勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

1、-WOR曲式一專業(yè)資料-可編輯-勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全一.基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c 的平方。(即：a2+b2=c2)要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是 直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(在 ABC中，C 90 ,貝 | c Va2b2 , b 4ca2 , a 4cb2 )(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求 直角三角形的另兩邊(3)利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2:勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c,則有關(guān)系a2+b2 = c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)

2、詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角 三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確 定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：(1)首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；(2)驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2 = a2+b2,則 AB0以/C為直角的直角三角形(若c2>a2+b2,則4 AB徨以/C為鈍角的鈍角 三角形；若c2<a，b2,則 ABC7銳角三角形)。(定理中a, b, c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可 認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a, b, c滿足a2 c2 b2, 那么以a, b, c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為 斜邊

3、)3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆 定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相 反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的 結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把 其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。5:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙, 面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等 式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：4sS正方形EFGHSE方形abcd,

4、 4 ab (b a)c2,化簡(jiǎn)可證.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正 方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的禾口 S 41ab c2 2ab c2 2大正方形面積為S (a b)2 a2 2ab b2所以 a2 b2 c2方法三：S弟形2(a b) (a b),bCS弟形2Sade Sabe 2 2ab ；c2 ,化簡(jiǎn)得證6:勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為 勾股數(shù),即a2 b2 c2中,a, b, c為正整數(shù)時(shí),稱a, b, c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如345；6,8,10；5,12,13；7,24,25 等用含字母的代數(shù)式表示

5、n組勾股數(shù)：n2 1,2n,n2 1（n 2, n為正整數(shù)）；2n 1,2n2 2n,2 n2 2n 1 （ nm2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m n正整數(shù)）二、規(guī)律方法指導(dǎo)1 .勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等 式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2 .勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系, 可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3 .勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰是斜邊誰直角 邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過程中易犯的主要錯(cuò)誤。4 .勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a,b, c有下列關(guān)系：a2+b2 = c2, ?那么這個(gè)三角形是直角 三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三

6、角形是否是直角三 角形的判定方法.5 .?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直 角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過學(xué)習(xí)加深 對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題 如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆 命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）勾股定理典型例題及專項(xiàng)訓(xùn)練專題一：直接考查勾股定理及逆定理例 1 .在 ABC 中1 ,C 90 .已知AC 6, BC 8 .求AB的長(zhǎng) 已知AB 17, AC 15, 求BC的長(zhǎng)分析：在乙/皿'中. /C-9U 4C-2. 1 ctn. BC工總 miCE 一出幾BC ACi/八=詞求BC, .C

7、41)求少I丈的面積:(2)求斜山.1%求扃CD.練習(xí)：1、如圖所示，在四邊形ABCD中,BAD= 90 , 求CD 。DBC= 90 , AD=3 , AB=4 , BC=12 ,2.已知等腰三角形腰長(zhǎng)是10,底邊長(zhǎng)是16,求這個(gè) 等腰三角形的面積。3、已知：如圖，/ B=/D=90° , /A=60AB=4, CD=2 。求：四邊形 ABCD的面積例2:已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和三邊。12,求第練習(xí)：在ABC中,AB=13 , AC=15 ,局 AD=12 ,則BC的長(zhǎng)為多少?例3:(1).已知ABC 則ABC為的二邊 a、b、c滿足(a b)2 (b c)2 0,三角形(

8、2).在 ABC 中，若 a2= (b + c) (b-c),則 ABC三角形，且90練習(xí)：1、已知x 12x y 25 與z2 10z 25互為相反數(shù),試判斷以X、y、z為三邊的三角形的形狀2 、.若ABC的三邊a、b、c滿足條件a2 b2 c2 338 10a 24b 26c ,試判斷 ABC 的形狀。3 .已知VT飛2b 8 (c 10)2 0,則以a、b、c為邊 的三角形是例4:已知如圖，在4ABC中，/C=60° , AB=4<3AC=4 , AD是BC邊上的高，求BC的長(zhǎng)。如圖，在 RtAABC 中，/ACB=90 ° , CD LAB 于D,設(shè) AB=c

9、 , AC=b ,BC=aCD=h o求證:(1)1112-2-2a2b2h2(2) a b ch(3)以a b, h, c h為三邊的三角形是直角三角形經(jīng)典圖形突破:B練習(xí) 1.如圖， AB，AB=AC , / A=45o AC的垂直平分線分別交 AB、AC于D、E,若CD=1 ,則BD等于（A.虛B. TD.春一12 .已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 2,周長(zhǎng)是2+6，求 這個(gè)三角形的面積.3 .AABC 中，D 是 AB 的中點(diǎn)，若 AC=12 , BC=5 , CD=6 . 5. 求證：ZXABC是直角三角形.4 .如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E 為BC上一點(diǎn)，且EC=；BC

