概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)王明慈第二版第3章隨機(jī)變量的數(shù)字特征25節(jié)

1、11/14/20211 它反映隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的它反映隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征一個(gè)重要的數(shù)字特征. .復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望1,kkkexx px離散型( ),x f x dxxex連續(xù)型1(), ()( ) ( ),kkkg xpxeye g xg x f x dxx離散型連續(xù)型11/14/20212基本內(nèi)容：基本內(nèi)容： 一、方差的定義一、方差的定義 二、方差的性質(zhì)二、方差的性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 方差方差11/14/20213一、方差一、方差 (variance)1. 1. 問題的導(dǎo)入問題的導(dǎo)入x 8 9 10p 0.1 0.8 0.1 y

2、8 9 10 p 0.4 0.2 0.4引例引例 比較甲乙兩個(gè)射手的射擊水平分析分析31()8 0.19 0.810 0.1iiie xx p 31( )8 0.49 0.210 0.4iiie yx p 9.0乙9.0甲但是乙射手的波動(dòng)性較大, 不夠穩(wěn)定.11/14/20214為了數(shù)學(xué)上的方便，如何描述這種差異呢？如何描述這種差異呢？2()iiixe xpp(x=xi)=pi ( i=1,2, )其平均射擊水平為e(x)， 則他每次射擊的波動(dòng)性為或 | xi - e(x) |以 xi-e(x) 2 代替 | xi-e(x) |則該射手的平均射擊波動(dòng)為2)(xexexi - e(x)設(shè)某射手擊

3、中的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量x，其分布律為11/14/202152.2.方差方差 (variance 或或 dispersion).xexexd2)()()(xd(),x 定義定義. 設(shè)x是一隨機(jī)變量，則稱ex-e(x)2稱為x的方差方差記作d(x)即方差的算術(shù)平方根稱為 x 的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差，記作即).()()()(2xxdxdx或若exe(x)2存在，2()x或11/14/20216注注: :(2) 方差d(x) 用來體現(xiàn)隨機(jī)變量x取值分散的程度,反映了x偏離其數(shù)學(xué)期望e(x)的程度.(3) 如果d(x)值越大(小小)， 表示x取值越分散(集中集中),以e(x)作為隨機(jī)變量x的代表性越差（好好）.0

4、;(1) 由定義知，d(x)=ex-e(x)22()()d xe xe x方方差差11/14/202173.3. 方差的計(jì)算方差的計(jì)算 iiipxexxd2)()(, 2 , 1,)(ipxxpxii的分布列為其中dxxfxexxd)()()(2(1)利用隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式離散隨機(jī)變量的方差連續(xù)隨機(jī)變量的方差).(的概率密度為其中xfx11/14/20218(2)(2)利用方差公式利用方差公式.22)()()(xexexd)(xd)(2xexe且且e(x2)也存在也存在, 則則由于由于)()(222xexxexe22)()()(2)(xexexexe.)()(22xexe定理：定理：設(shè)

5、隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望e(x)存在，存在，11/14/20219),(px解解: :,)(xe) 1( . .例例1.1. 若若)(2xe02!kkekk12!kkekk求求d(x).11)!1(kkkke01!) 1(mmkmmme!00mmmmmeemm)(xd22)()(xexe2) 1(已求得已求得=e(x),其中其中xp( )11/14/202110已求得,2)(baxe.322baba.12)(2ab例例2.2.若xu (a, b), 求d(x).)(2xedxabxba12)(xd解:22)()(xexe222)2(3bababa11/14/202111),(e

6、x解解: :,1)(xe22.21例例3.3. 若)(2xedxexx02dtettxt0221求d(x).已求得tdet0221)2(10022dte tettt)(xd22)()(xexe2212=e(x),其中xe( 1)11/14/202112補(bǔ)充：01)(dxexx函數(shù)：函數(shù)有下列結(jié)論);() 1() 1 (; !1)(2)nn.)21(, 1)2() 1 () 3(),(ex例例)(2xedtettxt0221求d(x).2222)2(21)3(111/14/202113；為常量ccd, 0)() 1 (；為常量則存在,若cxdccxdxd),()()()2(2二、方差的性質(zhì)二、方

