重修中值定理

1、第三章第三章 中值定理與導數(shù)的中值定理與導數(shù)的 應用應用一一 、中值定理、中值定理幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧cabc注意注意:1 若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結論可能不成立其結論可能不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2的一切條件的一切條件滿足羅爾定理滿足羅爾定理不存在外不存在外上除上除在在f . 0)(2-2 xf使使內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點點能能，但但在在區(qū)區(qū)間間;0, 01 , 0(,1 xxxy.1 , 0, x

2、xy又例如又例如,不止一個。不止一個。 )2(3) 若若f(a)=f(b)=0,則則a,b為為f(x)的兩個零點。的兩個零點。結論：可導函數(shù)的兩個零點之間至少有一個導結論：可導函數(shù)的兩個零點之間至少有一個導函數(shù)的一個零點函數(shù)的一個零點拉格朗日（拉格朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 (1)如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,(2)(2)在開在開),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,那末在那末在 ),(ba內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. . ).()()( fabafbf 結論亦可寫成結論亦可

3、寫成2 、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理ab1 2 xxoy)(xfy abcdnm幾何解釋幾何解釋:.,abcab線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧).)()()(abfafbf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關系.注：注： 1 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式,),(,)(內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)，上連續(xù)，在在設設babaxf).10()()()(000 xxxfxfx

4、xf則有則有),(,00baxxx 推論推論.)(,)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導數(shù)恒為零上的導數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)ixfixf 2 個重要結論個重要結論)()()()(00 xxfxfxf 3、柯西、柯西(cauchy)中值定理中值定理柯西（柯西（cauchycauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xf 在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,且且)(xf在在),(ba內(nèi)每一點處均不為零，那末在內(nèi)每一點處均不為零，那末在),(ba內(nèi)內(nèi)至少有一點至少有一點)(ba , ,使等式使等式)

5、()()()()()( ffafbfafbf 成立成立. . 幾何解釋幾何解釋:)(1 f)(2 fxoy )()(xfyxfx)(afa)(bfbcd)(xfnm.),(),(abffcab弦弦該點處的切線平行于該點處的切線平行于在在一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 二二 典型題型典型題型.,sinln.上的正確性上的正確性在在驗證羅爾定理對驗證羅爾定理對6561 xy 解解.,)(上連續(xù)上連續(xù)在在656 xf內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在在在又又)65,6(cot xy )65()6( ff 并且并且2ln 1.驗證定理的正確性驗證定理的正確性.,sinln上滿足羅爾定理的條件上滿足羅爾定理

6、的條件在在656 xy , 0cot xy由由內(nèi)顯然有解內(nèi)顯然有解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)( f則則這就驗證了命題的正確性這就驗證了命題的正確性.2 根（零點）的判別根（零點）的判別 1 f (x) = x(x-1)(x-2)，不解方程，問，不解方程，問 f (x) 有幾個有幾個零點，位于哪個區(qū)間。零點，位于哪個區(qū)間。 解解 ：顯然：顯然f(x)處處可導，處處可導，f（0）= f（1）= f（2），），由羅爾定理知，由羅爾定理知， 0)()1 , 0(11 f使使0)()2 , 1(22 f使使而而f (x) 是二次多項式，僅有兩個根，所以是二次多項式，僅有兩個根，所以 f

7、 (x) 有有且僅有兩個零點，分別位于區(qū)間（且僅有兩個零點，分別位于區(qū)間（0，1）、（）、（1，2）內(nèi)。內(nèi)。 有有多多少少零零點點。思思考考：)(, )()(20110 xgnxxgn 內(nèi)至少有一零點。內(nèi)至少有一零點。在在證明多項式證明多項式設設)1 , 0()(, 01221010nnnxaxaaxfnaaa 121012)(: nnxnaxaxaxf令令證明證明0)0(12)1(10 fnaaafn0)(10 xf），（根據(jù)羅爾定理根據(jù)羅爾定理 內(nèi)至少有一零點。內(nèi)至少有一零點。在在即即)1 , 0()(10nnxaxaaxf )()(), 0(, 0)(), 0(, 0)()1(ffaaf

