測量實(shí)踐中觀測次數(shù)不可能無限多，因此實(shí)際應(yīng)用中的表達(dá)式。在測量實(shí)踐中觀測次數(shù)不可能無限多，因此實(shí)際應(yīng)用中定義定義中誤差中誤差m作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)：(5-7)nm2在式在式(5-4)中，當(dāng)中，當(dāng)=0時(shí)，以中時(shí)，以

20、中誤差誤差m代替標(biāo)準(zhǔn)差代替標(biāo)準(zhǔn)差（圖（圖53）是最大值 21)(mf(5-4)22221)(efy5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.2 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.1 5.2.1 中中 誤誤 差差因此在一組觀測值中，當(dāng)小誤差比較集中時(shí)，因此在一組觀測值中，當(dāng)小誤差比較集中時(shí)，m1較小，則曲線較小，則曲線形狀較陡峭，如圖形狀較陡峭，如圖5-3中中f1()，表示該組觀測精度較高；，表示該組觀測精度較高；f2()的曲線的曲線形狀較平緩，其誤差分布比較離散，形狀較平緩，其誤差分布比較離散，m2較大，表明該組觀測精度低。較大，表明該組觀測精度低。如果令如果令f()的二階

21、導(dǎo)數(shù)等于的二階導(dǎo)數(shù)等于0，可求得曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)：可求得曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)：01-)(22222321ef=m也就是說，也就是說，中誤差的幾何意中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐義即為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)。=m (5-8)5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.2 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.2 5.2.2 相相 對對 誤誤 差差中誤差和真誤差都是絕對誤差中誤差和真誤差都是絕對誤差。在衡量觀測值精度時(shí)，單純用在衡量觀測值精度時(shí)，單純用絕對誤差有時(shí)不能完全表達(dá)精度的優(yōu)劣。例如，分別測量了長度為絕對誤差有時(shí)不能完全表達(dá)精度的優(yōu)劣。例如，分別測

22、量了長度為100m和和200m的兩段距離，中誤差皆為的兩段距離，中誤差皆為0.02m。顯然不能認(rèn)為兩段。顯然不能認(rèn)為兩段距離測量精度相同。為了客觀地反映實(shí)際精度，必須引入相對誤差距離測量精度相同。為了客觀地反映實(shí)際精度，必須引入相對誤差的概念。的概念。相對誤差相對誤差k是誤差是誤差m的絕對值與觀測值的絕對值與觀測值d的比值的比值：(5-9)|1|mddmk上式中當(dāng)上式中當(dāng)m為中誤差時(shí)，為中誤差時(shí)，k稱為稱為相對中誤差相對中誤差。在距離測量中還常用往返觀測值的相對較差來進(jìn)行檢在距離測量中還常用往返觀測值的相對較差來進(jìn)行檢核。核。相對較差相對較差定義為：定義為：(5-10)dddddd-1平均平均

23、平均返往d相對較差是相對較差是相對真誤差相對真誤差，它反映往返測量的符合程度。，它反映往返測量的符合程度。5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.2 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.3 5.2.3 極限極限 誤誤 差和容許誤差差和容許誤差極限誤差極限誤差由偶然誤差的特性由偶然誤差的特性1可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個(gè)限值就是對值不會超過一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差極限誤差。標(biāo)準(zhǔn)差或中誤。標(biāo)準(zhǔn)差或中誤差是衡量差是衡量觀測精度觀測精度的指標(biāo)，它不能代表個(gè)別觀測值真誤差的大小，的指標(biāo)，它不能代表個(gè)別

24、觀測值真誤差的大小，但從統(tǒng)計(jì)意義來講，它們卻存在著一定的聯(lián)系。根據(jù)式但從統(tǒng)計(jì)意義來講，它們卻存在著一定的聯(lián)系。根據(jù)式(5-4)和式和式(5-6)有：有：表示真誤差落在表示真誤差落在(-，+)內(nèi)的概率等于內(nèi)的概率等于0.683。同理可。同理可得：得：(5-11)683. 022221dep(5-12)2221955. 022222dep(5-13)3321997. 033222dep(5-4)22221)(efy(5-6) dfdpdnk5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.2 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.3 5.2.3 極限極限 誤誤 差和容許誤差差和容許誤差極限

