流體力學(xué)第3章流體運動學(xué)和動力學(xué)基礎(chǔ)

1、第三章第三章 流體運動學(xué)和動流體運動學(xué)和動力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)基礎(chǔ)主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.1 研究流體運動的方法研究流體運動的方法 3.10 粘性流體總流的伯努利方程粘性流體總流的伯努利方程3.1 研究流體運動的方法研究流體運動的方法當(dāng)?shù)胤ó?dāng)?shù)胤枋龇椒枋龇椒S體法隨體法拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法質(zhì)點軌跡：質(zhì)點軌跡：)(a,b,c,tr rr r參數(shù)分布：參數(shù)分布：b = b（x, y, z, t） 根據(jù)連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)，流體是由質(zhì)點組成的，無根據(jù)連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)，流體是由質(zhì)點組成的，無空隙地充滿所占據(jù)的空間。對于無數(shù)多的流體質(zhì)點，空隙地充滿所占據(jù)的空間。對于無數(shù)多的流體質(zhì)點，當(dāng)其發(fā)生運動時，如何正

2、確描述和區(qū)分各流體質(zhì)點的當(dāng)其發(fā)生運動時，如何正確描述和區(qū)分各流體質(zhì)點的運動行為，將是流體運動學(xué)必須回答的問題。描述流運動行為，將是流體運動學(xué)必須回答的問題。描述流體運動的方法有兩種。體運動的方法有兩種。觀察者觀察者著眼于著眼于個別流體質(zhì)點的個別流體質(zhì)點的流動行流動行為為，通過跟蹤每個質(zhì)點的運動歷程，從而獲得整，通過跟蹤每個質(zhì)點的運動歷程，從而獲得整個流場的運動規(guī)律。（引出跡線的概念）個流場的運動規(guī)律。（引出跡線的概念）)()()(tcbazztcbayytcbaxx，ttcbaztcbavvttcbaytcbavvttcbaxtcbavvzzyyxx)()()()()()(，：222222)(

3、)()()()()()()()(ttcbazttcbavtcbaaattcbayttcbavtcbaaattcbaxttcbavtcbaaazyyyyyxxx，： 直觀性強(qiáng)、物理概念明確、可以描述直觀性強(qiáng)、物理概念明確、可以描述各質(zhì)點的時變過程各質(zhì)點的時變過程 數(shù)學(xué)求解較為困難，一般問題研究中數(shù)學(xué)求解較為困難，一般問題研究中很少采用很少采用 euler法（歐拉法）法（歐拉法） 歐拉方法的歐拉方法的著眼點著眼點不是流體質(zhì)點而是不是流體質(zhì)點而是空間點空間點?？疾??？疾觳煌黧w質(zhì)點通過空間固定點的流動行為，通過記錄不同空間不同流體質(zhì)點通過空間固定點的流動行為，通過記錄不同空間點流體質(zhì)點經(jīng)過的運動情況

4、，從而獲得整個流場的運動規(guī)律。點流體質(zhì)點經(jīng)過的運動情況，從而獲得整個流場的運動規(guī)律。 在固定空間點看到的是不同流體質(zhì)點的運動變化，無法像在固定空間點看到的是不同流體質(zhì)點的運動變化，無法像拉格朗日方法那樣直接記錄同一質(zhì)點的時間歷程。拉格朗日方法那樣直接記錄同一質(zhì)點的時間歷程?？臻g點坐標(biāo)空間點坐標(biāo)),(zyx),(tzyxvv ),(tzyxpp ),(tzyx應(yīng)該指出，速度場的表達(dá)本質(zhì)上指的是該瞬時恰好應(yīng)該指出，速度場的表達(dá)本質(zhì)上指的是該瞬時恰好通過該空間點的流體微團(tuán)所具有的速度通過該空間點的流體微團(tuán)所具有的速度 。一個速度場即使沒有解析表達(dá)式，但只要有離散的數(shù)據(jù)點，也可以描繪出流即使沒有解析表

