第九章多元函數(shù)微分法及其應用習題課

1、第九章第九章 多元函數(shù)微分法及其多元函數(shù)微分法及其 應用習題課應用習題課一、內(nèi)容回顧一、內(nèi)容回顧1、偏導數(shù)的定義與計算、偏導數(shù)的定義與計算000000000 x0()(,)(, )limx xx xy yy yxxf xxf xyzzfxyxx 00000000000(,)()(, )limx xx xy yy yyyyf xyxf x ,yzzfxyyy 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導數(shù)的偏導數(shù) 時，只要把時，只要把 暫時看作常量暫時看作常量而對而對 求導數(shù)；求導數(shù)；) ,(yxfz xz yx類似地，可求函數(shù)類似地，可求函數(shù) 的偏導數(shù)的偏導數(shù) 。 yz ) ,(yxfz 2、多元復合函數(shù)求導法則、多

2、元復合函數(shù)求導法則 zuvtzuvxydzz duz dvdtu dtv dt zzuzvxu xvx zzuzvyuyvy (1)設設 和和 在點在點 可導，可導， 在對應點在對應點 處可微，則復合函數(shù)處可微，則復合函數(shù) 在點在點 處可導，且處可導，且 )(tu t)(tv ),(vufz ),(vut)(),(ttfz (2)設設 和和 存在偏導數(shù)，存在偏導數(shù)， 在對應點在對應點 處可微，則復合函數(shù)處可微，則復合函數(shù) 在在 偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在,且且 ),(yxu ),(yxv ),(vufz ),(vu),(),(yxyxfz ),(yx3、隱函數(shù)的導數(shù)、隱函數(shù)的導數(shù)( )yf x 由方

3、程由方程 確定的一元函數(shù)確定的一元函數(shù) ， 0) ,( yxf則有：則有： yxffdxdy zxffxz zyffyz 由方程由方程 確定二元函數(shù)確定二元函數(shù) ， 則有則有 ：0) , ,( zyxf) ,(yxfz （2）. 由四個變量兩個方程由四個變量兩個方程 所構(gòu)成的方程組所構(gòu)成的方程組, 如如 0),(0),(vuyxgvuyxf確定隱函數(shù)兩個二元函數(shù)確定隱函數(shù)兩個二元函數(shù)),(yxuu ).,(yxvv 方程組方程組（1）. 由三個變量兩個方程所構(gòu)成的方程組由三個變量兩個方程所構(gòu)成的方程組, 如如 0),(0),(vuxgvuxf確定隱函數(shù)兩個確定隱函數(shù)兩個一元函數(shù)一元函數(shù)方程組方

4、程組).(),(xvvxuu .dd,ddxvxu求求.,yvxvyuxu 求求由方程組所確定的隱函數(shù)由方程組所確定的隱函數(shù)4、多元函數(shù)微分學在幾何上的應用、多元函數(shù)微分學在幾何上的應用4.1 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面切線方程：切線方程： 000000( )( )( )xxyyzzttt法平面方程：法平面方程： 000000( )()( )()( )()0txxtyytzz(1)( ): ( )()( )xtlyttzt , 則則 在點在點 處處l000(, , )m xyz切線方程：切線方程： 法平面方程：法平面方程： 000001()()xxyyzzxx00000()(

5、)()()()0 xxxyyxzz切線方程和法平面方程可轉(zhuǎn)化為第切線方程和法平面方程可轉(zhuǎn)化為第(2)種形式，種形式， 求出求出 即可即可.(1,)dy dztdx dx (3) ( , , )0: ( , , )0f xyzlg xyz ,則則 在點在點 處處l000(, , )m xyz(2) , 則則 在點在點 處處( ): ( )yxlzx l000(, , )m xyz4.2 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線切平面方程：切平面方程： 000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzf xy zxxf xy zyyf xy zzz 法線方程：法線方程： 0000000