25、誤差極限誤差上列三式結(jié)果的概率含義是：在一組等精度觀測值中，真誤差上列三式結(jié)果的概率含義是：在一組等精度觀測值中，真誤差在在范圍以外的個(gè)數(shù)約占誤差總數(shù)的范圍以外的個(gè)數(shù)約占誤差總數(shù)的32%；在在2范圍以外的個(gè)范圍以外的個(gè)數(shù)約占數(shù)約占4.5%；在；在3范圍以外的個(gè)數(shù)只占范圍以外的個(gè)數(shù)只占0.3%。絕對值大于絕對值大于3的真誤差出現(xiàn)的概率很小，因此可以認(rèn)為的真誤差出現(xiàn)的概率很小，因此可以認(rèn)為3是是真誤差實(shí)際出現(xiàn)的真誤差實(shí)際出現(xiàn)的極限極限，即，即3是極限誤差：是極限誤差：極限極限=3(5-14)極限極限=3(5-14)5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.2 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精

26、度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.3 5.2.3 極限極限 誤誤 差和容許誤差差和容許誤差容許誤差容許誤差測量實(shí)踐中，是在極限誤差范圍內(nèi)利用容許誤差對偶然誤差的測量實(shí)踐中，是在極限誤差范圍內(nèi)利用容許誤差對偶然誤差的大小進(jìn)行數(shù)量限制的。在實(shí)際應(yīng)用的測量規(guī)范中，大小進(jìn)行數(shù)量限制的。在實(shí)際應(yīng)用的測量規(guī)范中，常以常以2倍倍或或3倍倍中中誤差作為偶然誤差的容許值，稱為誤差作為偶然誤差的容許值，稱為容許誤差容許誤差，即，即容容=22m(5-15)或或容容=33m(5-16)容容=22m(5-15)容容=33m(5-16)前者要求較嚴(yán)，后者要求較寬。如果觀測值中出現(xiàn)了大于容許前者要求較嚴(yán)，后者要求較寬。如果觀測值中出現(xiàn)了大于

27、容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測。誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測。5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.3 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律前面敘述了衡量一組等精度觀測值的精度指標(biāo)，并指出在測量前面敘述了衡量一組等精度觀測值的精度指標(biāo)，并指出在測量工作中工作中通常以中誤差作為衡量精度的指標(biāo)通常以中誤差作為衡量精度的指標(biāo)。但在實(shí)際工作中，某些。但在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測，而需要由另一些直接觀測量未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來。例如，欲測量不在同一水平面

28、上兩根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來。例如，欲測量不在同一水平面上兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離d，可以用光電測距儀測量斜距，可以用光電測距儀測量斜距s，并用經(jīng)緯儀測量豎直，并用經(jīng)緯儀測量豎直角角，以函數(shù)關(guān)系，以函數(shù)關(guān)系d=scos來推算。顯然，在此情況下，來推算。顯然，在此情況下，函數(shù)函數(shù)d的中的中誤差與觀測值誤差與觀測值s及及的中誤差之間的中誤差之間，必定有一定的關(guān)系。闡述這種函，必定有一定的關(guān)系。闡述這種函數(shù)關(guān)系的定律，稱為數(shù)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。設(shè)有一般函數(shù)設(shè)有一般函數(shù)z=f(x1,x2,，xn)(5-17)式中式中x1、x2、，xn為可為可直接觀測直接觀測的未知量；的未知量；z

29、為不便于直接為不便于直接觀測的未知量。觀測的未知量。其中函數(shù)其中函數(shù)z的中誤差為的中誤差為mz，各獨(dú)立變量，各獨(dú)立變量x1、x2，xn對應(yīng)的觀對應(yīng)的觀測值中誤差分別為測值中誤差分別為m1,m2,mn，如果知道了，如果知道了mz與與mi之間的關(guān)系，就之間的關(guān)系，就可由各變量的觀測值中誤差來推求函數(shù)的中誤差?？捎筛髯兞康挠^測值中誤差來推求函數(shù)的中誤差。各變量的觀測值各變量的觀測值中誤差與共函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系式，稱為誤差傳播定律中誤差與共函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系式，稱為誤差傳播定律。z=f(x1,x2,，xn)(5-17)5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.3 誤誤 差差 傳傳 播播

