空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算19715

1、第九章第九章 直線、平面、簡單幾何體直線、平面、簡單幾何體第 講（第二課時(shí)）（第二課時(shí)）1. 如圖，已知兩個(gè)正四棱錐如圖，已知兩個(gè)正四棱錐p-abcd與與q-abcd的高分別為的高分別為1和和2，ab=4. (1)求直線求直線pq與平面與平面 adq所成的角所成的角; (2)求異面直線求異面直線aq與與pb所成的角所成的角.題型題型4 空間角的計(jì)算空間角的計(jì)算解：解：(1)連結(jié)連結(jié)ac、bd，設(shè)其交點(diǎn)為，設(shè)其交點(diǎn)為o，則則po平面平面abcd，qo平面平面abcd，從而從而p、o、q三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.分別以直線分別以直線ca、db、qp為為x軸、軸、y軸、軸、z軸建立軸建立空間直角坐標(biāo)系空間直

2、角坐標(biāo)系(如圖如圖)，則由已知可得則由已知可得a( ，0，0)，q(0，0，-2)，d(0， ，0)，p(0，0，1).2 2 2 2所以所以 =(0，0，-3)， =(- ，0，-2)， =(0， ，-2).設(shè)設(shè)n=(x，y，z)是平面是平面adq的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量.由由 ，得，得取取x=1，則，則z=- ，y=-1，所以所以n=(1，-1，- ).pqaq2 2dq2 200n aqn dq 2 2202 220 xzyz 22設(shè)直線設(shè)直線pq與平面與平面adq所成的角為所成的角為，則，則sin=|cosn， |所以所以= .故直線故直線pq與平面與平面adq所成的角為所成的角為 .

3、(2)因?yàn)橐驗(yàn)閎(0， ，0)，所以，所以 =(0， ，-1).又又 =(- ，0，-2)，所以所以cos ， = .故異面直線故異面直線aq與與pb所成的角為所成的角為arccos .pq22npq|n pq 4 4 2 22 2pbaq2 2aqpb 39aq pbaq pb 39點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：兩向量的夾角公式可直接用兩向量的夾角公式可直接用來求兩直線的夾角；而線面角可轉(zhuǎn)化為來求兩直線的夾角；而線面角可轉(zhuǎn)化為直線對(duì)應(yīng)的向量與平面的法向量所成的直線對(duì)應(yīng)的向量與平面的法向量所成的角；二面角可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量角；二面角可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量所成的角所成的角.另外還需注意所求角與兩向量另外還

4、需注意所求角與兩向量夾角之間的關(guān)系夾角之間的關(guān)系. 如圖，在長方體如圖，在長方體abcd-a1 b1 c1d1中，中，已知已知ab=4，ad=3，aa1=2.e、f分別是線段分別是線段ab、bc上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且eb=fb=1. (1)求二面角求二面角c-de-c1的正切值；的正切值； (2)求直線求直線ec1與與fd1所成角的余弦值所成角的余弦值. 解：解：(1)以以a為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，ab,ad,aa1分別為分別為x軸軸，y軸，軸，z軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz.則有則有d(0，3，0)、d1(0，3，2)、e(3，0，0)、f(4，1，0)、c1(4

5、，3，2).于是于是 =(3,-3,0), =(1,3,2), =(-4,2,2).設(shè)向量設(shè)向量n=(x,y,z)與平面與平面c1de垂直，垂直，則有則有 取取z=2,則則n=(-1,-1,2).則則n是一個(gè)與平面是一個(gè)與平面c1de垂直的向量垂直的向量.de1ec1fd 1ndenec 33013202xyxyxyz 因?yàn)橄蛄恳驗(yàn)橄蛄?=(0，0，2)與平面與平面cde垂直垂直觀察圖形知，觀察圖形知，n與與 所成的角所成的角即為二面角即為二面角c-de-c1的平面角的平面角. 因?yàn)橐驗(yàn)閏os= 所以所以tan= .所以二面角所以二面角c-de-c1的正切值為的正切值為 . (2)設(shè)設(shè)ec1與

6、與fd1所成的角為所成的角為，則則1aa 1aa 111 01 02 263114004n aan aa 222211222222111 (-4)3 22 221cos14132( 4)22ec fdecfd 2. 長方體長方體abcd-a1b1c1d1中，中，ab=4，ad=6，aa1=4，m是是a1c1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，p在線段在線段bc上，且上，且cp=2，q是是dd1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求：求：(1)點(diǎn)點(diǎn)m到直線到直線pq的距離的距離; (2)點(diǎn)點(diǎn)m到平面到平面ab1p的距離的距離. 解：解：(1)如圖所示，建立空如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系間直角坐標(biāo)系b-xyz，則則a(4，0，0)，m(