5、達(dá)式，但只要有離散的數(shù)據(jù)點，也可以描繪出流場，例如下圖就是用某時刻下速度的空間分布描繪的一個速度場場，例如下圖就是用某時刻下速度的空間分布描繪的一個速度場: : 一個布滿了某種物理量的空間稱為場。一個布滿了某種物理量的空間稱為場。除速度場之外，還有壓強(qiáng)場。在高速流除速度場之外，還有壓強(qiáng)場。在高速流動時，氣流的密度和溫度也隨流動有變動時，氣流的密度和溫度也隨流動有變化，那就還有一個密度場和溫度場。這化，那就還有一個密度場和溫度場。這都包括在流場的概念之內(nèi)。都包括在流場的概念之內(nèi)。 質(zhì)點加速度與質(zhì)點導(dǎo)數(shù)質(zhì)點加速度與質(zhì)點導(dǎo)數(shù) 質(zhì)點加速度質(zhì)點加速度 - 質(zhì)點速度矢量v對時間的變化率。 1000liml

6、imtttt vvva質(zhì)點加速度10(,)( , , , ) xx yy zz ttx y z ttxyztxyz vvvvvvv0( , , , )x y z tv1(,)xx yy zz ttv00limlimttxyzttxtytzt vvvvva , , xu tyv tzw t uvwtxyzvvvva()tvavvxyz ijk采用微分算子 xyzuuuuauvwtxyzvvvvauvwtxyzwwwwauvwtxyz當(dāng)?shù)丶铀俣冗w移加速度 質(zhì)點的加速度包括兩個部分：（1）當(dāng)?shù)丶铀俣龋ň植考铀俣龋?特定空間點上速度 對時間的變化率； （2）遷移加速度 （對流加速度） 對應(yīng)于質(zhì)點空間位

7、置 改變所產(chǎn)生的速度變化。質(zhì)點導(dǎo)數(shù)質(zhì)點導(dǎo)數(shù) - 質(zhì)點質(zhì)點物理參數(shù)對時間的變化率。物理參數(shù)對時間的變化率。 物理參數(shù)的物理參數(shù)的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)質(zhì)點導(dǎo)數(shù) = = 當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù) + + 遷移導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù) duvwdttxyzduvwdttxyz例例 拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法兩種方法的比較比較兩種方法的比較比較分別描述有限質(zhì)點的軌跡分別描述有限質(zhì)點的軌跡 同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù)同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù)表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜 表達(dá)式簡單表達(dá)式簡單不能直接反映參數(shù)的空間分布不能直接反映參數(shù)的空間分布 直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布不適合描述流體元的運動變形特性不適合描述流體元的運

8、動變形特性 適合描述流體元的運動變形特性適合描述流體元的運動變形特性 拉格朗日觀點是重要的拉格朗日觀點是重要的 流體力學(xué)最常用的解析方法流體力學(xué)最常用的解析方法由速度分布求質(zhì)點軌跡由速度分布求質(zhì)點軌跡求：求： 在在t = 0時刻位于點（時刻位于點（a,b）的流體質(zhì)點的運動軌跡。的流體質(zhì)點的運動軌跡。解：解：對某時刻對某時刻t 位于坐標(biāo)點上位于坐標(biāo)點上(x,y)的質(zhì)點的質(zhì)點 求解一階常微分求解一階常微分方程（方程（a）可得）可得已知已知: 已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為(a) kttyvttxvyxdddd(b) ktvtvyx2212221ctkyct

9、x討論：討論：本例說明雖然給出的是速度分布式（歐拉法），即各本例說明雖然給出的是速度分布式（歐拉法），即各空間點上速度分量隨時間的變化規(guī)律，仍然可由此求空間點上速度分量隨時間的變化規(guī)律，仍然可由此求出指定流體質(zhì)點在不同時刻經(jīng)歷的空間位置，即運動出指定流體質(zhì)點在不同時刻經(jīng)歷的空間位置，即運動軌跡（拉格朗日法）。軌跡（拉格朗日法）。代入代入(b)式，可得參數(shù)形式的流體質(zhì)點軌跡方程為式，可得參數(shù)形式的流體質(zhì)點軌跡方程為c1 ，c2 為積分常數(shù)，由為積分常數(shù)，由t = 0時刻流體質(zhì)點位于時刻流體質(zhì)點位于 可確定可確定,xa yb12 c1=a, c2=bbtkyatx22221 tzyx;,bb 0t