7、差的性質(zhì))(cd)(2xece2cce證證:. 0證證:)(cxd)(2cxecxe)(2xcecxe)(22xexce)(22xexec).(2xdc11/14/202114則存在與且相互獨(dú)立與若，)()() 3(ydxdyx. )()()(ydxdyxd證證:22)()()(yxeyxeyxd222)()(2yexeyxyxe)()(2)()()()()(2)(2222yexeyexeyeyexexe)()()()(2222yeyexexe).()(ydxd11/14/202115故故 dxi = exi 2 -(-(exi ) )2 exi =1p + 0(1- -p ) = p,且且

8、exi2 = p,則則 是是n 次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中a出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)， 1niixx= p p 2 = p (1 - -p) = p q， i=1, 2, n因因 x1, , xn 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，1niidxdx= np q. 顯然顯然 p( (xi=1) )= p, , p( (xi=0) )=1- -p, , = n p; 1niiexex求方差求方差d(x).解解: :例例4.4. 設(shè)設(shè)x服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布b(n, ,p),),), 2 , 1(., 0, 1nixi不不出出現(xiàn)現(xiàn)a a次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中i i在在第第出出現(xiàn)現(xiàn)a a次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中i i在在第第；設(shè)設(shè)xi為第為

9、第i次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件a出現(xiàn)的次數(shù)，即出現(xiàn)的次數(shù)，即11/14/202116u( (a, b) ) e(e( ) ) 其其它它,0;,1)(bxaabxfp( ( ) ) 2a b2()12b a!)(kekxpk 121b( (n, p) ) ( (01) ) p pq np npqkkqpkxp1)(knknkqpckxp )(1,10,1 , 0qppk1, 10, 1 , 0qppnk, 1 , 0,0k,0;( )0,0.xexf xx 常用隨機(jī)變量的期望與方差常用隨機(jī)變量的期望與方差分布分布分布列或密度函數(shù)分布列或密度函數(shù)期望期望方差方差11/14/202117例例5.5.已

10、知隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)與設(shè)隨機(jī)變量)()(2xxd, 0)(x.xxexx*)()(試證.xdxe*1)(0,)(*證：證：. 1(標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量)(*xe)()(xxexe)()(xxexe都存在, 且)()()(xxexe)(*xd)()(xxexd)()(2xxexd)()(xdxd. 011/14/202118n 次隨機(jī)取值的平均值的期望不變次隨機(jī)取值的平均值的期望不變), 1(,2nidxexii 令令,11niixnx求求.,xdxe解解 )1(1niixnexe)(11niixenniiexn11; )1(1niixndxd)(112niixdn.121

11、2ndxnnii 取多次測量均值的理論依據(jù)取多次測量均值的理論依據(jù)但偏差比任一次取值的偏差縮小了但偏差比任一次取值的偏差縮小了n 倍倍若被測物的真值為若被測物的真值為, ,n 次重復(fù)測量可認(rèn)為是互不影響的次重復(fù)測量可認(rèn)為是互不影響的, ,且每次測量的結(jié)果且每次測量的結(jié)果 xi 都在真值都在真值的附近波動(dòng)的附近波動(dòng) (1)(1)(2)(2)(1)(1)表明表明 n 次測量的算術(shù)平均值仍在真值次測量的算術(shù)平均值仍在真值附近取值附近取值, ,(2)(2)則表明則表明 更加接近真值更加接近真值, , x且且 n 越大越大, ,接近程度就越好接近程度就越好. 例例6 6設(shè)設(shè)x1,x2,xn相互獨(dú)立相互獨(dú)

12、立, , 在對誤差要求較高的精密測量中在對誤差要求較高的精密測量中 11/14/202119則為常量,相互獨(dú)立,若n2c,c,121,) 3(cxxxn. )()(121niiiniiixdcxcd(4) 對于任意實(shí)數(shù)cr，有 （書書p93. 8p93. 8題題）e ( x-c )2d( x )當(dāng)且僅當(dāng)c = e(x)時(shí), e ( x-c )2取得最小值d(x).11/14/202120求證求證2)cexexxe)(2)()(22cexexxecexeexxe22)()(cexexxe2)()(cexxd)(xd2)(cxe當(dāng)且僅當(dāng)c = e(x)時(shí), e ( x-c )2取得最小值d(x).

