曲線積分與曲面積分習(xí)題課

1、第十章 習(xí)題課曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分一一 基本要求基本要求1理解兩類(lèi)曲線和曲面積分的概念理解兩類(lèi)曲線和曲面積分的概念, ,了解了解兩類(lèi)積分的性質(zhì)以及兩類(lèi)積分的關(guān)系兩類(lèi)積分的性質(zhì)以及兩類(lèi)積分的關(guān)系. .2掌握計(jì)算兩類(lèi)曲線、曲面積分的方法掌握計(jì)算兩類(lèi)曲線、曲面積分的方法.3掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件與路徑無(wú)關(guān)的條件.4.了解高斯公式了解高斯公式,并會(huì)用公式求曲面積分并會(huì)用公式求曲面積分.5會(huì)用曲線積分和曲面積分求一些幾何會(huì)用曲線積分和曲面積分求一些幾何量與物理量（弧長(zhǎng)量與物理量（弧長(zhǎng),質(zhì)量質(zhì)量,重心重心,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,引力、功

2、和流量等）引力、功和流量等）. . 二二. .要點(diǎn)提示要點(diǎn)提示( ),( ),xtytt 22( , )( ),( )( )( ),lf x y dsftttt dt 22( )( ),dstt dt 弧微分弧微分設(shè)設(shè)l：（1）對(duì)弧長(zhǎng)（第一類(lèi)）對(duì)弧長(zhǎng)（第一類(lèi)）1.曲線積分的計(jì)算曲線積分的計(jì)算化為定積分計(jì)算化為定積分計(jì)算 （2）對(duì)坐標(biāo)（第二類(lèi)）對(duì)坐標(biāo)（第二類(lèi)）( ),( ),xtyt ( , )( , )( ),( )( )( ),( )( )lp x y dxq x y dyptttqttt dt 設(shè)設(shè)l： ,ab 從從到到2曲面積分的計(jì)算（化為二重積分）曲面積分的計(jì)算（化為二重積分）( ,

3、, )f x y z ds :( , )zz x y 22:( , ),1yzxx y z dsxx dydz 22:( , ),1xzyy x z dsyy dxdz 若若（1）對(duì)面積（第一類(lèi)）的曲面積分）對(duì)面積（第一類(lèi)）的曲面積分 22 , , ( , )1( , )( , )xyxydf x y z x yzx yzx y dxdy 若 下側(cè)，則若 上側(cè)，則（2）對(duì)坐標(biāo)（第二類(lèi)）的曲面積分）對(duì)坐標(biāo)（第二類(lèi)）的曲面積分 ( , , ), , ( , )xydr x y z dxdyr x y z x y dxdy :( , )zz x y ( , , ), , ( , )xydr x y

4、z dxdyr x y z x y dxdy ( , , )( , ), ,yzdp x y z dydzp x y zy z dydz :( , ),xx y z :( , ),yy x z ( , , ). ( , ),zxdq x y z dzdxq x y z xz dzdx :( , )zz x y ()dlqpdxdypdxqdyxy 3.格林公式格林公式 平面上曲線積分與二重積分的關(guān)系平面上曲線積分與二重積分的關(guān)系（1）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件l取正向取正向.以及等價(jià)關(guān)系以及等價(jià)關(guān)系.qpxy （2）添加曲線使積分曲線弧段成為閉曲線，）添加曲線使積分曲線

5、弧段成為閉曲線，利用格林公式求曲線積分利用格林公式求曲線積分.4.4.高斯公式高斯公式 曲面積分與三重積分的關(guān)系曲面積分與三重積分的關(guān)系()pqrdvpdydzqdzdxrdxdyxyz . 為為外外側(cè)側(cè)三 問(wèn)題與思考問(wèn)題問(wèn)題1 1 下列運(yùn)算正確嗎？下列運(yùn)算正確嗎？ 22222222232224122xyaldxyaxydsadsaxydada 解（解（1）正確）正確. (2) 錯(cuò)誤，因?yàn)槎胤e分的積分包括圓錯(cuò)誤，因?yàn)槎胤e分的積分包括圓的邊界和內(nèi)部，正確的是的邊界和內(nèi)部，正確的是 222222240012axyaxyddrrdra 22222222232224122xyaldxyaxydsa