10、zyx,bb 0t kjirtcbaztcbaytcbax,tzyx,vdtrddtdvr dttzyxvdztzyxvdytzyxvdxzyx, 0tt cba,kjirdzdydxdtzyx,v0vrd),(),(),(tzyxvdztzyxvdytzyxvdxzyxlagrangeeuler例例3-1 已知速度場為已知速度場為0 zyxvkyvkxv0y其中其中k為常數(shù)，試求流線方程。為常數(shù)，試求流線方程。代入流線方程，可得代入流線方程，可得kydykxdx積分上式的流線方程為積分上式的流線方程為cxy 該流動的流線為一族等角雙曲線。該流動的流線為一族等角雙曲線。 流線的性質(zhì)：流線的性質(zhì)

11、： 解解 流動為二維定常流流動為二維定常流xoyyx,xyo （1 1）一般情況下，流線不能相交，且只能是一條光滑曲線；）一般情況下，流線不能相交，且只能是一條光滑曲線； （2 2）在定常流動條件下，流線的形狀、位置不隨時間變化，）在定常流動條件下，流線的形狀、位置不隨時間變化， 且流線與跡線重合。且流線與跡線重合。積分得任一時刻積分得任一時刻 t 流線族為：流線族為：0,2,12aayvtaxvyxaydyaxdxt22)1 (cyxt )1(t=0時刻流線族為：時刻流線族為： （這也是定常流流線族）（這也是定常流流線族）cxy )2(axvx解：解：1. 求流線，由流線方程（其中求流線，由

12、流線方程（其中 t 固定當(dāng)常數(shù)看）：固定當(dāng)常數(shù)看）：例例3-2. 設(shè)有一個二維非定常流場其速度分布是設(shè)有一個二維非定常流場其速度分布是 ：求求t=0時過（時過（1，1）的流線和跡線。問定常時）的流線和跡線。問定常時 結(jié)果如何？結(jié)果如何？過（過（1，1）流線：）流線：1xy2. 求跡線，由跡線方程（其中求跡線，由跡線方程（其中t為自變量）：為自變量）：aydtdytaxdtdx2,12積分得跡線參數(shù)方程：積分得跡線參數(shù)方程：ataecytcx2221,)1 (由初始條件定得由初始條件定得c1=c2=1, 故所求的跡線參數(shù)方程為：故所求的跡線參數(shù)方程為：ataeytx22,)1 (aydtdyax

13、dtdx2,2積分得：積分得：atatecyecx2221,由初始條件定得由初始條件定得 c1=c2=1，故所求為：，故所求為：atateyex22,消去消去t t 得：得：1xy可見定常時跡線與流線重合?？梢姸ǔr跡線與流線重合。當(dāng)流動為定常時當(dāng)流動為定常時 再求跡線。再求跡線。由跡線方程：由跡線方程：ayvaxvyx2,2 求：求： （1）質(zhì)點）質(zhì)點a的跡線方程；的跡線方程；解：此流場屬不定常流場。解：此流場屬不定常流場。例例3-3：設(shè)速度場為：設(shè)速度場為 vx = t+1 ,v y= 1，t = 0時刻流體質(zhì)點時刻流體質(zhì)點a位于原點。位于原點。(1)(1)由歐拉跡線方程式，本例跡線方程組

14、為由歐拉跡線方程式，本例跡線方程組為（2）t = 0時刻過原點的流線方程；時刻過原點的流線方程；（3）t = 1時刻質(zhì)點時刻質(zhì)點a的運動方向。的運動方向。1dd1ddtyttx1dd1ddtyttx由上兩式分別積分可得由上兩式分別積分可得21221ctycttx t = 0時質(zhì)點時質(zhì)點a 位于位于x =y =0，得，得c1= c2= 0。質(zhì)點質(zhì)點a的的跡線方程為跡線方程為tyttx221(a)消去參數(shù)消去參數(shù) t 可得可得21) 1(212122yyyx上式表明質(zhì)點上式表明質(zhì)點a的跡線是一條以（的跡線是一條以（1/2，1）為頂點，）為頂點，且通過原點的拋物線。且通過原點的拋物線。（2）由流線微

15、分方程式，）由流線微分方程式，1d1dytx積分可得積分可得cytx1(b)在在 t = 0時刻，流線通過原點時刻，流線通過原點 x = y = 0，可得，可得c = 0，相應(yīng)的流線方程為相應(yīng)的流線方程為（c）x = y3/211 1c 可得可得c = 1/4 。這是過原點的一、三象限角平分線，與質(zhì)點這是過原點的一、三象限角平分線，與質(zhì)點a a的跡線的跡線在原點相切。在原點相切。(3)(3)為確定為確定t = 1時刻質(zhì)點時刻質(zhì)點a a的運動方向，需求此時刻過的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點質(zhì)點a所在位置的流線方程。由跡線參數(shù)式方程所在位置的流線方程。由跡線參數(shù)式方程(a)(a)可可確定，確定，t