30、定定 律律設(shè)設(shè)xi(i=1、2、n)的獨(dú)立觀測值為的獨(dú)立觀測值為 li,其相應(yīng)的真誤差為其相應(yīng)的真誤差為xi。由于由于xi的存在，使函數(shù)的存在，使函數(shù)z亦產(chǎn)生相應(yīng)的亦產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差真誤差z。將。將(5-17)取全微取全微分分因誤差因誤差xi及及z都很小，故在上式中，可近似用都很小，故在上式中，可近似用xi及及z代替代替dx及及dz，于是有，于是有nndxxfdxxfdxxfdz2211nnxxfxxfxxfz2211式中式中 為函數(shù)為函數(shù)f對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)。將對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)。將xi=li代入各偏導(dǎo)數(shù)中，代入各偏導(dǎo)數(shù)中，即為確定的常數(shù)，設(shè)即為確定的常數(shù)，設(shè)ixf ilxxffiii則上式

31、可寫成則上式可寫成z=f1x1+f2x2+fnxn為了求得函數(shù)和觀測值之間的為了求得函數(shù)和觀測值之間的中誤差關(guān)系式中誤差關(guān)系式，設(shè)想對各，設(shè)想對各xi進(jìn)行進(jìn)行了了k次觀測，則可寫出次觀測，則可寫出k個(gè)類似上式的關(guān)系式個(gè)類似上式的關(guān)系式z=f1x1+f2x2+fnxn5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.3 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfzxfxfxfzxfxfxfz將上式各式等號兩邊平方后，再相加，得將上式各式等號兩邊平方后，再相加，得njijijijinnxx

32、ffxfxfxfz, 1,22222221212上式兩端各除以上式兩端各除以knjijijijinnkxxffkxfkxfkxfkz, 1,222222212125 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.3 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律設(shè)對各設(shè)對各xi的觀測值的觀測值li為彼此獨(dú)立的觀測，則為彼此獨(dú)立的觀測，則xixj當(dāng)當(dāng)ij時(shí)，亦為時(shí)，亦為偶然誤差偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的特性。根據(jù)偶然誤差的特性 4 可知，可知，上式末項(xiàng)當(dāng)上式末項(xiàng)當(dāng)k時(shí)趨近于時(shí)趨近于零零，即，即故故njijijijinnkxxffkxfkxfkxfkz, 1,222222212120limkxxkji)(lim2

33、2222221212limkxfkxfkxfkznnkk根據(jù)中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）的定義（根據(jù)中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）的定義（5-5)，上式可寫成，上式可寫成22222221212nnzfff當(dāng)當(dāng)k為有限值時(shí)，可寫為為有限值時(shí)，可寫為：22222221212nnzmfmfmfm5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.3 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律上式即為計(jì)算函數(shù)中誤差的一般形式。應(yīng)用上式時(shí)，必須注意：上式即為計(jì)算函數(shù)中誤差的一般形式。應(yīng)用上式時(shí)，必須注意：各觀測值是相互獨(dú)立的變量，而當(dāng)各觀測值是相互獨(dú)立的變量，而當(dāng)li為未知量為未知量xi的直接觀測值時(shí)，可的直接觀測值時(shí)，可認(rèn)為各認(rèn)為各li之