10、,猜想AF?與EF的位置關(guān)系，并說明理由.5 .如圖Rt ABC, C 90 AC 3,BC 4,分別以各邊為直徑作半 圓，求陰影部分面積6 .如圖 2-10, AABC 中，AB=AC=20 , BC=32 , D是BC上一點(diǎn)，且 AD XAC ,求BD的長(zhǎng).7 .如圖 2-9, AABC 中，/ ACB=90 ° , AC=BC , P 是AABC 內(nèi)一點(diǎn)，滿足 PA=3, PB=1, ?PC=2,求/ BPC的度數(shù).8 .已知 ABC 中，/ACB=90 ° , AC=3,BC=4, (1)AD平分/ BAC,交BC于D點(diǎn)。求CD長(zhǎng)(2) BE平分/ABC,交AC于E

11、,求A E C/ B =9 .如圖，在四邊形ABCD中，/A = 600,D = 900, BC = 2, CD =3,求 AB 的長(zhǎng)ABp10 .如圖，P為4ABC邊BC上一點(diǎn)，PC = 2PB,已 知/ABC=450, /APC=600,求/ ACB 的度數(shù)11、已知 ABC 中，/BAC=750, /C = 600, BC =3 6,求 AB、AC 的長(zhǎng)。DC =12、如圖， ABC中，AD是高，CE是中線,BE, DG LCE 于 G。(1)求證：G是CE的中點(diǎn); / B= 2/BCE。(3)若 AC=6,AB=8 ,求 DG 的長(zhǎng)。AGDB專題二勾股定理的證明1、利用四個(gè)全等的直角三

12、角形可以拼成如圖所示的圖 形，這個(gè)圖形被稱為弦圖.從圖中可以看到：大正方 形面積=小正方形面積十四個(gè)直角三角形面積.因而c2=+.化簡(jiǎn)后即為C2= .a2、如圖，是2002年8月北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大 會(huì)會(huì)標(biāo)，由4個(gè)全等的直角三角形拼合而成，若圖中 大小正方形的面積分別為52和4,則直角三角形的兩 條直角邊的長(zhǎng)分別為.3、2002年8月2028日在北京召開了第24屆國(guó)際是4、如圖，直線l上有三個(gè)正方形a, b, c,若a, c的面積分別為5和11,則b的面積為（）(A) 4(D) 55(B) 6(C) 165、一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴

13、盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到ABCD的位置，連結(jié)CC ,設(shè)AB a,BC b,AC c,請(qǐng)利用四邊形BCC D的面積證明勾股 定理：a2 b2 c2.6、如圖是2002年8月在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形 ABCD和EF都是正方形.證：ZXABFWZXDAE7、（2010年遼寧省丹東市）圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為（m n） 的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀,能驗(yàn)證的式子是（）A . （m n）2 （m n）2 4mn第7題圖B. (m n)2 (m2 n2) 2mnC . (m n)2 3 2mn m2 n2D . (m n)(m n) m2 n2專題三網(wǎng)格中的勾股定理

14、1、如圖1,在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有 AB、 CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形 三邊的線段是()(A) CD、EF、GH。AB、CD、GH(B) AB、EF、GH(D) AB、CD、EF2、A.B. 1D. 3的頂點(diǎn)，則/ ABC的度數(shù)為()A. 90B. 60°C. 45D. 304、如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1,連接小正方形的三個(gè)得 到，可得 ABC ,則邊AC上的高為（）B. IO 5A. 3 22D. 4 555、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是 1每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)以圖中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3、2內(nèi)、后的三角形.所畫的三角形是直角三角

15、形嗎？說明理由.6、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1,在圖中畫出面積為2的三個(gè)形狀不同的三角形（要求頂點(diǎn)在交點(diǎn)處，其中至少有一個(gè)鈍角三角形）專題四實(shí)際應(yīng)用建模測(cè)長(zhǎng)1、如圖（8）,水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米B1.SD的C處，直_J5立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到 D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2、有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng) 打開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地 方燈剛好打開？3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍 數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如 圖，據(jù)氣

16、象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千 米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為 12級(jí),每 遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng) 中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30o方向往C 移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或 走過四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響.(1)該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說明理由.(2)若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？(3)該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？專題五梯子問題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯 子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？B第20題圖2、一架方梯長(zhǎng)25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子A底端離墻7米，(1)這個(gè)

17、梯子的頂端距地面有多高？7A,(2)如果梯子的頂端下滑了 4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？-3、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC ±BC? AC=BC , 八 當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x與y的大小關(guān)系是bT ,CA. x yD.不能確定B. x yC. x y專題六最短路線1、如圖，學(xué)校教學(xué)樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數(shù)同 學(xué)為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”.他們僅僅少走了（）步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草.A、6B、5C、 4 D、 32、如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為 20 cm,高AB為10 cm,一 . 、_.