8、aaxf 使得使得證明證明可導可導上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設設（1） 分析：分析： 存在存在（0，a）使（）使（1）成立）成立 0)()( ff0 )( xxxf證明：證明： 令令 )()(xxfx 。）（）（且且可可導導，連連續(xù)續(xù)，在在在在則則0000 aaax ),(,)(由羅爾定理，存在由羅爾定理，存在（0，a），使），使 0)( ，即即0)()( ff )()(ff 3 中值等式的證明中值等式的證明為一實數(shù)）為一實數(shù)）使使證明證明上可導，上可導，上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設設 (. 0)()(),(, 0)()(),(,)()2( ffbabfafbabaxf0)()( ff分分析析：，

9、利用羅爾定理即可。，利用羅爾定理即可。證明：令證明：令)()(xfexx 0)()( fefe0 )( xxxfe小結：用羅爾定理證明微分中值等式的一般方法小結：用羅爾定理證明微分中值等式的一般方法 （1） 將欲證等式寫成將欲證等式寫成g()= 0的形式的形式（2） 觀察分析能否將觀察分析能否將 g()或或 g()h()(h()應是一非應是一非零因子零因子)看成某函數(shù)看成某函數(shù) f(x)在在 x =點的導數(shù)點的導數(shù).（3） 檢驗輔助函數(shù)檢驗輔助函數(shù) f(x) 在所論區(qū)間上是否滿足在所論區(qū)間上是否滿足羅爾定理的條件，如滿足則定理得證。羅爾定理的條件，如滿足則定理得證。常用輔助函數(shù)：常用輔助函數(shù)：

10、xk f(x)，ex f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(xx0)k f(x)，等。等。)()(,)(xgxfxxf（3） )()()()()(xgagxfafx 令令0)( a 則則)()()()()(bgagbfafb 在在a ,b上連續(xù)上連續(xù),在在(a,b)內(nèi)可內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理得導，由拉格朗日中值定理得)(x baabab )()()(即即 )()()()()()()()()( gagfafabbgagbfaf 設設f(x)在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a ,b)內(nèi)可導內(nèi)可導,證明證明)()()()()()()()()(),( gagfafabbgagbfafba

11、 使使得得證明證明 （4）).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(, 1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點至少存在一點證明證明內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設函數(shù)設函數(shù)證證分析分析:結論可變形為結論可變形為 2)(01)0()1(fff .)()(2 xxxf,)(2xxg 設設,1 , 0)(),(條件條件上滿足柯西中值定理的上滿足柯西中值定理的在在則則xgxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff ).0()1(2)(fff 即即4 證明恒等式證明恒等式 （1 1）).11(2arccosarcsin xxx 證明證明證證1

12、 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設設)11(11)(22xxxf . 0 )1 , 1(,)( xcxf)1()1()0( fff又又,2 .2 c即即.2arccosarcsin xx5 不等式的證明不等式的證明（1 1）.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當證明當證證),1ln()(xxf 設設, 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111 , 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即)00(二二 洛必達法則洛

13、必達法則 1、 洛必達法則洛必達法則;)()(,)1(都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當當設設xfxfax 定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. .; 0)()()(,)2( xfxfxfa都存且都存且及及點的某去心鄰域內(nèi)點的某去心鄰域內(nèi)在在);()()(lim)3(或為無窮大或為無窮大存在存在xfxfax .)()(lim)()(limxfxfxfxfaxax 那末那末 2 洛必達法則洛必達法則ii;)()(,)1( 都趨于都趨于及及函數(shù)函數(shù)時時當當設設xf

14、xfax)( ; 0)()()(,)2( xfxfxfa都存且都存且及及點的某去心鄰域內(nèi)點的某去心鄰域內(nèi)在在.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(xfxfxfxfxfxfaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在.,2該法則仍然成立該法則仍然成立時時當當 x使用洛必達法則，即使用洛必達法則，即定理的條件，可以繼續(xù)定理的條件，可以繼續(xù)滿足滿足型，且型，且仍屬仍屬如果如果注注)(),(00)()(1xfxfxfxf .)()(lim)()(lim)()(lim xfxfxfxfxfxfaxaxax.)()(lim)()(limxfxfxfxfxx 3 洛必達法則中的條件是

15、充分而非必要的洛必達法則中的條件是充分而非必要的. 例例1 1解解例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00( 二二 例子例子xxx1)1(lim0 所以當所以當x 0時時, (1 + x ) 1 x (為實數(shù)）為實數(shù)） 特別地特別地 nxxn11 1)1(lim1)1(lim100 xxxxx例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx 求求axbxbbxaxaxsincossi