6、00000(, , )(, , )(, , )xyzxxyyzzf xyzf xyzf xyz 切平面方程：切平面方程： 法線方程：法線方程： 0000000(, )()(, )()xyzzfxyxxfxyyy 0000000(, )(, )1xyxxyyzzfxyfxy (2) , 則則 在點在點 處處:( , )zf xy 000(, , )m xyz(1) , 則則 在點在點 處處:( , , )0f x y z 000(, , )m xyz5.方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 x x0y y00000220(,)()limtf xx yyf x , yzlxy 二元函數(shù)二元函數(shù) 在點在點

7、沿方向沿方向 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 ) ,(yxfz ) ,(000yxpl計算公式:coscoscoszfyfxflfcossinffflxy其中其中 是方向是方向 的方向余弦。的方向余弦。 cos ,cos ,cosl其中 為x 軸到方向 的轉(zhuǎn)角l000000grad (, )(,)(,)xyf xyfxyifxyj 函數(shù)函數(shù) ( , )zf x y在點00(,)pxy處的梯度為一向量:. )()(),( . 22yfxfyxgradf 梯梯度度的的模模為為大大值值它它的的模模為為方方向向?qū)?shù)數(shù)的的最最向向?qū)?shù)數(shù)的的方方向向一一致致，而而它它的的方方向向與與取取得得最最大大方方樣樣

8、一一個個向向量量，函函數(shù)數(shù)在在某某點點的的梯梯度度是是這這結(jié)結(jié)論論6. 無條件極值求法步驟：無條件極值求法步驟： 求求 , 得全部駐點得全部駐點.( , )0 xfxy ( , )0yfxy 求求 , ,00(, )xxfxya 00(, )xyfxyb 00(, )yyfxyc 由判別駐點為極值點的條件，驗證由判別駐點為極值點的條件，驗證 的符號的符號,2acb 確定極值點，求出極值。確定極值點，求出極值。 7. 條件極值求法：條件極值求法：(拉格朗日（拉格朗日（lagrange）乘數(shù)法）乘數(shù)法) 求出極值。求出極值。 構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù) ( , )( , )( , )f xyf xy

9、xy 求解求解 ( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxxyyyffxyxyffxyxyx y 得出得出 , , , xy , xy就是可能的極值點就是可能的極值點.),(yxfz 0),( yx 函數(shù)函數(shù) 在條件在條件 下的可能極值點下的可能極值點:二、典型例題、典型例題 解：解： 1yzuyxxz 1lnyzuxxyz 2lnyzuyxxzz 例例1、 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導數(shù)的偏導數(shù).yzux 分析：因為函數(shù)分析：因為函數(shù) 為三元函數(shù)，所以，應分別求對為三元函數(shù)，所以，應分別求對 yzux , ,x y z的偏導數(shù)。的偏導數(shù)。 解：根據(jù)復合函數(shù)求偏導法則得解：根據(jù)復合

10、函數(shù)求偏導法則得 例例2、設、設 ,而而 , , 求求 和和 .sinuzev uxy vxy zx zy zzuzvxu xvx sincos1uuev yev sin()sin()xyeyxyxyzzuzvyuyvy sincos1uuev xev sin()sin()xyexxyxy 例例3、 設設 , 其中其中 具有二階連續(xù)偏導數(shù)，具有二階連續(xù)偏導數(shù)， ) ,(22xyyxfz f求求2, .zzxx y 解：解： 設設 ,22, uxyvxyzzuzvxu xvx 122xfyf212(2)zxfyfx yy 2221112224(22)fxyfxyfxyf則則利用隱函數(shù)的求導公式得

11、利用隱函數(shù)的求導公式得 xzfzxf 2yzzxy 2yzzxy yzfzyf 2xzzxy 2xzzxy 解解:令令 ,則則33( , , )3f xyzzxyza 23,3,33xyzfyz fxz fzxy 例例4、 設設 ,求求 .333zxyza2zx y 分析：如果令分析：如果令 , 則由方程則由方程 33( , , )3f xyzzxyza ( , , )0f x y z 確定了確定了 是是 的函數(shù)的函數(shù),求求 用隱函數(shù)求導法。但在求二階混用隱函數(shù)求導法。但在求二階混合偏導時，應采用直接求導法。合偏導時，應采用直接求導法。 zxy，zx 22()zyzx yy zxy 222()