18、一、， B 尸 cBC是上底面的直徑。一螞蟻從點(diǎn) A出發(fā)，沿著""C圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C ,試求出爬行的最短路程。A D3、如圖，有一個(gè)圓柱體，底面周長(zhǎng)為 20 cm,高AB為10 cm,在圓柱的下底面A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想繞圓柱體側(cè) 面一周爬行到它的頂端C點(diǎn)處，那么它所行走的路程是多 少？C4、如圖，假如這是一個(gè)圓柱體的玻璃杯，AD是杯底直徑,C是杯口一點(diǎn)，其他已知條件不變,螞蟻從外部點(diǎn)A處爬到杯子的內(nèi)壁到達(dá)高 呢？（杯子的厚度不計(jì)）CD的中點(diǎn)E處，最短該走多近 E5、為籌備迎新生晚會(huì)，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖，已知 產(chǎn)，圓筒高10

19、8cm ,其圓筒底面周長(zhǎng)為36cm ,如果 耍在表面纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長(zhǎng)油紙？J1米，且封閉的正方體盒問這只螞蟻爬行的6、如圖，一只螞蟻從一個(gè)棱長(zhǎng)為 子外部的頂點(diǎn)A向頂點(diǎn)B爬行, 程為多少米？7、（ 2004?淄博）如圖是一塊長(zhǎng)，寬，高分別是6cm , 4cm和3cm的長(zhǎng)方體木塊一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊 的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和 A 相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑 的長(zhǎng)是（）A、（3+2 依）cmB、回cmC、展cmD、師cm8、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm ,高 為20cm , 點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5cm , 一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的 表面從

20、A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要爬行的最短距離是多少？159、如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè) 小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm , 則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花 幾秒鐘？10、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為2m、0.3m、0.2m , A和B是臺(tái)階上兩個(gè)相 對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食 物，問螞蟻沿著臺(tái)階爬行到 B點(diǎn)的最短路程是多少？11、（2010福建泉州市惠安縣）如圖，長(zhǎng)方體的底面 邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm ,高為6cm .如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過 圈到達(dá)點(diǎn)B,如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞3府崗Cm

21、 B, 3cm那么所用細(xì)線最短需要 cm第17題圖專題七折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊 AC=6 cm, BC=8 cm?，F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使 它落在斜邊 AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng).CB2、如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE,若已知AC=10cm , BC=6cm,你能求出CE的長(zhǎng)嗎?3、三角形ABC是等腰三角形 AB=AC=13 , BC=10 , 將AB向AC方向?qū)φ?，再將CD折疊到CA邊上， 折痕CE,求三角形ACE的面積C'4、如圖, AQ邊 BC=3, AC=4、AB=5,把 ABC沿最長(zhǎng)邊AB翻折后得到

22、ABC',則CC 的長(zhǎng)等于（A. 5BlC.15d.2410.如圖,在三角形紙片ABC中"ACB=901BC=3.AB=正在AC 上取一點(diǎn)£,以BE為折痕,使AB的一部分與BC重合，點(diǎn)A與 8C延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D重3則CE的長(zhǎng)度為（）. 13asC73D 次專題八折疊四邊形求（1） C1、折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn) F處，已知 AB=8CM,BC=10CM,F的長(zhǎng) （2） EC的長(zhǎng).2、在矩形紙片 ABCD 中，AD=4cm , AB=10cm , AE按圖所示方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折 /痕為DC'EF,求（1） DE的長(zhǎng)；（2） E

23、F的長(zhǎng)3.（2010福建泉州市惠安縣）矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng) AB=4, AD=2 .將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A 與點(diǎn)C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則 著色部分的面積為.4、如圖2-3,把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C'的位置上，已知AB=?3,BC=7 ,重合部分 EBD的面積為.5、如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)Go如果M為CD邊的中點(diǎn)，且DE=6,求正方形ABCD的面積6、矩形ABCD中，AB=6, BC=8 ,先把它對(duì)折，折痕為EF,展開后再沿BG折疊，使A 落在EF上的A

24、1 ,求第二次折痕BG 的長(zhǎng)。7、如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊心 上的點(diǎn)卻處，點(diǎn)乂落在點(diǎn)燈處。(1 )求證：B'E = BF ；C'(2)設(shè)壁二冬3二8 BF二二)試猜想口，瓦c之間的一種關(guān) 系，并給予證明.8、如圖，/ B=90° , AB=BC=4 , AD=2 , dCD=6(1) AACD是什么三角形？為什么？(2) ACD沿直線AC向下翻折，CD交AB于點(diǎn)E,若重疊部分面積為4,求D'E的長(zhǎng)。9、邊長(zhǎng)為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐 標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對(duì)角線AC折疊后，點(diǎn)B 落在第四象限B1處，設(shè)B1C交x軸于點(diǎn)D

25、,求（1） 三角形ADC的面積，（2）點(diǎn)B1的坐標(biāo)，（3） AB 1所在的直線解析式.10、(2010年廣東省廣州市)如圖所示，四邊形OABC 是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3, 0) , (0, 1),點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)B、C不 重合)，過點(diǎn)D作直線y = gx + b交折線OAB 于點(diǎn)E.(1)記4 ODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于 直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形 OAiBiCi,試探究 OAiBiCi與矩形OABC的重疊部分的面積是否 發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若 改變，請(qǐng)說明理由.專題九旋轉(zhuǎn)問題：1、如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將 ABP繞 點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP '重合，若AP=3，求PP' 的長(zhǎng)。2、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=2；3,PC 求ABC的邊長(zhǎng).3、如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90E、F是BC上的點(diǎn)，且/ EAF=45° ,B E試探究be2、c