第六節(jié)泰勒公式

1、 返回第六節(jié)第六節(jié) 泰勒公式泰勒公式一、多項(xiàng)式代替一、多項(xiàng)式代替二、泰勒公式二、泰勒公式第六節(jié)第六節(jié) 泰勒公式泰勒公式 導(dǎo)言：在理論分析和實(shí)際計算中我們經(jīng)常用簡單的函數(shù)近似表示和代替復(fù)雜的函數(shù)，由于多項(xiàng)式函數(shù)是最簡單的一類函數(shù)，它具有任意階導(dǎo)數(shù)，并且運(yùn)算簡單. 因此，想到用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替復(fù)雜的函數(shù).泰勒公式提供了用多項(xiàng)式函數(shù)代替函數(shù)的一種有效形式. 它是拉格朗日中值定理的進(jìn)一步推廣. 幾何意義為: 在點(diǎn) 的附近用曲線y=f (x)在點(diǎn) 處的切線來代替曲線y=f (x). 即進(jìn)行線性代替. 線性代替：由微分的概念知道，如果y=f (x)在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則有一、多項(xiàng)式代替)()()()(0000

2、 xxoxxxfxfxf |0很小時，有近似公式當(dāng)xx 0 x，即)(dxoyy. )()()(000 xxxfxfxf)(,(00 xfx0 x0 x 線性代替公式的不足：精度往往不能滿足實(shí)際需要；用它作近似計算時無法估計誤差.)( )()(0002處相等在xxfxp)( )()(0002處有相同的切線在xxfxp)( )()(0002曲方向處兩條曲線有相同的彎xxfxp 二次多項(xiàng)式代替：以 代替函數(shù) ，設(shè) f (x)在含 的某區(qū)間(a ,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),為了使 與 f (x)盡可能接近，應(yīng)使0 x22102)(xaxaaxp)(xf)(2xp用 在點(diǎn) 附近來逼近 f (x)，可以提高代替

3、精度,為了進(jìn)一步提高精度,需要采取多項(xiàng)式代替.0 x，002)(axp，102)(axp202! 2)(axp 由),( 00 xfa 可得，)(01xfa)(!2102xfa .)(! 21)()()( 2000002xxxfxxxfxfxp 所以)(2xpnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 來近似表達(dá)函數(shù) f (x),并使得當(dāng) 時， 為比 高階的無窮小, 且能寫出 的具體表達(dá)式, 以便能估計誤差.這樣的 如何？0 xx )()(xpxfnnxx)(0)()(xpxfn多項(xiàng)式代替：用簡單的多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行代替.即用)(xpn, )()(00 xfxpn, )()(00

4、 xfxpn, )()(00 xfxpn )()(0)(0)(xfxpnn 設(shè) f (x)在含 的某區(qū)間(a ,b)內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù), 為了使 與 f (x)盡可能接近，應(yīng)使)(xpn0 x, )()(00 xfxpn ，00)(axpn，10)(axpn，20! 2)(axpn ,!)(0)(nnnanxp對多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)得,! 3)(30axpn ),( 00 xfa ),(!10)(xfnann由此可得，)(01xfa),(! 2102xfa ),(! 3103xfa .)(!1)(! 21)()()( 00)(200000nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp 所以且有余項(xiàng)).)()

5、()()(0nnnxxoxpxfxr 定理（泰勒公式） 設(shè)函數(shù)f (x)在含x0的某區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直至n+1階導(dǎo)數(shù), 則當(dāng) 時有泰勒展開式 ),( )()()(!1 )(! 21)()()(00)(200000 xrxpxrxxxfnxxxfxxxfxfxfnnnnn . )()(0nnxxoxr余項(xiàng)常用的余項(xiàng)有佩亞諾型),(bax.)(,)(為泰勒多項(xiàng)式為泰勒展開式的余項(xiàng)并稱xpxrnn10)1()()!1(1)(nnnxxfnxr拉格朗日型余項(xiàng)).(0之間與介于xx二、泰勒公式 馬克勞林公式 若在泰勒公式中令 ，則有),()0(!1)0(! 21)0()0()()(2xrxfnxfx

6、ffxfnnn 00 x,)()!1(1)(1)1(nnnxfnxr（ 介于0與x之間）.此展開式稱為馬克勞林公式 .,)0(!1)0(! 21)0()0()()(2nnnxfnxfxffxp 稱為馬克勞林多項(xiàng)式 . 稱為余項(xiàng). 且有)(xrn拉格朗日型余項(xiàng). )()(nnxoxr佩亞諾型余項(xiàng) 例 設(shè)f (x)=cos x，寫出f (x)在點(diǎn)x=0處的1次、2次、4次、6次泰勒多項(xiàng)式.2cos)0( ),2cos()()()(nfxnxfnn).(1cos1xpx).(211cos22xpxx解 由泰勒多項(xiàng)式為),(! 4! 21cos442xpxxx),(! 6! 4! 21cos6642x

7、pxxxx)(1xp)(2xp)(4xp)(6xp)(8xp)(xf 例 設(shè) 寫出帶有拉格朗日余項(xiàng)的馬克勞林公式.xexf)(1)0( ,)()()(nxnfexf解 由) 10( )!1(! 2112nxenxxxenxnx所以， 帶有拉格朗日余項(xiàng)的馬克勞林公式為xexf)(),(! 3! 21332xpxxxex).(11xpxex).(! 21122xpxxex!1! 2111ne時，當(dāng)1x718281. 2, 9en常用的泰勒公式12)!1(!2!1enxnxxnenxxx1212153)!12(2) 12(sin)!12() 1(! 5! 3sinnnnxnnxnxxxxx)!2() 1(cos)!2() 1(! 4! 21cos2242nxmxnxxxxnnn)() 1(32)1ln(132nnnxonxxxxx例 求極限 xxxxx30sincossinlim解 將分子分別用馬克勞林公式表示)0(sin