34、間滿足相互獨(dú)立的條件之間滿足相互獨(dú)立的條件。利用它不難導(dǎo)出表利用它不難導(dǎo)出表5-2所列簡單函數(shù)的誤差傳播定律。所列簡單函數(shù)的誤差傳播定律。(5-26) 2222221221nxfxfxfzmmmmn5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.4 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差除了標(biāo)準(zhǔn)實(shí)體，自然界中任何單個(gè)未知量除了標(biāo)準(zhǔn)實(shí)體，自然界中任何單個(gè)未知量(如某一角度，某一長如某一角度，某一長度等度等)的的真值真值都是無法確知的，只有通過都是無法確知的，只有通過重復(fù)觀測重復(fù)觀測，才能對其作出，才能對其作出可靠的估計(jì)可靠的估計(jì)。在測量中，重復(fù)測量的目的還在于。在測量中，重復(fù)測量的目的還在于提高提

35、高觀測成果的觀測成果的精精度度，同時(shí)也為了，同時(shí)也為了發(fā)現(xiàn)和消除粗差發(fā)現(xiàn)和消除粗差。重復(fù)測量形成了多余觀測，加之觀測值必然含有誤差，這就產(chǎn)重復(fù)測量形成了多余觀測，加之觀測值必然含有誤差，這就產(chǎn)生了觀測值之間的矛盾。為消除矛盾，必須依據(jù)一定的數(shù)據(jù)處理準(zhǔn)生了觀測值之間的矛盾。為消除矛盾，必須依據(jù)一定的數(shù)據(jù)處理準(zhǔn)則，采用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，對有矛盾的觀測值加以必要而又合理的則，采用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，對有矛盾的觀測值加以必要而又合理的調(diào)整，給以調(diào)整，給以適當(dāng)?shù)母恼m當(dāng)?shù)母恼?，從而求得觀測值的，從而求得觀測值的最佳估值最佳估值，同時(shí)對觀測，同時(shí)對觀測進(jìn)行進(jìn)行質(zhì)量評估質(zhì)量評估。人們把這一數(shù)據(jù)處理的過程稱作。人們

36、把這一數(shù)據(jù)處理的過程稱作測量平差測量平差。對一個(gè)未知量的直接觀測值進(jìn)行平差，稱為對一個(gè)未知量的直接觀測值進(jìn)行平差，稱為直接觀測平差直接觀測平差。據(jù)。據(jù)觀測條件，有觀測條件，有等精度等精度直接觀測平差和直接觀測平差和不等精度不等精度直接觀測平差。直接觀測平差。平差平差結(jié)果是得到未知量最可靠的估值結(jié)果是得到未知量最可靠的估值(最可靠值最可靠值)，最接近其真值，最接近其真值，稱為，稱為“最或是值最或是值”。測量平差測量平差直接觀測平差直接觀測平差最或是值最或是值5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.4 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差在等精度直接觀測平差中，在等精度直接觀測平差中，觀測

37、值的算術(shù)平均值是未知量的觀測值的算術(shù)平均值是未知量的最最或是值或是值。即即x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5-27)5.4.1 5.4.1 求求 最最 或或 是是 值值x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5-27)觀測值觀測值與與最或是值之差最或是值之差，稱為，稱為“最或是誤差最或是誤差”，用符號，用符號vi(i=1,2,n)來表示。來表示。vi=li-x (i=1,2,n)(5-28)將將n 個(gè)最或是誤差個(gè)最或是誤差vi相加，有：相加，有：v=l-nx=0(5-29)即最或是誤差的總和為即最或是誤差的總和為0。式。式(5-29)可以用作計(jì)算中的檢核，若可以用作計(jì)算中的檢核，若vi值計(jì)

38、算無誤，其總和必然為值計(jì)算無誤，其總和必然為0。顯然當(dāng)觀測次數(shù)顯然當(dāng)觀測次數(shù)n時(shí)時(shí)，vi=i（真誤差）。（真誤差）。vi=li-x (i=1,2,n)(5-28)v=l-nx=0(5-29)5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.4 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差觀測值中誤差觀測值中誤差由于獨(dú)立觀測中單個(gè)未知量的由于獨(dú)立觀測中單個(gè)未知量的真值真值x是無法確知的，是無法確知的，因此因此真誤差真誤差i也是未知的，所以不能直接應(yīng)用也是未知的，所以不能直接應(yīng)用(5-7)求得求得中中誤差誤差。但可用有限個(gè)等精度觀測值。但可用有限個(gè)等精度觀測值li求出求出最或是值最或是值x后，再后，再按公式