6、dsaxydada 問(wèn)題問(wèn)題1 設(shè)設(shè) 為平面為平面xza222xya 3(1)()2xz dsadsaa 的的面面積積 3(2)()2xz dxdyadxdyaa 的的面面積積在柱面在柱面下面兩個(gè)積分的解法是否正確？下面兩個(gè)積分的解法是否正確？?jī)?nèi)那一部分的上側(cè)，內(nèi)那一部分的上側(cè)，三 問(wèn)題與思考正確正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤是是 在在xoy面上的投影，面上的投影， 因?yàn)榈诙€(gè)積分是對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，因?yàn)榈诙€(gè)積分是對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，dxdyds()dxz dxdyadxdyadxdy 222:d xya如果如果 是下側(cè)，則是下側(cè)，則3()dxz dxdyadxdya 故正確的作法是：故正確的作法是： 3ada

7、 的的面面積積其中的微元其中的微元3()2,xz dsa 3()2xz dxdya 問(wèn)題問(wèn)題2. 如何正確理解兩類(lèi)曲線積分和曲面積分的如何正確理解兩類(lèi)曲線積分和曲面積分的概念？概念？答：由于實(shí)際需要答：由于實(shí)際需要, ,曲線積分與曲面積分為兩種曲線積分與曲面積分為兩種類(lèi)型類(lèi)型, ,有關(guān)質(zhì)量重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等數(shù)量積分問(wèn)有關(guān)質(zhì)量重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等數(shù)量積分問(wèn)題導(dǎo)出第一類(lèi)線面積分題導(dǎo)出第一類(lèi)線面積分; ;有關(guān)變力作功有關(guān)變力作功, ,流體流過(guò)流體流過(guò)曲面的流量等向量問(wèn)題導(dǎo)出第二類(lèi)線、面積分曲面的流量等向量問(wèn)題導(dǎo)出第二類(lèi)線、面積分. . 前者被積函數(shù)化為數(shù)量函數(shù)沿區(qū)域積分前者被積函數(shù)化為數(shù)量函數(shù)沿區(qū)域積分, ,

8、無(wú)需無(wú)需考慮方向性考慮方向性, ,而后者被積函數(shù)是向量函數(shù)而后者被積函數(shù)是向量函數(shù), ,必須考必須考慮方向慮方向. .因此因此, ,一個(gè)函數(shù)的積分可以由積分區(qū)域的一個(gè)函數(shù)的積分可以由積分區(qū)域的有向或無(wú)向分為兩種類(lèi)型的積分有向或無(wú)向分為兩種類(lèi)型的積分. . 在所學(xué)過(guò)的積分中區(qū)域無(wú)向的積分有：在所學(xué)過(guò)的積分中區(qū)域無(wú)向的積分有：重積分重積分, ,第一類(lèi)曲線積分和第一類(lèi)曲面積分第一類(lèi)曲線積分和第一類(lèi)曲面積分區(qū)域有向的積分有：區(qū)域有向的積分有：定積分定積分, ,第二類(lèi)曲線積分和第二類(lèi)曲面積分第二類(lèi)曲線積分和第二類(lèi)曲面積分. . 曲線的方向是由起點(diǎn)到終點(diǎn)（定積分）曲線的方向是由起點(diǎn)到終點(diǎn)（定積分）或切向量

9、的方向來(lái)確定或切向量的方向來(lái)確定, ,曲面的方向則由曲曲面的方向則由曲面上點(diǎn)的法向量所指向的側(cè)來(lái)確定面上點(diǎn)的法向量所指向的側(cè)來(lái)確定. .問(wèn)題問(wèn)題3 設(shè)設(shè) 是半球面是半球面2222(0)xyzry 0zds 0zdxdy 的外側(cè)的外側(cè). .有人說(shuō)：有人說(shuō)：“由對(duì)稱性知由對(duì)稱性知故同樣也有故同樣也有 ”, 對(duì)嗎對(duì)嗎?不對(duì)不對(duì) 討論題 由此給出對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的由此給出對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的幾何意義幾何意義. 已知一柱面的準(zhǔn)線（平面曲線）和高，已知一柱面的準(zhǔn)線（平面曲線）和高，可以利用積分求出它的面積嗎？可以利用積分求出它的面積嗎？提示：由定積分的幾何意義推廣提示：由定積分的幾何意義推廣.答：柱面的側(cè)面