16、=1時刻質(zhì)點時刻質(zhì)點 a位于位于x =3/2，y =1位置，代入流位置，代入流線方程線方程(b)(b)討論：討論： 以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；不同時刻通過某固定點的流線可以不同（見不同時刻通過某固定點的流線可以不同（見b b式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以不同（見不同（見c c和和d d式）。式）。t = 1時刻過流體質(zhì)點時刻過流體質(zhì)點a所在位所在位置的流線方程為置的流線方程為x = 2 y1/2 (d)上式是一條與流體質(zhì)點上式是一條與流體質(zhì)點 a的的跡線相切于（跡線相切于（3/23/2，1

17、1）點的）點的斜直線，運動方向為沿該直斜直線，運動方向為沿該直線朝線朝 x, y值增大方向。值增大方向。ttttxvx10)5(dddd2txxxttvydd12525ddddy23221010)5(125ttt10tvaxx430ttvayy例例3-4 在任意時刻，流體質(zhì)點的位置是在任意時刻，流體質(zhì)點的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線其跡線為雙曲線xy=25。質(zhì)點速度和加速度在。質(zhì)點速度和加速度在x和和y方向的分量為多少？方向的分量為多少？解解 aqvv質(zhì)量流量（質(zhì)量流量（ ）：）：skg /anaamdavdanvvq),cos(davsm /3sm /3體積流量（體積流量（ ）：）：sm

18、 /3anaavdavdanvvq),cos(dav流量與平均速度流量與平均速度例例3-5 粘性流體在圓管（半徑粘性流體在圓管（半徑r）內(nèi)作定常流動。內(nèi)作定常流動。設(shè)圓截面上有兩種速度分布，一種是拋物線分布設(shè)圓截面上有兩種速度分布，一種是拋物線分布,另一種是另一種是1/7次冪分布：次冪分布：2m111rrvv7/12m21rrvv上式中上式中vm1、vm2分別為兩種速分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。度分布在管軸上的最大速度。 求：兩種速度分布的（求：兩種速度分布的（1）流量）流量qv的表達(dá)式；（的表達(dá)式；（2）截面上平均速度截面上平均速度 。v解：解：（1 1）流量計算時）流量計算時da

19、 = 2rdr，拋物線分布的流量為，拋物線分布的流量為rrrrrrvrrrrv02301m221md2d21avq(1 vn )da =21m02421m5 . 0422rvrrrvr1 / 7次冪分布的流量為分布的流量為avq(2rrrrrv07/12md2)1 ( vn )darrrrrrv07/87/1522m7/8)/1 (7/15/1222m22m2m28167. 012098815772rvrvvr)d(1)1 ()1 (2)d(1)11 ()1 (2d2)1 (07/17/822027/1207/12mrrrrrrrvrrrrrrrvrrrrvrmrmr（2 2）拋物線分布和）拋

20、物線分布和1 / 7次冪分布的平均速度分別為次冪分布的平均速度分別為1m2115 . 0 vrqvv2m2228167. 0vrqvv討論：討論：拋物線速度分布的截面平均速度為最大速度的一拋物線速度分布的截面平均速度為最大速度的一半，而半，而1/71/7次冪分布的截面平均速度為最大速度次冪分布的截面平均速度為最大速度的的0.81670.8167倍，這是后者的速度廓線中部更平坦，倍，這是后者的速度廓線中部更平坦，速度分布更均勻的緣故。速度分布更均勻的緣故。 /arhhbbhbhbhd2)(2412212122)44(4dddddddddssddssd212214)4(4hrad44hraddd4

21、42作業(yè)：作業(yè)： 3-2， 3-4 ， 3-7 v s )(tssystemcontrol volumevs)(tvcontrol surface)(tf 系統(tǒng)和控制體vdvntdvdvdvdtddtdntvttvtv)()(lim0i iiiivvviiii ivvcsncvdavdvtdtdn某物理量變化率某物理量變化率 體內(nèi)變化率體內(nèi)變化率 凈通量凈通量定常條件下：定常條件下： = 0 + 隨體導(dǎo)數(shù)隨體導(dǎo)數(shù) 當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù) 遷移導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)cv 控制體；控制體； cs 控制面?？刂泼妗］斶\公式輸運公式控制體廣延量隨時間變化率控制體廣延量隨時間變化率, ,稱為當(dāng)?shù)刈兓史Q為當(dāng)?shù)刈兓?控

