第1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)98302

1、第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)第六章 定積分二. 定積分的定義一. 曲邊梯形的面積三. 定積分的幾何意義四. 定積分的基本性質(zhì)一. 曲邊梯形的面積 曲邊梯形：三邊為直線，其中有兩邊相互平行且與第三邊垂直（底邊），第四邊是一條曲線，它與垂直于底邊的直線至多有一個(gè)交點(diǎn)（這里不排除某直線縮成一點(diǎn)）.1. 曲邊梯形oxyab1x1ixix)(xfy , 0)( xf設(shè) . ),()(bacxf , 1110bxxxxxxannii任意引入分點(diǎn) )., 2 , 1( , , 1nixxnbaii個(gè)小區(qū)間成分將 . 1個(gè)小區(qū)間的長度表示第用ixxxiii稱為區(qū)間的一個(gè)分法 t2. 求曲邊梯形的面積1ixixi

2、 ,1則iiixx . )( :iiixfs小曲邊梯形面積對(duì)每個(gè)小曲邊梯形均作上述的代替 . 的選擇有關(guān)與iisoxyab1x1ixix)(xfy . )( :11niiiniixfss曲邊梯形面積 . t 的選擇有關(guān)及點(diǎn)與分法is 極限過程是什么？如何求精確值？oxyab1x1ixix)(xfy , max | 1則令inixx . )(lim :10niiixfs曲邊梯形面積 . t 的選擇無關(guān)及點(diǎn)與分法極限存在與否，i ，雜平面圖形面積的方法該過程告訴了我們求復(fù) . 形面積的定義同時(shí)，也告知了平面圖 想方法是：解決曲邊梯形面積的思 . 取極限求和代替分劃 處理的問題的結(jié)果，即通常人們把這

3、類方法所 . , )( 上的定積分在區(qū)間這種極限值，稱為函數(shù)baxf二. 定積分的定義 , , )( 上有定義在設(shè)函數(shù)baxf , 1110bxxxxxxannii任意引入分點(diǎn) )., 2 , 1( , , 1nixxnbaii個(gè)小區(qū)間成分將區(qū)間iniiiiixfxx1n1)(s , 作和 , , )(lim 10 |的且該極限值與對(duì)區(qū)間存在若baxfniiix , , )( , t 上可積在則稱函數(shù)的選擇無關(guān)及點(diǎn)分法baxfi的定上在極限值稱為記為 , )( , d)(baxfxxfba . )max| ( )(limd)( :110|ininiiibaxxxxfxxf積分值定積分符號(hào)： .

4、 )(limd)(10|niiixbaxfxxf 定積分號(hào)；ba 積分下限；a 積分上限；b d)(被積表達(dá)式；xxf )(被積函數(shù)；xf d積分變量；中的xx . ,積分區(qū)間ba ) ( 積分變量的取值范圍關(guān)于定積分定義的幾點(diǎn)說明 . , )( , t ),( d)( ) 1 (有關(guān)區(qū)間及只與的選擇無關(guān)及點(diǎn)它與分法具體的數(shù)是一個(gè)極限值定積分baxfxxfiba . d)(d)(d)( )2(bababattfyyfxxf號(hào)無關(guān)：定積分與積分變量的記abbaxxfxxfd)(d)( ) 3(三、定積分的幾何意義oxyab)(xfy 1a2a3a ,d)(1caxxfacd .d)(3bdxxf

5、a , d)( 2dcxxfa由極限保號(hào)性：由極限保號(hào)性： , 0d)(caxxf, 0d)(dcxxf . 0d)(bdxxf面積：面積：oxyab)(xfy 1a2a3acd , )( d)(bxaxxfyxxfba與直線等于曲線 . 面積的代數(shù)和軸所圍成的幾何圖形的及 x四. 定積分的性質(zhì) 由于定積分是一種和式的極限, 所以極限的某些性質(zhì)在定積分中將有所反映. 在以下的敘述中, 假設(shè)所出現(xiàn)的函數(shù)均可積, 所出現(xiàn)的定積分均存在. .dabxba 1 性質(zhì)證證 )( 2 線性性質(zhì)性質(zhì) , d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf . ,為常數(shù)、式中由定積分定義及極限運(yùn)算性質(zhì)：

6、niiiixbaxgfxxgxf10|)()(limd)()(niiixniiixxgxf10|10|)(lim)(lim . d)(d)(babaxxgxxf )( 3 對(duì)區(qū)間的可加性性質(zhì)bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)( . ,bca其中證證 . ),()( , ),()( ),()( bcrxfcarxfbarxf , , t則成為分點(diǎn)使點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆址╟,)()()(bciicaiibaiixfxfxf , 0 | 由可積性即得的極限取xbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)( 4 性質(zhì) . d)(d)( , , )()( babaxxgxxfbaxxgxf則若o

7、xyab)(xfy )(xgy 0gfaa5 性質(zhì) . 0d)( , , 0)( baxxfbaxxf則若 )( 6 估值定理性質(zhì) , , )( , 則最大值上的最小在分別為設(shè)baxfba . )(d)()(abbxxfababa證證. , )( ),()( baxbxfabarxf由于baxxfd)(所以abxbadbaxaabad)( . )(dabbxbba例1 . 22dsin 21 24xxx證明： ,tan , 2,4 sin)( 則由令xxxxxxf證證0cos)tan(sincos)(22xxxxxxxxxf , 2)2( ,22)4( , 2,4)( fmfmxf且故得運(yùn)用估

8、值定理由 , ,)2,4()( , 0)( cxfxf . 22)42(22dsin )42(221 24xxx )( 7 積分中值定理性質(zhì)使得則上保持符號(hào)不變?cè)?, , , , baba . d)()(d)()(babaxxgfxxgxf , 1)( 則若xgbabaxfxxfd)(d)( . )(abfoxyab )( ),()( ),()( xgbarxgbacxf且若)(xfy 證證 . 0)( , , , )( xgbaxg不妨設(shè)所以上不變號(hào)在由于 ),()( ),()( 故有又barxgbacxf ),()()(barxgxf ,d)(d)()(d)(xxgmxxgxfxxgmbababa ., , )( , ,最小值上的最大在為其中baxfmm . 6