第九章微分方程57643

1、第九章第九章 微分方程微分方程第一節(jié) 微分方程的概念引例：引例：解解)(xyy 設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為2dyxdx2,1 yx時時其中其中 xdxy2,2cxy 即即, 1 c求得求得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為微分方程微分方程解解微微分分方方程程前言前言變量與導(dǎo)數(shù)或微分變量與導(dǎo)數(shù)或微分之間的關(guān)系之間的關(guān)系變量間的函數(shù)關(guān)系變量間的函數(shù)關(guān)系微分方程微分方程解微分方程解微分方程 微分方程也是一個數(shù)學(xué)模型。許多實際問題可以抽象為微分方程問題。例如：物體的冷卻、人口的增長、電磁波的傳播等。 微分方程是一門獨立的數(shù)學(xué)學(xué)科，有完整的理論體系。 本章主要介紹微分方程的一些基本概念，幾種最簡單的

2、微分方程的求解方法。9.1 微分方程的一般概念微分方程的一般概念一、微分方程的定義一、微分方程的定義凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例,yxy 23,xyyye2()0.tx dtxdx實質(zhì)實質(zhì): : 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量, ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)某些導(dǎo)數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù). .例例1、,20occttt t to設(shè)一物體的溫度為100將其放置在空氣溫度

3、為的環(huán)境中冷卻。根據(jù)冷卻定律：物體溫度的變化率與物體溫度和當時空氣溫度之差成正比，設(shè)物體的溫度與時間 的函數(shù)關(guān)系為 = ( )，建立函數(shù)的微分方程.(20)dtk tdt (0)k k 其中為比例常數(shù)。解：解：根據(jù)題意可得：物體冷卻的物體冷卻的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型0100tt21( )1000 ln3 ( )3pqq pqp 例 、設(shè)某商品的需求量 是價格p的函數(shù)，該商品的最大需求量為1000(即p=0時，q=1000),已知需求量的變化率（邊際需求）為求需求量 與價格 的函數(shù)關(guān)系.3( ),20( )210,( ).xcxc xc xxc x 例 、設(shè)生產(chǎn) 單位某產(chǎn)品的總成本 是 的函數(shù)固定成本

4、為元，邊際成本函數(shù)為求總成本函數(shù)微分方程微分方程微分方程微分方程分類分類1:1: 常微分方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. .分類分類2:2:一階微分方程一階微分方程, 0),( yyxf);,(yxfy 高階高階( (n n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxf).,()1()( nnyyyxfy二、微分方程的分類二、微分方程的分類一元函數(shù)一元函數(shù)一般形式一般形式三、微分方程解的概念三、微分方程解的概念1 1、微分方程的解、微分方程的解: :,)(階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)上有上有在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)nixy . 0)(,),(),(,()( xxxxfn代入微分方程能使方程成為恒

5、等式的函數(shù)代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù). . 0yy是微分方程的解。12sincosycxcx；可以驗證函數(shù)下列函數(shù)為微分方程 的解yy .xyce2xye；2sincosyxx；解為解為)(xy2、微分方程的解的分類：、微分方程的解的分類：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且獨且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .yy 例，xyce通解；0yy ，12sincosycxcx通解；(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. .yy 例，2xye

6、特解；0yy ，2sincosyxx特解；（3 3）初始條件）初始條件: : 用來確定任意常數(shù)的條件用來確定任意常數(shù)的條件. .如：如：0100tt12xy( , )yf x y一般地，一階微分方程的初始條件為：00 x xyy( , ,)yf x y y一般地，二階微分方程的初始條件為：0000 x xx xyyyy，（4 4）初值問題）初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的求微分方程滿足初始條件的解的問題問題. . 00),(yyyxfyxx一階一階:過定點的積分曲線過定點的積分曲線;二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx歸納：歸納：微微分分方方程程的的解解通解通解特

7、解特解初始條件初始條件微分方程微分方程初值問題3 3、微分方程解的幾何意義、微分方程解的幾何意義解的圖象解的圖象: : 微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族. .一階微分方程初值問題的幾何意義：求微分方程通過定點的積分曲線。解解12sincosdxkcktkcktdt ，222122cossind xk cktk cktdt ，代入原方程得：221212(cossin)(cossin)0.kcktcktkcktckt12cossin.xcktckt故是原方程的解00,0ttdxxadt，12,0.cac所求特解為所求特解為cos.xakt小

8、結(jié)小結(jié)微分方程微分方程; 微分方程的階微分方程的階; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始條件初始條件; 特解特解; 初值問題初值問題; 積分曲線積分曲線;思考題思考題 函函數(shù)數(shù)xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考題解答思考題解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常數(shù)中不含任意常數(shù),故為微分方程的故為微分方程的特特解解.練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題填空題: : 1 1、022 yxyyx是是_階微分方程；階微分方程；2 2、022 cqdtdqrdtqdl是是_階微分方程；階微分方程；3 3、 2sin