22、制體形式的系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)控制體形式的系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)syscvcsddddnatt v n通過控制面凈流出的廣延量流量通過控制面凈流出的廣延量流量, ,稱為遷移變化率稱為遷移變化率 當(dāng)流場定常時當(dāng)流場定常時, 0當(dāng)流場均勻時當(dāng)流場均勻時, 0 輸運公式計算取決于控制體輸運公式計算取決于控制體(面面)的選擇的選擇 davdvtdtdncsncv vmdvn，10davdvtcvcsn0dtdmdtdn ：0davcsn：davdavanan212211a1，a2為管道上的為管道上的任意兩個截面任意兩個截面截面截面a1上的上的質(zhì)量流量質(zhì)量流量 1v2v222111avav 截面截面a2上的上的質(zhì)量流量質(zhì)量流量2

23、211avav微分形式的連續(xù)性方程微分形式的連續(xù)性方程()()d d dd dd d duuuxy ztu y ztx y ztxx x，y，z方向凈流出質(zhì)量為方向凈流出質(zhì)量為,yv,xuzw因密度變化引起的質(zhì)量減少為因密度變化引起的質(zhì)量減少為t由質(zhì)量守恒定律由質(zhì)量守恒定律tzwyvxu單位時間單位體積內(nèi)單位時間單位體積內(nèi)邊長為邊長為dx,dy,dz的長方體控制體元，的長方體控制體元， t內(nèi)內(nèi)x方向凈流出的質(zhì)量方向凈流出的質(zhì)量用場量公式并運用質(zhì)點導(dǎo)數(shù)概念，微分形式連續(xù)性方程為用場量公式并運用質(zhì)點導(dǎo)數(shù)概念，微分形式連續(xù)性方程為d0dt v或改寫為：或改寫為：1 ddt v左邊代表一點鄰域內(nèi)流體體

24、積的相對膨脹速率，右邊代表密度左邊代表一點鄰域內(nèi)流體體積的相對膨脹速率，右邊代表密度相對減少率。連續(xù)性方程適用于任何同種流體。相對減少率。連續(xù)性方程適用于任何同種流體。不可壓縮流體連續(xù)性方程不可壓縮流體連續(xù)性方程0uvw( )txyztv0 v有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規(guī)律為有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規(guī)律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動是否連續(xù)。，試分析該流動是否連續(xù)。 yxxusin2yxyvsin20)sin2(sin2yxyxyvxu故此流動是連續(xù)的。故此流動是連續(xù)的。解解 vdvvnv,davdvtdtdncsncv davdvvtdvvdtdnc

25、scvvdapdvfdvvdtdcsncvv質(zhì)量力質(zhì)量力表面力表面力：dapdvfdavvcsncvncsdavvdavfnana12favdavaa22davvaaa2)(11：)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqfvvqfvvqf vdvvrnvr,advvrdvvrtdvvrdtdcsncvvdaprdvfradvvrdvvrtncscvcsncvdavdvtdtdncsncv ：daprdvfradvvrncscvcsn)()iincsfrdavvr（ 離心泵葉輪內(nèi)的流動zziimfr)(zmdavrvdavrvdavvrnanazncs11112222coscos)

26、(121111122222coscosavrvavrvnn)(1122vrvrqv)(1122vrvrqmvz)(1122vvvvqmpeevz)(11122vvvvghee例例3-6：試求葉輪進(jìn)出口牽連速度、相對速度、絕對：試求葉輪進(jìn)出口牽連速度、相對速度、絕對速度和葉輪理論壓強(qiáng)。已知：速度和葉輪理論壓強(qiáng)。已知：1111500 /min48060105nrdmmbmm332226001208412000/1.20/vdmmbmmqmhkg m解：牽連速度解：牽連速度11220.48 150037.70/60600.6 150047.12/6060eed nvm sd nvm s11 12221200021.05/360036000.48 0.1051200021.05/360036000.6 0.084vnvnqvm sd bqvm sd b11122221.0524.31/sinsin6021.0524.31/sinsin12