7、2，3，4)，p(0，4，0)，q(4，6，2). 題型題型5 空間距離的計(jì)算空間距離的計(jì)算因?yàn)橐驗(yàn)?=(-2，-3，2)， =(-4，-2，-2)，所以所以 在在 上的射影長為上的射影長為故點(diǎn)故點(diǎn)m到到pq的距離為的距離為qm op qm op 222(-2) (-4)(-3) (-2)2 (-2)105 6624( 4)( 2)( 2)qmqpqp 225 625462| -()17-.666dmq (2)設(shè)設(shè)n=(x，y，z)是平面是平面ab1p的法向量，的法向量，則則n ，n .因?yàn)橐驗(yàn)?=(-4，0，4)， =(-4，4，0)，所以所以因此可取因此可取n=(1，1，1).由于由于 =

8、(2，-3，-4)，那么點(diǎn)那么點(diǎn)m到平面到平面ab1p的距離為的距離為1ab |2 1(-3) 1(-4) 1|5 3.33ma ndn ap1ab ap440440- xz- xy1ab 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：利用求向量的長度可求兩：利用求向量的長度可求兩點(diǎn)間的距離，而點(diǎn)到直線的距離或點(diǎn)點(diǎn)間的距離，而點(diǎn)到直線的距離或點(diǎn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為向量的投影長到平面的距離可轉(zhuǎn)化為向量的投影長度問題度問題. 在四棱錐在四棱錐p-abcd中，底面中，底面ab c d為矩形，側(cè)棱為矩形，側(cè)棱pa底面底面abcd，ab = ，bc=1，pa=2，e為為pd的中點(diǎn)的中點(diǎn). (1)在側(cè)面在側(cè)面pab內(nèi)找一點(diǎn)內(nèi)找一點(diǎn)n，使使n

9、e平面平面pac，并求，并求出點(diǎn)出點(diǎn)n到到ab和和ap的距離；的距離； (2)求求(1)中的點(diǎn)中的點(diǎn)n到到平面平面pac的距離的距離.3解：解：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則則a、b、c、d、p、e的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是a(0,0,0)、b( ,0,0)、c( ,1,0)、d(0,1,0)、p(0,0,2)、e(0, ,1).依題意設(shè)依題意設(shè)n(x,0,z)，則則 =(-x, ,1-z).由于由于 平面平面pac，所以，所以3312ne12ne00neap ,neac 則則 ，即，即解得解得 ，即點(diǎn)，即點(diǎn)n的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ,0,1)，從而點(diǎn)從而點(diǎn)n到到ab、a

10、p的距離分別為的距離分別為1， .(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)n到平面到平面pac的距離為的距離為d，則則1(- ,1- ) (0,0,2)021(- ,1- ) ( 3,1,0)02xzxz101302z - , -x361xz363633 1|(,0,1) (-,0)1(,0)62an nedne 1. 運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題時(shí)，一般步驟為：幾何問題時(shí)，一般步驟為： (1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(例如例如:底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一個(gè)底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系；

11、底面是頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系；底面是菱形的直四棱柱，往往以底面對(duì)角線的交菱形的直四棱柱，往往以底面對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系); (2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)寫出向量的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo); (4)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算; (5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論. 建立空間直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓建立空間直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓住相交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線，住相交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線，要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的垂線，因此，要充分利用題

12、目中所給的垂直關(guān)系直關(guān)系(即線線垂直、線面垂直、面面垂即線線垂直、線面垂直、面面垂直直)，同時(shí)要注意，所建立的坐標(biāo)系必須，同時(shí)要注意，所建立的坐標(biāo)系必須是右手空間直角坐標(biāo)系是右手空間直角坐標(biāo)系.2. 求空間角和距離有如下一些基本原理：求空間角和距離有如下一些基本原理： (1)平面的法向量的求法：設(shè)平面的法向量的求法：設(shè)n=(x，y，z)，利用利用n與平面與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a，b垂直，垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取一組解后取一組解(如圖如圖1). (2)線面角的求法：設(shè)線面角的求法：設(shè)n是平面是平面的法向量，的法

13、向量， 是直線是直線l的方向向量，則直線的方向向量，則直線l與平面與平面所成的所成的角為角為 (如圖如圖2). (3)二面角的求法：二面角的求法： ab、cd分別是二面角分別是二面角-l-的兩個(gè)半的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大垂直的異面直線，則二面角的大小為小為 ， (如圖如圖3). 設(shè)設(shè)n1，n2是二面角是二面角-l-的兩個(gè)平面的兩個(gè)平面、的法向量，則的法向量，則 就就是二面角的平面角或其補(bǔ)角是二面角的平面角或其補(bǔ)角(如圖如圖4).ab |a r c s ina bna bn abcd121212a r c c o snnn, nnn (4)異面直線間的距離的求法：異面直線間的距離的求法：l1、l2是兩條異面直線，是兩條異面直線，n是是l1、l2的公垂線段的公垂線段ab的方向向量，又的方向