39、按公式(5-28)計(jì)算計(jì)算最或是誤差最或是誤差，用最或是誤差，用最或是誤差vi計(jì)算觀測計(jì)算觀測值的中誤差。公式推導(dǎo)從略。值的中誤差。公式推導(dǎo)從略。5.4.2 5.4.2 評評 定定 精精 度度(5-34)12nvm式式(5-34)是等精度觀測中是等精度觀測中用最或是誤差計(jì)算中誤差用最或是誤差計(jì)算中誤差的的公式。公式。5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.4 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差最或是值的中誤差最或是值的中誤差設(shè)對某量進(jìn)行設(shè)對某量進(jìn)行n次等精度觀測，觀測值為次等精度觀測，觀測值為l1,l2,，ln,中誤差為中誤差為m。最或是值最或是值x 的中誤差的中誤差m的計(jì)算公式推導(dǎo)

40、如下：的計(jì)算公式推導(dǎo)如下：5.4.2 5.4.2 評評 定定 精精 度度根據(jù)誤差傳播定律，有：根據(jù)誤差傳播定律，有：(5-35)nnnnnllllx12111(5-36)221221221)()()(mmmmnnn所以所以(5-37)nmm顧及式顧及式(5-34)，算術(shù)平均值的中誤差也可表達(dá)如下：，算術(shù)平均值的中誤差也可表達(dá)如下：(5-38)1(2nnvm5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.5 不等精度直接觀測平差不等精度直接觀測平差在對某一未知量進(jìn)行非等精度觀測時(shí)，各觀測結(jié)果的中誤差也在對某一未知量進(jìn)行非等精度觀測時(shí)，各觀測結(jié)果的中誤差也各不相同，各觀測值便具有不同程度的可靠性。

41、在求各不相同，各觀測值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可未知量的最可靠估值靠估值時(shí)，就不能像等精度觀測那樣簡單地取算術(shù)平均值，因?yàn)闀r(shí)，就不能像等精度觀測那樣簡單地取算術(shù)平均值，因?yàn)檩^可靠的觀測值，應(yīng)對最后結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。較可靠的觀測值，應(yīng)對最后結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。不等精度觀測值的可靠性，可用稱為觀測值不等精度觀測值的可靠性，可用稱為觀測值“權(quán)權(quán)”的數(shù)值來表的數(shù)值來表示。示。“權(quán)權(quán)”是權(quán)衡輕重的意思，觀測值的精度愈高，其權(quán)愈大。例是權(quán)衡輕重的意思，觀測值的精度愈高，其權(quán)愈大。例如，對某一未知量進(jìn)行了兩組不等精度觀測，但每組內(nèi)各觀測值是如，對某一未知量進(jìn)行了兩組不等精度觀測，但每組內(nèi)各觀

42、測值是等精度的。設(shè)第一組觀測了等精度的。設(shè)第一組觀測了4次，其觀測值為次，其觀測值為l1、l2、l3、l4；第二組觀第二組觀測了測了3次，觀測值為次，觀測值為l1、 l2、 l3。這些觀測值的可靠程度都相同，。這些觀測值的可靠程度都相同，每組分別取算術(shù)平均值作為最后觀測結(jié)果，即每組分別取算術(shù)平均值作為最后觀測結(jié)果，即(5-39)32321llll414321lllll5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.5 不等精度直接觀測平差不等精度直接觀測平差對于觀測值對于觀測值l1、l2來說，彼此是不等精度觀測，故最后結(jié)果應(yīng)來說，彼此是不等精度觀測，故最后結(jié)果應(yīng)為：為：(5-40)343472

