空間曲線的切線與法平面

1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面和法線第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂一、一、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面過點 m 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法法位置.tm空間光滑曲線在點 m 處的切線切線為此點處割線的極限平面平面.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 x(t), y(t), z(t), 這里假定(t), (t), (t)都在 上可導(dǎo) 設(shè)tt0和tt0t分別對應(yīng)于曲線上的點m0(x0, y0, z0)和m(x0+x, y0+y, z0+z) 當(dāng)mm0,

2、即t0時, )()()(000000tzztyytxx zzzyyyxxx000 或作曲線的割線mm0, 其方程為 得曲線在點m0處的切線方程為 zzzyyyxxx000 或tzzztyyytxxx000 一、一、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 x(t) y(t) z(t) 這里假定(t), (t), (t)都在 上可導(dǎo) )()()(000000tzztyytxx 過曲線上tt0所對應(yīng)的點m0切線方程為 向量t(t0) (t0) (t0)稱為曲線在點m0的切向量. 通過點m0而與切線垂直的平面稱為曲線在點m0處的法平

3、面, 其法平面方程為(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 一、空間曲線的切線與法平面山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂zyxo例例1. 求圓柱螺旋線 kzryrx,sin,cos2對應(yīng)點處的切線方程和法平面方程.,2時當(dāng)切線方程 rx法平面方程xr022kzkxr即002rykrzrxk即解解: 由于,sinrx0ry kkz2,cosry , kz ),0(20krm對應(yīng)的切向量為0)(2kzk在),0,(krt, 故山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂討論: 1. 若曲線的方程為y(x) z(x) 則切向量t? 提示: 1. 曲線的參數(shù)方程可視為: xx y(

4、x) z(x) 切向量為t (1 (x) (x) 曲線x(t), y(t), z(t)在tt0所對應(yīng)的點m0的切向量為t(t0) (t0) (t0) 2. 若曲線的方程為f(x, y, z)0, g(x, y, z)0, 則切向量t? 2. 兩方程可確定兩個隱函數(shù): y(x) z(x) 切向量為t (1 (x) (x) 而(x) (x)要通過解方程組得到. 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例2. 求曲線0,6222zyxzyx在點m ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. xxzzxyydddd解解. 方程組兩邊對 x 求導(dǎo), 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11

5、ddzyxy曲線在點 m(1,2, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (mmxzxytdd,dd,1山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點 m (1,2, 1) 處的切向量011)1,0, 1(t山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂0),(:zyxf二、二、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設(shè) 有光滑曲面通過其上定點),(000zyxm0tt 設(shè)對應(yīng)點 m,)(, )(, )(000ttt切線方程為)()()(000000tzztyytxx不全為0 . 則

6、 在, )(, )(, )(:tztytx且點 m 的切向量切向量為任意引一條光滑曲線mt下面證明:此平面稱為 在該點的切平面切平面. 上過點 m 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000tttt山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂mt證:在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttf,0處求導(dǎo)兩邊在tt ,0mtt對應(yīng)點注意 )(0t0),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttt),(, ),(, ),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx令nt

7、 切向量由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂)( ),(0000 xxzyxfx曲面 在點 m 的法向量法向量法線方程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxfy0)(,(0000zzzyxfz切平面方程切平面方程),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfzmtn),(, ),(, ),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂)( ),(000 xxyxfx曲面時, ),(yxfz zyxfzyxf),(),(則在

8、點),(zyx故當(dāng)函數(shù) ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法線方程法線方程,yyff 1zf令有在點),(000zyx特別特別, 當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式 在點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時, )( ),(000yyyxfy0zz,xxff 切平面方程切平面方程山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂,法向量法向量用2211cosyxff將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則分別記為則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(

9、0000yxfyxfnyx山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例3. 求橢球面3632222zyx在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解:3632),(222zyxzyxf所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法線方程法線方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂解, 1),(22 yxyxf(2,1,4)(2,1,4)(2 , 2 , 1)nxy(4, 2, 1),切平面方程為, 0)4()1(2)2

10、(4 zyx, 0624 zyx法線方程為.142142 zyx例例4求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(2,1,4)處的切平面及法線方程.221,zxy山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例5. 確定正數(shù) 使曲面zyx222zyx在點),(000zyxm解解: 二曲面在 m 點的法向量分別為二曲面在點 m 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點 m 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a與球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例6. 求曲線0453203222zyxxzyx在點(1,1,1) 的切線解解: 點 (1,1,1) 處兩曲面的法向量為)2,2, 1(