13、e ( x-c )2d( x )證：證：11/14/202121對于任意的正數(shù)對于任意的正數(shù)設(shè)設(shè)x的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 e(x) 與方差與方差d(x) 存在存在, ，有有()p | x - e x | 2().d x(5) (切比雪夫不等式切比雪夫不等式):證：證： ()()x e xp xe xf x dx 22()()x e xxe xf x dx 221()xe xf x dx僅選擇連續(xù)隨機(jī)變量的情形來證明僅選擇連續(xù)隨機(jī)變量的情形來證明.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f (x),則有則有2)(xd11/14/202122(|- ( )|)px e x(|- ( )|)px

14、 e x注: (1)它給出了在x的分布未知的情況下，估計(jì)的方法；(2)說明了方差d(x)的確刻畫了x對e(x)偏離程度,2()1,d x 由可知: d(x)越小(即x偏離e(x)程度越小),(|- ()|)px e x越大，(表明x取值越集中在e(x)的附近)；(3) 它是大數(shù)定律的理論基礎(chǔ).()p | x - e x | 12()d x 另一形式：另一形式：11/14/202123例例10.10.22()7300,()700e xd x(52009400)px(5200 7300( ) 9400 7300)px e x已知正常男性成人每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)平均已知正常男性成人每毫升血液中白細(xì)胞

15、數(shù)平均7300, 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差700, 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)在在52009400之間的概率之間的概率. (p94.19題題)解：解：設(shè)設(shè)x表示每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)，依題意得表示每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)，依題意得( 2100()2100)pxe x()2100)p xe x2()()1-d xp | x - e x | 2()12100d x 2181 ( ).39 2270012100 8(52009400).9px即11/14/202124若若 存在，稱它為存在，稱它為x的的k階階中心矩中心矩.第三節(jié)第三節(jié) 原點(diǎn)矩與中心矩原點(diǎn)矩與中

16、心矩定義定義. 設(shè)設(shè)x是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若 存在，存在，稱它為稱它為x的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩.ke xk =(),1, 2,1,2,ke xe xk( ) ,k=2, ex-e(x)2為方差.特別地，k=1, ex-e(x)=0. .e xd xe x22()()()特別地，k=1,e(x)為數(shù)學(xué)期望.k=2,e(x2)為2階原點(diǎn)矩,其計(jì)算公式11/14/202125定義定義. .隨機(jī)變量隨機(jī)變量x與與y的函數(shù)的函數(shù) x-e(x)y- -e( (y)cov x,yexe xye y()()( ).的數(shù)學(xué)期望存在，的數(shù)學(xué)期望存在， 則稱其為則稱其為x與與y的的協(xié)方差協(xié)方差,cov (x,

17、 y), 即即記作記作第第4 4節(jié)節(jié) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)exe xye y()( ) = 0若兩個(gè)隨機(jī)變量若兩個(gè)隨機(jī)變量x和和y是相互獨(dú)立的，則是相互獨(dú)立的，則意味著當(dāng)意味著當(dāng) 時(shí)時(shí), x和和y不獨(dú)立。不獨(dú)立。exe xye y()( )011/14/202126協(xié)方差的簡便計(jì)算方法：協(xié)方差的簡便計(jì)算方法：)()(yeyxexe.yexexye)()()()(x,ycov)()()()(yexexyeyxexye定義：若定義：若x與與y的協(xié)方差的協(xié)方差cov(x,y)=0，即，即e(xy)-e(x)e(y)=0則稱則稱x與與y不相關(guān)不相關(guān) .11/14/202127若若x與與y相