9、dd是是_階微分方程；階微分方程；4 4、一個二階微分方程的通解應(yīng)含有、一個二階微分方程的通解應(yīng)含有_個任意常數(shù)個任意常數(shù) . .二二、確確定定函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式)sin(21cxcy 所所含含的的參參數(shù)數(shù), ,使使其其 滿滿足足初初始始條條件件1 xy, ,0 xy. . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案第九章 微分方程第二節(jié) 一階微分方程復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：一階方程的一般形式為一階方程的一般形式為0),( yyxf初值問題：初值問題： 00),(yyyxfyxx 這個方程雖然簡單，但常常很難求出解的表達式這個方程雖然簡單，但常常很難求出解的表達式本節(jié)只討論幾種特殊類型的一階微分方程的解法。本節(jié)只討論幾種特殊

10、類型的一階微分方程的解法。9.2 一階微分方程一階微分方程 可分離變量的微分方程分離變量法 齊次微分方程變量代換 一階線性微分方程常數(shù)變易法教學(xué)任務(wù)22xydxdy xdxdy2 兩邊積分得兩邊積分得cxy 2xdxdyy212 兩邊積分得兩邊積分得 cxy 21或或cxy 21xdyydx 11dydxyx lnlnyx c 兩邊積分得兩邊積分得 一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程( ) ( )dyf x g ydx 1122( )( )( )( )mx ny dymx ny dx 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程1、方程的特點及形式( )( )g y dyf x dx

11、 已分離變量的微分方程已分離變量的微分方程可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程4252dyx ydx例如4252ydyx dx注意方程右邊注意方程右邊2dxxydyy dxydy2(1)(1)y xdyydx解法解法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的,( )( )g y dyf x dx分離變量法分離變量法( )( )g yf xc為微分方程的解為微分方程的解.求解步驟：求解步驟：（1）分離變量）分離變量（2）兩邊積分）兩邊積分（3）化簡整理得通解）化簡整理得通解例例1、2dyxydx 求微分方程的通解.2dyxdxy2dyxdxy21ln yxc得：解：解：分離變量得：兩邊

12、積分21xcye 21cxe e 2xce微分方程的通解為：微分方程的通解為：2xyce例例2、dyxdxy 解微分方程.ydyxdx解：解： 分離變量得：兩邊積分222111222yxr 得222xyr微分方程的通解為：微分方程的通解為：例例3、2dxxydyy dxydy求微分方程的通解.2(1)(1)y xdyydx2111ydydxyx解：解： 變形方程得：分離變量得：兩邊積分2111ydydxyx得211ln1ln1ln,2yxc 221(1)yc x 微分方程的通解為：微分方程的通解為：小結(jié)：小結(jié)：( , )dyf x ydx設(shè)有微分方程( )( )g y dyf x dx( )(

13、 )g y dyf x dx( )( )g yf xc分離變量法分離變量法分離變量分離變量兩邊積分兩邊積分通解通解注意：注意：( )dyf xdx( )yf x dxc( )dyg ydx1( )dyxcg y特殊情形的求解例例4、求解初值問題：、求解初值問題：0(20)100tdtk tdtt 120dtkdtt 120dtkdtt 1ln(20)tktc 解： 分離變量得：兩邊積分20kttce010080,ttc由得：8020ktte復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：( , )dyf x ydx設(shè)有微分方程( )( )g y dyf x dx( )( )g y dyf x dx( )( )g yf xc分離變

14、量法分離變量法分離變量分離變量兩邊積分兩邊積分通解通解特殊情形：特殊情形：( )dyf xdx( )yf x dxc( )dyg ydx1( )dyxcg yln0 xyyy解微分方程：解解11lndydxyyxlnlnlnln ,yxc分離變量分離變量兩邊積分兩邊積分微分方程的通解為：微分方程的通解為：.cxyeln,ycx二、齊次方程二、齊次方程22,dyydxxyx2( ),( ) 1ydyxydxx22()(2)0,xyydxxxy dy1.1.定義定義( )dyyfdxx形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .2( )( ),1 2( )yydyxxydxx引例：求解微

15、分方程引例：求解微分方程22,dyydxxyx2( ),( ) 1ydyxydxx,1duuxdxu1lnln,uuxc解：變形方程得：,yux令,dyduuxdxdx 2,1duuuxdxu,yux令,uxuce微分方程的通解為：微分方程的通解為：.yxyce2.解法解法 作變量代換作變量代換,yxu,dyduuxdxdx 代入原式代入原式( ),duuxf udx( ).duf uudxx即可分離變量的方程可分離變量的方程3.步驟步驟dyduyxuu xdxdx 令令（4）回代還原（1）變量變換（2）代入原方程，化為可分離變量的方程（3）求解新方程例例5、dyxydxxy 解解微微分分方方

16、程程：解解令令yux則則dyduu xdxdx ，代入化簡代入化簡 并分離變量并分離變量2111ududxux，兩邊積分兩邊積分21arctanln(1)lnln2uuxc，換回原變量換回原變量221arctanln(1)lnln2yyxcxx，或或arctan22yxecxy例例6 6 、 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsincxu 微分方程的解為微分方程的解為sinln.yxcx 二、齊次方程二、齊次方程步驟步驟dyduyxu