43、13214321llllllllll權(quán)只有相對意義，起作用的不是其絕對值，而是其比權(quán)只有相對意義，起作用的不是其絕對值，而是其比值，權(quán)通常用字母值，權(quán)通常用字母p表示，且恒取正值。表示，且恒取正值。5 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.5 不等精度直接觀測平差不等精度直接觀測平差一定的中誤差，對應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布，即對應(yīng)著一定的一定的中誤差，對應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布，即對應(yīng)著一定的觀測條件。觀測值的中誤差愈小，其值愈可靠，權(quán)就愈大。因此，觀測條件。觀測值的中誤差愈小，其值愈可靠，權(quán)就愈大。因此，也可根據(jù)中誤差來定義觀測值的權(quán)。也可根據(jù)中誤差來定義觀測值的權(quán)。5.5.1 5.5.1

44、 權(quán)與中誤差的關(guān)系權(quán)與中誤差的關(guān)系設(shè)設(shè)n個(gè)不等精度觀測觀測值的中誤差分別為個(gè)不等精度觀測觀測值的中誤差分別為m1，m2，mn，則，則權(quán)可以用下式來定義：權(quán)可以用下式來定義：其中其中可取為任意正常數(shù)可取為任意正常數(shù)。(5-42)22221,21nmnmmppp前面所舉的例子，前面所舉的例子， l1、l2、l3、l4和和l1、 l2、 l3是等精度觀測，是等精度觀測，觀觀測值的中誤差為測值的中誤差為m，則第，則第1組的組的算術(shù)平均值算術(shù)平均值l1的中誤差的中誤差m1可以根據(jù)可以根據(jù)式式(5-37)得：得：mm411同理，可得第同理，可得第2組算術(shù)平均值組算術(shù)平均值l2的中誤差為：的中誤差為：mm3

45、125 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.5 不等精度直接觀測平差不等精度直接觀測平差在式在式(5-42)中分別代入中分別代入m1和和m2，得：，得：5.5.1 5.5.1 權(quán)與中誤差的關(guān)系權(quán)與中誤差的關(guān)系式中式中為任意常數(shù)。設(shè)為任意常數(shù)。設(shè) =m2, 則則l1、l2的權(quán)為的權(quán)為由上式可知，由上式可知，權(quán)與中誤差的平方成反比。任意選擇權(quán)與中誤差的平方成反比。任意選擇值，可以值，可以使權(quán)變?yōu)楸阌谟?jì)算的數(shù)值使權(quán)變?yōu)楸阌谟?jì)算的數(shù)值。l1：3222412221mmmmppl2：=m2p1=4 , p2=35 5 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.5 不等精度直接觀測平差不等精度直接觀測

46、平差5.5.1 5.5.1 權(quán)與中誤差的關(guān)系權(quán)與中誤差的關(guān)系例例59對某一角度進(jìn)行了對某一角度進(jìn)行了n次觀測，求算術(shù)平均值的權(quán)。次觀測，求算術(shù)平均值的權(quán)。由例由例59可知，可知，取一測回角度觀測值之權(quán)為取一測回角度觀測值之權(quán)為1，則，則n個(gè)測回觀測個(gè)測回觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)為值的算術(shù)平均值的權(quán)為n。故角度觀測的權(quán)與其測回?cái)?shù)成正比。在。故角度觀測的權(quán)與其測回?cái)?shù)成正比。在不等精度觀測中引入不等精度觀測中引入“權(quán)權(quán)”的概念，可以建立各觀測值之間的精度的概念，可以建立各觀測值之間的精度比值，以便更合理地處理觀測數(shù)據(jù)。比值，以便更合理地處理觀測數(shù)據(jù)。解設(shè)一測回角度觀測值的中誤差為解設(shè)一測回角度觀測值的中誤差為m，由式（，由式（537），），算術(shù)平均值的中誤差為算術(shù)平均值的中誤差為mm/n1/2。由權(quán)的定義并設(shè)由權(quán)的定義并設(shè)m2，則一測回觀測值的權(quán)為：，則一測回觀測值的權(quán)為：p=/m2=1p=/m2=1算術(shù)平均值的權(quán)為：算術(shù)平均值的權(quán)為：px=/(m2/n)=n例如，設(shè)每一測回的觀測值的中誤差為例如，設(shè)每一測回的觀測值的中誤差為m2