18、互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則x與與y一定不相關(guān)一定不相關(guān);分析分析: : 若若x與與y相互相互獨(dú)立獨(dú)立)()()(),cov(yexexyeyx兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系不一定成立不一定成立. .x與與y不相關(guān)不相關(guān).反之反之,x與與y不相關(guān)不相關(guān) cov(x,y)=0. 0)()()()(yexeyexe若若x與與y不相關(guān)，則不相關(guān)，則0)()()(),cov(yexexyeyx)()()(yexexye11/14/202128協(xié)方差的性質(zhì)（1）cov(x,y)=cov(y,x);（2）cov(x,c)=0; cov(x,x)=d(x);（3）cov(ax,by)

19、=abcov(x,y) ，a，b為常數(shù)（4）cov(x+y,z)=cov(x,z)+cov(y,z);（5）()()( )2cov(, )d xyd xd yx y11/14/202129相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) correlation coefficientu定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x與與y的數(shù)學(xué)期望與方差都存在，則將的數(shù)學(xué)期望與方差都存在，則將x與與y標(biāo)準(zhǔn)化得到的隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化得到的隨機(jī)變量的協(xié)方差的協(xié)方差cov(x*,y*)稱為稱為x與與y的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)，記作，記作r(x,y)，即即 r(x,y)= cov(x*,y*).*()( ) ()( )xe xye yxyxy與11/14/

20、202130相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) correlation coefficient 因?yàn)橐驗(yàn)閑(x*)=0, e(y*)=0, 所以所以 其實(shí)這也是相關(guān)系數(shù)的另一種定義。其實(shí)這也是相關(guān)系數(shù)的另一種定義。*()( )(, )(,)()( )()( ) () ( )cov(, ) () ( )xe xye yr x ye x yexyexe xye yxyx yxy11/14/202131則對于任意的正數(shù)1. 1. 切比雪夫定理切比雪夫定理，定理：定理：設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列x1, x2, , x n ,的數(shù)學(xué)期望 e(x1), e(x2), , e(x n), ,d(x1), d(x2), , d(x n

21、), 都存在，與方差并且方差是一致有上界的, 即存在常數(shù)c, 使得d (xi) c, i=1,2,n,有11()1nniini=1i=1lim p |x -e x| =nn第五節(jié)第五節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)定律11/14/202132根據(jù)切比雪夫不等式得根據(jù)切比雪夫不等式得證：證：2211()niid xn11()1-nniii=1i=1p |x -e x| nn()e11nniii=1i=1xe(xnn()ncnii=1d x122,d()nxxx11又是獨(dú)立的，nniii=1i=1xd(xnnd (xi) c,（ i=1,2,n,），），2cn11()1-得nniii=1i=1p |x -e x|

22、 nnlimn 11()1當(dāng)時(shí)，得nniii=1i=1np |x -e x| nnlim1n11()nniii=1i=1p |x -e x| nn11lim()1nniini=1i=1p |x -e x| =nn11/14/202133方差都存在，切比雪夫定理解釋：切比雪夫定理解釋：11lim()1nniini=1i=1p |x -e x| =nn1nii=1xxn若獨(dú)立序列x1, x2, , x n ,的數(shù)學(xué)期望和并且方差是一致有上界的, 則n充分大時(shí), 算術(shù)平均緊密地集中在其數(shù)學(xué)期望11() =()e xeniixn的附近.11/14/2021342. 2.伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）伯

23、努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性） 定理定理 設(shè)設(shè) 是是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件a發(fā)生的頻率，發(fā)生的頻率， p是事件是事件a在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù) ,恒有恒有l(wèi)im( )1nnpfap( )nfa 證明：證明：又又exi = p, dxi =p（1-p）設(shè)設(shè)xi為第為第i次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件a出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)i=1,2,n，則這些變量相互獨(dú)立，且服從相同分布：則這些變量相互獨(dú)立，且服從相同分布：“0-1”分布分布1/4, i=1,2,，n由切比雪夫不等式得由切比雪夫不等式得p11lim()1nnini=1i=1p |x

