數(shù)列極限第一課時(shí)

1、學(xué)習(xí)目標(biāo) 了解數(shù)列極限的概念 會(huì)判斷一些簡單數(shù)列的極限 培養(yǎng)從有限認(rèn)識(shí)無限，從已知認(rèn)識(shí)未知，從近似認(rèn)識(shí)精確的數(shù)學(xué)方法。 na nb na：剩余的長度：剩余的長度 nb：截去的總長度：截去的總長度214387 nb0814183218543871x1 na nb0 0214387123nn從從1的左側(cè)無限趨近的左側(cè)無限趨近1是什么？是什么？的變化趨勢分別的變化趨勢分別和和的無限增大，的無限增大，隨著項(xiàng)數(shù)隨著項(xiàng)數(shù)nnban0814183218543871x na從從0的右側(cè)無限趨近的右側(cè)無限趨近0表示的點(diǎn)的變化趨勢表示的點(diǎn)的變化趨勢和和nnban21n211123n123nn1nanb0 0214

2、387nn210 na1 nbn2111 1214181n21na無限趨近常數(shù)無限趨近常數(shù)0， 無限地接近于無限地接近于0 0 na無限趨近常數(shù)無限趨近常數(shù)1， 無限地接近于無限地接近于0 nb1 nb1 1214181n210-131 21 ，n1013101310132（1） ，1433221nn（2） ，nn)1(3111（3）分析當(dāng)分析當(dāng)n無限增大無限增大時(shí)，下列數(shù)列的項(xiàng)時(shí)，下列數(shù)列的項(xiàng) 的變化趨勢及的變化趨勢及共同特征共同特征:na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .共同特性：共同特性：不論這些變化趨勢如何，

3、隨著項(xiàng)數(shù)不論這些變化趨勢如何，隨著項(xiàng)數(shù) n 的的無限增大無限增大，數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的項(xiàng) 無限地趨近于無限地趨近于常常數(shù)數(shù) ana3遞減遞減無限趨近無限趨近1遞增遞增無限趨近無限趨近0無限趨近無限趨近擺動(dòng)擺動(dòng)n 趨向于無窮大趨向于無窮大aann lim數(shù)列極限的描述性定義數(shù)列極限的描述性定義 na一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù) 無限增大時(shí)，無窮數(shù)列無限增大時(shí)，無窮數(shù)列的項(xiàng)的項(xiàng) 無限地趨近于某個(gè)常數(shù)無限地趨近于某個(gè)常數(shù) ，(即即 無限地?zé)o限地接近接近0),nnaaaan 那么就說數(shù)列那么就說數(shù)列 以以 為極限，或者說為極限，或者說 naaa na是數(shù)列是數(shù)列 的極限的極限 na（1） 是無窮數(shù)

4、列是無窮數(shù)列n（2） 無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， 不是一般地趨近于不是一般地趨近于 ，而是，而是naa“無限無限”地趨近于地趨近于 a（3）數(shù)值變化趨勢：遞減的、遞增的、擺動(dòng)的）數(shù)值變化趨勢：遞減的、遞增的、擺動(dòng)的讀作讀作 “當(dāng)當(dāng)n 趨向于無窮大時(shí)，趨向于無窮大時(shí)， 的極限等于的極限等于a ”na或或 “l(fā)imit 當(dāng)當(dāng)n 趨向于趨向于 無窮大時(shí)等于無窮大時(shí)等于a ”na1x2213443562,6556433421,n11+（-1)n+1這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)與這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)與1的差的絕對值依次是的差的絕對值依次是 1， ., n 1 , 3 1 , 21. .10101 nn解解得得令令 )( nn

5、n111111 . .100000101 nn解得解得令令. .313333000301 nn解解得得令令是是這這個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列的的極極限限1.例11x221344356 一般地，對于數(shù)列一般地，對于數(shù)列 an，如果存在，如果存在一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)a，無論預(yù)先指定多么小的正，無論預(yù)先指定多么小的正數(shù)數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項(xiàng)，都能在數(shù)列中找到一項(xiàng) a n ，使，使得這一項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與得這一項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與a的差的絕對的差的絕對值都小于值都小于（ 即當(dāng)即當(dāng) nn 時(shí)，時(shí)，|an-a| 恒恒成立），就把常數(shù)成立），就把常數(shù)a叫做叫做數(shù)列數(shù)列 an的極的極限限，記作，記作 an=a nlim：2,655

