高一立體幾何知識點總結(jié)(學(xué)生版)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第二章知識點總結(jié)一、平面通常用一個平行四邊形來表示.平面常用希臘字母 、 、 或拉丁字母 M、 N、 P 來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示，如平面 AC.在立體幾何中，大寫字母 A，B，C，表示點，小寫字母， a,b,c, l,m,n, 表示直線，且把直線和平面看成點的集合，因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關(guān)系，例如：a) A l 點 A 在直線 l 上； A 點 A 不在平面 內(nèi)；b) l 直線 l 在平面 內(nèi)；c) a 直線 a 不在平面 內(nèi)；d) l m=A直線 l 與直線 m相交于 A 點；e) l=A 平面 與直線 l 交于 A 點；f) =l

2、 平面 與平面 相交于直線 l.二、平面的基本性質(zhì)公理 1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).公理 2如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.公理 3經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論 1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論 2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論 3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.公理 4平行于同一條直線的兩條直線互相平行三、證題方法直接證法證題方法反證法間接證法同一法四、空間線面的位置關(guān)系共面 平行沒有公共點(1)直線與直線相交有且只有一個公

3、共點異面 ( 既不平行，又不相交 )直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行沒有公共點(直線在平面外 )相交有且只有一公共點(3) 平面與平面相交有一條公共直線 ( 無數(shù)個公共點 ) 平行沒有公共點五、異面直線的判定證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.有時也可用定理“平面內(nèi)一點與平面外一點的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”.六、線面平行與垂直的判定(1) 兩直線平行的判定定義：在同一個平面內(nèi)，且沒有公共點的兩條直線平行.如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，即若 a ,a垂直于同一平面的兩直線平行，即若 a ， b

4、 ，則 a b（線面垂直的性質(zhì)定理）兩平行平面與同一個平面相交， 那么兩條交線平行， 即若 , , =b, 則 a b（面面平行的性質(zhì)公學(xué)習(xí)必備歡迎下載理）中位線定理、平行四邊形、比例線段， =b, 則 a b. （線面平行的判定定理）平行于同一直線的兩直線平行，即若a b,b c, 則 ac. （公理 4）(2) 兩直線垂直的判定定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直. 即若 b c,a b, 則 a c一條直線垂直于一個平面，則垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線. 即若 a ,b ， a b.三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)

5、的一條直線，若和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 .如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面的垂線垂直. 即若 a ,b , 則 a b.(3) 直線與平面平行的判定定義：若一條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行.如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行. 即若 a ,b，a b, 則 a . （線面平行的判定定理）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面，即若 ,l，則 l .練習(xí)、如圖：S 是平行四邊形ABCD 平面外一點，M , N 分別是 SA, BD 上的點，且求證： MN / 平面 SBCSAM =BN，

6、SMNDMDCNAB(4) 直線與平面垂直的判定定義：若一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直.如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面. 即若m ， n ， mn=B,l m,l n, 則 l . （線面垂直判定定理）如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面. 即若 l a,a , 則 l .一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面，即若 ,l ，則 l .如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面，即若 ,a = ，l ， l a, 則 l .( 面面垂直的

7、性質(zhì)定理)練習(xí)、已知E， F 分別是正方形ABCD 邊 AD ， AB 的中點， EF 交 AC 于 M ， GC 垂直于 ABCD 所在平面（ 1）求證： EF平面 GMC （ 2）若 AB 4， GC 2，求點 B 到平面 EFG的距離內(nèi)心：到四個面的距離相等外心：到四個頂點的距離相等垂心：四個頂點到底面的高的交點重心：頂點與底面重心的連線的交點學(xué)習(xí)必備歡迎下載(5) 兩平面平行的判定定義：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面平行，即無公共點 .如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，即若 , 則 . （面面平行判定定理）a,b ， ab=P,a ,b推論：一

8、個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即若 ,a b=P,a c,b d, 則 .a,b ,c,d(6) 兩平面垂直的判定定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直，即二面角 .如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直，即若l ,l（面面垂直判定定理） a =90° ，則 .七、空間中的各種角等角定理及其推論定理若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個角相等推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角1、異面直線所成的角.( 或直角)相等.(1) 定義： a、

9、b 是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a a,b b, 則 a和 b所成的銳角( 或直角 ) 叫做異面直線 a 和 b 所成的角 .(2) 取值范圍： 0° 90°.(3) 求解方法根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角 ；解含有 的三角形，求出角 的大小 .2、直線和平面所成的角斜線和射影所成的銳角(1) 取值范圍 0° 90°(2) 求解方法作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角 .解含 的三角形，求出其大小.3、二面角及二面角的平面角(1) 半平面直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面(2) 二面角條直線出發(fā)的兩個半平面

10、所組成的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱，這兩個平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.若兩個平面相交，則以兩個平面的交線為棱形成四個二面角.二面角的大小用它的平面角來度量，通常認為二面角的平面角 的取值范圍是0° 180°(3) 二面角的平面角以二面角棱上任意一點為端點，分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角 .如圖， PCD是二面角 -AB- 的平面角 . 平面角 PCD的大小與頂點C在棱 AB上的位置無關(guān).二面角的平面角具有下列性質(zhì)：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面 PCD.(ii) 從二面角

11、的平面角的一邊上任意一點( 異于角的頂點 ) 作另一面的垂線， 垂足必在平面角的另一邊 ( 或其反向延長線)上.(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個面都垂直，即平面找 ( 或作 ) 二面角的平面角的主要方法.(i)定義法(ii)垂面法PCD ，平面PCD .學(xué)習(xí)必備歡迎下載(iii)三垂線法( ) 根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)(4)求二面角大小的常見方法先找 ( 或作 ) 出二面角的平面角 ，再通過解三角形求得 的值 .練習(xí)、在正四面體 ABCD 中， E 為 AD 的中點，求直線CE 與平面 BCD 所成角的正弦值 .AEBDFH八. 空間的各種距離C點到平面的距離(1)定義 面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.(2)求點面距離常用的方法：1) 直接利用定義求找到 ( 或作出 ) 表示距離的線段；抓住線段 ( 所求距離 ) 所在三角形解之 .2)