16、ncoslim0 原式原式. 1 )00()( 例例5 5.3tantanlim2xxx 求求)( 解解xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 注注:可以先化簡并且極限不為可以先化簡并且極限不為0的因子的極限可以先求出的因子的極限可以先求出.另解另解xxxxxcos3sin3cossinlim2 原式原式xxxcos3coslim2 3sin3sin3lim2 xxx 注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達

17、法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好但與其它求極限方法結合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 例例7 設設f(x)二階可導，求二階可導，求 20)()(2)2(limhxfhxfhxfh 解解 ：由：由f(x)二階可導，知二階可導，知f(x) 連續(xù)，連續(xù)， 連連續(xù)續(xù))(xf 00但不可再用洛必達法則，但不可再用洛必達法則，hhxfhxfh2)(2)2(2lim0 原式原式是是否否連連續(xù)續(xù)不不知

18、知道道)(xf 是否存在無法判斷。是否存在無法判斷。)()2(2lim0hxfhxfh 下一步應利用二階導數(shù)定義下一步應利用二階導數(shù)定義 ： 00hxfhxfxfhxfh)()()()2(lim0 )()(2xfxf )(xf 型未定式解法型未定式解法三、三、00,1 ,0 ,0 例例1 1解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe . 關鍵關鍵: :將其它類型未定式化為洛必達法則可解決將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型的類型 .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或例例2 )0(lnlim0 xxx xxxlnlim0101

19、lim xxx0lim0 xx例例1 1解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxx2cos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:xxxxx sinlim0?1)1ln(1lim30 xxx例例解：原式解：原式 = )1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 21 20)1ln(limxxxx xxxx21lim0 )1(21lim0 xx )11ln(lim. 32xxxx 例例)1()1ln(11lim20txtttt 令令原式原式解：解：20)1ln(limtt

20、tt ttt2111lim0 21)1(2lim0 tttt步驟步驟:)(,1 ,0. 3)(00 xvxu型型 .0)(ln)( xuxv例例1 1解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原原式式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 )(ln)()()(xuxvxvexu 例例2 2解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例3 3解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數(shù)得取對

21、數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式一、總結一、總結 1 三個中值定理及應用三個中值定理及應用羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。求求極極限限的的方方法法結結合合使使用用限限的的方方法法，注注意意與與其其它它掌掌握握用用洛洛必必達達法法則則求求極極2二、練習題二、練習題1、求極限、求極限xxx)arctan2(lim).4( xexxx 10)1(lim1、)1sin1(lim2220 xxx 、xxxxxcbacba11110)(lim3 、xxxe

22、x211)1(1lim20 2)1(21lim20exex xexxx 10)1(lim1、 210)1ln(1)1(limxxxxxxx )00()1()1ln()1(lim20 xxxxxex （或（或xxex2)1ln(lim0 )2e )1sin1(lim2220 xxx 、xxxxx22220sinsinlim 40)sin)(sin(limxxxxxx 30sinsinlimxxxxxxx 203cos1lim2xxx 220321lim2xxx )( 4220sinlimxxxx 或或304cossin22limxxxxx 3042sin2limxxxx 20122cos22li

23、mxxx 31 2062cos1limxxx 31 xxxxxcbacba11110)(lim xcbaxcxbxaxe 111ln0lim1111110lnlnlnlim xxxxxxxcbaccbbaaecbaccbbaae lnlnlncbacbacba 1)(3、)1( xxx)arctan2(lim).4( 解法一：解法一： 原極限原極限1arctan2lim xxxe 1arctan2lim xxxe 解法二：先求解法二：先求: xxxarctan2lnlim 1arctanln2lnlim xxx 原極限原極限.2 e.2111arctan1lim22 xxxx)1(12lim22xxxe .2 e2 對函數(shù)對函數(shù)f (x) = x2 +2 ，f(x)= x31在在 1,2 上驗證上驗證柯西定理的正確性?？挛鞫ɡ淼恼_性。 解解 ：易知：易知 f (x)、f(x)在在 1 ,2 上連續(xù)上連續(xù),(1 ,2)內(nèi)可導，內(nèi)可導，23)(xxf 且且730736)1()2()1()2( ffff 3232)()(2 ff這樣就驗證了柯西定理的正確性。這樣就驗證了柯西定理的正確性。 7332 令令)2 , 1(914 解得解得滿足柯西中值定理的條件。滿足柯西中值定理的條件。 在在(1 ，2)內(nèi)不為