12、()(2)()zzzyzxyyzzxyyzxy 422223(2)()z zxyzx yzxy 計算計算 時，我們采用在方程兩邊同時對時，我們采用在方程兩邊同時對 求偏導的方法求偏導的方法, 2zx y y并視并視 為為 的二元函數(shù)的二元函數(shù) , 得得z,x y( , )z x y(1,1,2 2)2(, , )(1, 1, 2)ttttxyz 例例5、求曲線、求曲線 在點在點 sin ,1cos ,4sin2txtt yt z (1, 1, 2 2)2 處的切線及法平面方程。處的切線及法平面方程。分析：此曲線為參數(shù)方程分析：此曲線為參數(shù)方程, 只需求出切向量為只需求出切向量為再求出切點，即可

13、得切線及法平面方程。再求出切點，即可得切線及法平面方程。 (, , ),ttttxyz 解：解： 因因 1cos ,sin ,2cos2ttttxtytz故在點故在點 處的切向量為處的切向量為(1, 1, 2 2)2 所求切線方程為：所求切線方程為： 112 22112xyz 法平面方程為：法平面方程為： (1)(1)2(2 2)02xyz 即即 2402xyz 2220222dydzxyzdxdxdydzxyzdxdx 解：解： 將所給方程的兩邊同時對將所給方程的兩邊同時對 求導得求導得 x 例例6、求曲線、求曲線 在點在點 處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程. 22222250zyx

14、zyx)5 , 4 , 3(分析：此曲線由方程組的形式給出分析：此曲線由方程組的形式給出, 也可視為參數(shù)方程也可視為參數(shù)方程, 視視 x為參數(shù)，則切向量為為參數(shù)，則切向量為 , 利用直接求導法對方程利用直接求導法對方程組求導組求導, 解方程組解方程組, 求出切向量求出切向量, 即可得切線及法平面方程。即可得切線及法平面方程。 (1, , )dydztdxdx (3,4,5)(1, , )dydztdxdx 31(1, ,0)(4, 3,0)44 因此所求切線方程為因此所求切線方程為345430 xyz 法平面方程為法平面方程為 4(3)3(4)0 xy 即即 430 xy 則曲線在點則曲線在點

15、 處的切向量為處的切向量為 )5 , 4 , 3(解得解得 dyxdxy 0dzdx (2,1,4)(, 1)|xynff (2,1,4)(2 , 2 ,1)(4, 2, 1)xy 故切平面方程故切平面方程為為4(2)2(1) (5)0 xyz 即即 4250 xyz 法線方程為法線方程為 215421xyz 例例7、求旋轉(zhuǎn)拋物面、求旋轉(zhuǎn)拋物面 在點在點 處的切平面及處的切平面及 法線方程法線方程.22yxz )5 , 1 , 2(分析：此曲面可看成分析：此曲面可看成 的形式的形式, 只需求出只需求出法向量法向量 , 即可求出切平面及法線方程即可求出切平面及法線方程.22( , )zf x y

16、xy(, 1)xynff 解：設解：設 , 則則 22),(yxyxf 解：沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大。梯度為解：沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大。梯度為 grad ( , , )uuuu xyzijkxyz222y zixyzjxy k所以所以 22(1, 1, 2)grad (1, 1, 2)2|uy zixyzjxy k 24ijk方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值為 222|grad (1, 1, 2)|2( 4)121u 例例8、問函數(shù)、問函數(shù) 在點在點 處沿什么方向的方向處沿什么方向的方向 導數(shù)最大？并求此方向?qū)?shù)的最大值。導數(shù)最大？并求此方向?qū)?shù)的最大值。2uxy z (1, -1, 2)p解：解： 解方程組解方程組 22212(2)02(22)0 xxxyfexyyfey 得駐點得駐點 1(, 1)2m 又又 222(2243)xxxfexyy 24(1)xxyfey22xyyfe 所以所以 1(, 1)4 ,2xxafe 1(, 1)0,2xybf1(, 1)2 ,2yycfe 故故 2280acbe 40ae 1(, 1)22ef 例例9、求函數(shù)、求函數(shù) 的極值的極值. 22( , )(2 )xf xyexyy因此因此 在點在點 處取得最小值處取得最小值, 且為