6、6433421,n11+（-1)n+1aan nna lim數(shù)列數(shù)列是否存是否存在極限在極限若存在極限若存在極限 99. 0nna 100)(n 1 nan 2 nanna)1( 14nnan aann lim存在存在不存在不存在存在存在存在存在不存在不存在4 1n00020數(shù)列的極限是唯一的數(shù)列的極限是唯一的有窮數(shù)列沒有極限有窮數(shù)列沒有極限0 99. 0n)( lim為常數(shù)為常數(shù)cccn aan nna lim數(shù)列數(shù)列是否存是否存在極限在極限若存在極限若存在極限aann limnan1 nan nann3)1( nna)31(5 9999. 0nna 如果如果 ，那么，那么 1| a nna

7、lim0存在存在存在存在存在存在存在存在不存在不存在5000na“無限無限”地趨近于一個(gè)常數(shù)地趨近于一個(gè)常數(shù) an)31( n31n1 9999. 0n0000)( lim)2(是是常常數(shù)數(shù)ccn nn1lim)1(0c, )3(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 a0lim nan 對于無窮數(shù)列對于無窮數(shù)列an，如果當(dāng)如果當(dāng)n無限增大時(shí)無限增大時(shí)，an無限趨向于某一個(gè)常數(shù)無限趨向于某一個(gè)常數(shù)a，則稱則稱a是數(shù)列是數(shù)列 an 的極限的極限。 問題1：數(shù)列an = n2有極限嗎？ n問題2：數(shù)列有極限嗎？ 是奇數(shù)是偶數(shù)nnnnnan,1,1是奇數(shù)是偶數(shù)nnnan,1, 0n問題3：數(shù)列有極限嗎？ 沒有沒有沒有沒有有，有

8、，為為02、給出下列命題：、給出下列命題：（1）有窮數(shù)列沒有極限；）有窮數(shù)列沒有極限；（2）無窮數(shù)列不一定有極限；）無窮數(shù)列不一定有極限；（3）無窮遞減數(shù)列一定有數(shù)列；）無窮遞減數(shù)列一定有數(shù)列；（4）無窮遞增數(shù)列一定沒有數(shù)列；）無窮遞增數(shù)列一定沒有數(shù)列；（5）左右擺動(dòng)的數(shù)列一定沒有極限。）左右擺動(dòng)的數(shù)列一定沒有極限。其中是真命題的序號(hào)有其中是真命題的序號(hào)有（1）、（）、（2）3.請列出請列出3個(gè)以個(gè)以2為極限的數(shù)列為極限的數(shù)列.0 1 21 21 ) (0)1(lim4xxxxxxxnn的取值范圍是，則、若a.b.c.d.x0yy1、總體密度曲線、總體密度曲線設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無

9、限縮小，設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近于一條光滑曲那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近于一條光滑曲線線總體密度曲線總體密度曲線2、求球的表面積、求球的表面積數(shù)列極限思想的運(yùn)用數(shù)列極限思想的運(yùn)用割割 圓圓 求求 周周 三國時(shí)的劉徽提出的三國時(shí)的劉徽提出的 的方法的方法.他把圓周他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 這樣繼這樣繼續(xù)分割下去續(xù)分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長. 割之彌細(xì)，割之彌細(xì)，所失彌少，割所失彌少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，則于不

10、可割，則與圓合體而無與圓合體而無所失矣所失矣. .1、數(shù)列極限的直觀描述性定義、數(shù)列極限的直觀描述性定義 ），無無限限地地接接近近（即即，無無限限地地趨趨近近于于某某個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)的的項(xiàng)項(xiàng)無無窮窮數(shù)數(shù)列列無無限限增增大大時(shí)時(shí)，一一般般地地，如如果果當(dāng)當(dāng)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)0 aaaaannnn 的的極極限限是是數(shù)數(shù)列列或或者者說說為為極極限限，以以那那么么就就說說數(shù)數(shù)列列nnaaaa aann lim2、利用定義求數(shù)列極限、利用定義求數(shù)列極限4、常用數(shù)列的極限、常用數(shù)列的極限)( lim)2(是常數(shù)是常數(shù)ccn nn1lim)1(0c, )3(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 a0lim nan3、不是任何數(shù)列都有極限，但如果有極限，、不是任何數(shù)列都有極限，但如果有極限，則極限是唯一的則極限是唯一的aann lim1、若、若 ，則下面幾個(gè)結(jié)論中，正確的是（，則下面幾個(gè)結(jié)論中，正確的是（ ） 0 的的極極限限是是數(shù)數(shù)列列一一定定是是遞遞減減數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)列列一一定定是是遞遞增增數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)列列一一定定是是遞遞減減數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)列列aaaaaaaannnn a.b.c.d. 11 0 1 lim2aaaann或或、11a 不存在不存在3：判斷下列數(shù)列哪些有極限？如果有的話，極限等于多少？如果沒有，說說你的理由。 113nn11nn sin2n133n11nnn110n12345678項(xiàng)號(hào)項(xiàng)號(hào) 邊數(shù)邊數(shù)