24、-| =nnlim( )1nnpfap即11/14/202135小概率事件的實(shí)際不可能性原理小概率事件的實(shí)際不可能性原理概率很小的隨機(jī)事件在個(gè)別試驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生的概率很小的隨機(jī)事件在個(gè)別試驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生的例：從某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取例：從某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取200件來檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有件來檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有6件次品，能否相信該工廠產(chǎn)品的次品率不大于件次品，能否相信該工廠產(chǎn)品的次品率不大于1%？解：假設(shè)該工廠的次品率解：假設(shè)該工廠的次品率1%,p (6)0.01660.05p x 小概率事件小概率事件小概率事件發(fā)生了，說明原假設(shè)不成立，即小概率事件發(fā)生了，說明原假設(shè)不成立，

25、即不能否相信該工廠產(chǎn)品的次品率不大于不能否相信該工廠產(chǎn)品的次品率不大于1%。11/14/2021361. 理解方差的定義：.)()(2xexexd2. 熟悉方差的性質(zhì):；為常量ccd, 0)() 1 (；為常量則存在,若cxdccxdxd),()()()2(2則存在與且相互獨(dú)立與若，)()()3(ydxdyx. )()()(ydxdyxd內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)11/14/202137則為常量,相互獨(dú)立,若n2c,c,121,)3(cxxxn. )()(121niiiniiixdcxcd(|- ( )|)px e x(5) 若e(x) 與 d(x) 存在， 對于任意的正數(shù)2().d x，(4) 對于任

26、意實(shí)數(shù)cr，有 e ( x-c )2d( x )當(dāng)且僅當(dāng)c = e(x)時(shí), e ( x-c )2取得最小值d(x).有(|- ( )|)px e x或2()1.d x 11/14/2021383.熟悉一些常見分布的方差 若xb(n, p), d(x) = npq;)(),(xdpx 若 若xu(a, b), ;12)()(2abxd;1)(),(2xdex 若11/14/2021394. 方差的計(jì)算方法;)()()(22xexexd.)()(2xexexd 利用方差的定義: 利用方差的簡化公式： 利用方差的性質(zhì)； 利用常見分布的方差.連續(xù)型離散型,)()(),()()(22dxxfxexxp

27、xexxdiii11/14/202140習(xí)題三習(xí)題三( p92) : 5、6、9、10、11、13 作業(yè)作業(yè)11/14/202141備用題備用題1. 1. 判斷正誤：判斷正誤：(1) 任何隨機(jī)變量x都能其計(jì)算期望和方差. ( )(2)期望反映的是隨機(jī)變量取值的集中位置，方差反映的是隨機(jī)變量取值的分散程度。( )(3) 隨機(jī)變量x的方差越小，x取值越集中，方差越大，x取值越分散。( )答案: (1) x; (2) ; (3) .11/14/2021422.選擇題 (2)( ),(1)(2)1()xpe xx設(shè)，則且12(3),nxxx設(shè)隨變獨(dú)從，機(jī)量立，且服同一分布201,niixxn數(shù)學(xué)為 ，

28、為，令則期望方差(1)( , ),2.4,1.44,xb n pexdxn p則為( ) a. 4, 0.6 ； b. 6, 0.4； c. 8, 0.3； d. 24, 0.1 a. -1； b. 2； c. 1； d. 3(),()e xd x別為( )分2222.,;.,;.,;.,ab ncd nnn 11/14/202143(4)(4) 3 , 2 , 1( , 1)(, 1)(,321ixdxexxxii，相互獨(dú)立設(shè))有(則對于任意給定的，02311)| 1(|.iixpa2311)| 131(|.iixpb2311)|3(|.iixpc23131)|3(|.iixpd11/14/

29、202144分析分析44. 1)(4 . 2)(npqxdnpxe222()() ().e xd xe x22(1)(2)32()3 ()2e xxe xxe xe x(1) 由 xb(n, p)得：解方程組得 n=6, p=0.4, 故選b.(2)( ),()().xpe xd x由11/14/20214522322212(1)0,即1.故選 c.11/14/202146（3）21122221111()()()11().nniiiinniiid xdxdxnnd xnnn_111111()()()11();nniiiinniiie xexexnne xnn故選 c.11/14/202147(4)由題（3）知：23111().333iidx311()1;3iiex321()33.iidx31(