17、uxdxdx 令令代代入入方方程程，化化簡簡求求解解回代還原回代還原變量代換法例例7 7、 求解微分方程求解微分方程1()0yxxxey dxxdyy 在在初初始始條條件件下下的的特特解解。解解，令令xyu ,uduuxeudx則：,yxdyyedxx1,ue dudxx微分方程的解為微分方程的解為ln.yxxecln,uexc101xyc由得ln1.yxxe三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程,2xydxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式的標準形式:( )( )dyp x yq xdx( )0q x 當，一階線性齊次方程( )0,q x 當一階非齊次線性方程y和和y是一次的

18、是一次的舉例舉例,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性方程線性方程非線性方程非線性方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法:1. 線性齊次方程線性齊次方程. 0)( yxpdxdy方程的通解為方程的通解為( ).p x dxyce 1( )dyp x dxy ln( ).yp x dxc xdyyedx例例8、0dyydx由得：xyce( ),xyu x e令( )( )xxyux eu x e解：解：代入原方程得：代入原方程得：( )1,ux ( ),u xxc.xxyxece原方程的通解為：解微分方程：一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法:2.

19、線性非齊次方程線性非齊次方程( )( )dyp x yq xdx常數(shù)變易法常數(shù)變易法非齊次方程的通解為非齊次方程的通解為( )( )( ).p x dxp x dxyq x edx c e( )( )0p x dxdyp x yycedx( )( )( )( )( )( )( )( )p x dxp x dxp x dxyu x euxq x eu xq x edx 令令( )( )p x dxyu x e代入得通解。常數(shù)變易法步驟：( )1p x dxyce 、求求解解對對應(yīng)應(yīng)的的線線性性齊齊次次方方程程，得得：2( ),;cu xy y 、令令, ,得得：3( );u x、代代入入原原方方

20、程程，得得：4.y、代代入入 得得方方程程的的通通解解例例9、10yyx由由得得：,cyx (,)u xyx 令令1sin xyyxx2( )( )ux xu xyx 解：解：代入原方程得：( )sinuxxxx ( )cos,u xxc 則則：原方程的通解為原方程的通解為：cos.xcyx 解微分方程：例例10、30,dxxydyy 21,dxxydyy(,)u yxy 令令3()0(0).ydxxy dyy2( )( )uy yu yxy 解：解：代入原方程得：2( ),uyyy 41( ),4u yyc則則：原方程的通解為原方程的通解為：4.4xyyc解微分方程：10,dxcxxdyyy

21、由由得得：一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法:1. 線性齊次方程線性齊次方程. 0)( yxpdxdy齊次方程的通解為齊次方程的通解為( ).p x dxyce2. 線性非齊次方程線性非齊次方程( )( )dyp x yq xdx常數(shù)變易法常數(shù)變易法非齊次方程的通解為非齊次方程的通解為( )( )( ).p x dxp x dxyq x edx c e一階非齊次一階非齊次線性線性微分方程的通解為微分方程的通解為:( )( )( )p x dxp x dxyq x edxc e( )( )( )( )p x dxp x dxp x dxceeq x edx對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通

22、解非齊次方程特解非齊次方程特解非齊通解非齊通解 = 齊通解齊通解 + 非齊特解非齊特解線性微分方程線性微分方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)。第九章 微分方程第三節(jié) 可降階的二階微分方程引入：引入：),(yyxfy ( )yf x( ,)yf x y二階微分方程的一般形式二階微分方程的一般形式兩種特殊形式兩種特殊形式一、一、( )yf x 型( )( )nyf x特點：特點：右端不含右端不含 yy ,僅是僅是 x 的函數(shù)的函數(shù) 解法：解法：兩端積分兩端積分1( )yf x dxc再積分再積分 21)(cxcdxdxxfy解法：解法： 連續(xù)連續(xù)n次積分次積分xyxe由積分得：例例1、xyxe 求微分方程的通解

23、.解：解：1xxxyxe dxxeec再積分一次得：112()xxxxxyxeec dxxeeec xc12(2).xyxec xc2cosxyex由得：例例2、200cos ,0, 1xxxyexyy 求方程滿足的特解.解：解：2211(cos )sin2xxyex dxexc(0)1,y由初始條件得：211sin,22xyex2221111(sin)cos2242xxyexdxexxc(0)0,y由初始條件得：2115cos424xyexx二、二、 型型),(yxfy 特點：特點：右端不含右端不含 y 解法：解法：令令 py py ( , )pf x p1( , )yx c12( , )y

24、x c dx c1( ,)px c一階微分方程一階微分方程積分積分例例3解方程解方程3, 1,2)1(002 xxyyyxyx解解令令py xppx2)1(2 分離變量得分離變量得dxxxpdp21212ln)1ln(lncxp)1 (21xcp21(1)ycx由由:30得xy31c23(1)yx 233cxxy由由1120cyx故故133xxy返回三、三、 型型),(yyfy 特點：特點：右端不含右端不含 x解法：解法： 令令dyypdx ，dpypdy( , )dppf y pdy1( , )yy c1( , )py c211.( , )dyx cy c dpdp dyydxdy dx例例4.02的通解的通解求方程求方程 yy