10、積答：柱面的側(cè)面積( , )lf x y ds （準(zhǔn)線準(zhǔn)線y=y(x)為底邊，為底邊，z=f (x,y)為為高高的面積）的面積）oxyz),(yxfz y=y(x)( , )( )0( , )lf x y dsyy xzzf x y 表表示示柱柱面面介介于于平平面面與與之之間間部部分分的的面面積積. .)(:xyyl 準(zhǔn)準(zhǔn)線線oxyz),(yxfz )(xyy 柱面：柱面：平面上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分幾何意義：平面上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分幾何意義：例例1 計(jì)算計(jì)算 12llxy dsxy dx :1,1,00,1lxy從從到到。 1,0 0,1oyx四 典型題目解解 21:1,12l yx dsy dxd

11、x 10122lxy dsdx 12lllxy dsdsds或或 2:1,:10,l yx x 0111lxy dxdx 22222, :nlxydsl yax 例求例求上半圓周上半圓周 222nnllxydsads解解 改寫(xiě)改寫(xiě)l：222,0 xyay221nnladsa 因?yàn)榉e分曲線因?yàn)榉e分曲線l關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)軸對(duì)稱，函數(shù) 2xy是是x221,43xy 22(234)dlxyxys 222d(34)dllxy sxys 2d0lxy s 22(34)d12d12llxyssa 22(234)d12lxyxysa 例例3 設(shè)設(shè)l為橢圓為橢圓其周長(zhǎng)為其周長(zhǎng)為a，求，求解解 原式原式=的

12、奇函數(shù)，因此有的奇函數(shù)，因此有而而所以所以 l取順時(shí)針?lè)较蛉№槙r(shí)針?lè)较? .()d()d()dlzyxxzyxyz 221,2xyxyz 221xy cos ,sin ,xt yt 2zxy 2cossin ,ztt t 從從 變到變到0. 2 例例4 4 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分其中其中l(wèi)是曲線是曲線因此可令因此可令再由再由得得解解 這里這里l由一般方程給出，首先要將一般由一般方程給出，首先要將一般從從z軸正向看去，軸正向看去，方程化為參數(shù)方程方程化為參數(shù)方程. 注意到注意到02(2 cos )( sin ) (2cos2 sin ) costtttt 02(2sin2cos2cos21)d

13、2tttt 于是于是cos , sin , 2cossin ,xtytztt l參數(shù)方程參數(shù)方程t 從從 變到變到0. 2 ()d()d()dlzyxxzyxyz (cossin )(sincos )dttttt25 x ds 例例求求2222xyzr：，第第一一卦卦限限部部分分. .222221xyrdxdydszzdxdyrxy2221:zrxy解解法法2222:,0,0 xydxyrxy 22222222:,0,0 xyxydrx dxdydxyr xyrxy 32422200cos6rrddrr 222221xyrdxdydszzdxdyrxy222:zrxy2x ds 解法解法2 由

14、對(duì)稱性（輪換性）由對(duì)稱性（輪換性）222x dsy dsz ds 222213x dsxyzds2224143386rrdsrr 22226 xyzxy dxdy 例例求求， 22:10zxyz的下側(cè)的下側(cè).22 :1xyxoydxy下下解解向向面面的的投投影影區(qū)區(qū)域域 222222=xydxyzxy dxdyxy dxdy 2120023dd 2xdydzzdzdxyzdxdy 是是介于介于 2240 xyx 13z 之間的部分，它的法向量指向前側(cè)之間的部分，它的法向量指向前側(cè). .20yzdxdy 解解 由于曲面由于曲面在在xoy面的投影為一半圓周面的投影為一半圓周曲線，曲線，所以所以例例7 求求面積為面積為0，zxy,zdzdx 21:4yx (0,13)xz22:4yx x,|13,02zdz xzx 120zxzxddzdzdxzdz