高中數(shù)學(xué)知識點整理(蘇教版)

1、第一講 集合一、知識精點講解1 .集合：某些指定的對象集在一起成為集合。(1)集合中的對象稱元素， 若a是集合A的元素，記作a A;若b不是集合A的元素， 記作b A ；(2)集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設(shè) A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體(對象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)；(3)表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出

2、來，寫在大括號內(nèi)；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)。具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。(4)常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N;正整數(shù)集，記作 N*或N+;整數(shù)集，記作Z;有理數(shù)集，記作 Q; 實數(shù)集，記作 Ro2.集合的包含關(guān)系：(1)集合A的任何一個元素都是集合 B的元素，則稱 A是B的子集(或B包含A), 記作A B (或A B

3、);集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。若 A B且B A,則稱A等于B,記作 A=B;若A B且Aw B,則稱 A是B的真子集，記作 A B；(2)簡單性質(zhì)：1) A A; 2)A; 3)若A B, B C,則A C; 4)若集合A是n個元素的集合，則集合 A有2n個子集(其中2n1個真子集)； 3.全集與補集：(1)包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U;(2)若S是一個集合，A S,則，CS=x|x S且x A稱S中子集A的補集；4.交集與并集：(1) 一般地，由屬于集合 A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集A B x|x A且x B。(2

4、) 一般地，由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。并集A B x|x A或x B。注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集 的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合 Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結(jié)合的思想方法。第二講 函數(shù)概念與表示一、知識精點講解(3) 函數(shù)的概念：設(shè) A 、 B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系 f ，使對于集合A 中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱 f: A-B為從集合A到集合B的

5、一個函數(shù)。記作：y=f（x）, xC Ao其中，x叫做自變量，x的取值范圍 A叫做函數(shù)的定義 域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）| xC A 叫做函數(shù)的值域。注意：（1） “y=f（x）”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；（2）函數(shù)符號“y=f（x）”中的f（x）表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是 f乘x。2構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域（ 1）解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：自然型： 指函數(shù)的解析式有意義的自變量x 的取值范圍 （如： 分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真

6、數(shù)為正數(shù)，等等） ；限制型： 指命題的條件或人為對自變量x 的限制， 這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點， 往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時，應(yīng)認真考察自變量x的實際意義。（ 2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；不等式法（運用不等式的各種性質(zhì)）；函數(shù)法（運用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函 數(shù)圖象等） 。3兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應(yīng)法則fo當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函

7、數(shù)才是同一個函數(shù)。4區(qū)間：區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；5映射的概念一般地，設(shè)A 、 B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f ，使對于集合A中的任意一個元素x， 在集合 B 中都有唯一確定的元素y 與之對應(yīng)， 那么就稱對應(yīng)f ： A B為從集合 A 到集合 B 的一個映射。記作“ f ： A B” 。函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)， 若將其中的條件 “非空數(shù)集”弱化為 “任意兩個非空集合” ，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射。注意： （ 1）這兩個集合有先后順序， A 到 B 的射與 B 到 A 的映射是截然不同的其中 f 表

8、示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字敘述。(4) 2） “都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。6常用的函數(shù)表示法：（ 1）解析法： （ 2）列表法：（ 3）圖象法：7分段函數(shù)若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間， 而每個子區(qū)間的解析式不同， 這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8復(fù)合函數(shù)若 y=f(u),它的取值范圍是u=g(x),x (a, b), u (m,n),那么y= fg(x)稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量, g(x)的值域。第三講函數(shù)的基本性質(zhì)一、要點精講1.奇偶性(1)定義：如果對于函數(shù) f(x)定義域內(nèi)的任意 x都有f( x)= f(x),則稱f(

9、x)為奇函數(shù)； 如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(- x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述，f質(zhì)，則 f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)， 則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。汪思：O函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；C2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任 意一個x,則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱)。(2)利用定義 判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：O首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱； 確定f( x)與f(x)的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若

10、 f( x) = f(x)或 f(-x)-f(x) = 0 ,則 f(x)是偶函數(shù)；若 f( x) = f(x)或 f( x)+ f(x) = 0 ,則 f(x)是奇函數(shù)。(3)簡單性質(zhì)：圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函 數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；設(shè)f(x), g(x)的定義域分別是 D1,D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇2 .單調(diào)性(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個自變量 xi, x2,當(dāng)xi<x2時，都有

11、f(xi)<f(x2) (f(xi)>f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間 D上是增函數(shù)(減函數(shù))；注意：O 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對于區(qū)間 D內(nèi)的任意兩個自變量 xi, x2；當(dāng)xi<x2時，總有f(xi)< f(x2)(2)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間 D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。(3)設(shè)復(fù)合函數(shù)y= fg(x),其中u=g(x) , A是y= fg(x)定義域的某個區(qū)間，B是映射g : x-u=g(x)的象集：若u=g(x)在A上是增

12、(或減)函數(shù)，y= f(u)在B上也是增(或減)函數(shù)，則函數(shù) y= fg(x)在A上是增函數(shù)；若u=g(x)在A上是增(或減)函數(shù)，而y= f(u)在B上是減(或增)函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x) 在A上是減函數(shù)。(4)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 ：任取xi,用C D ,且x1<x2；作差 f(xi)-f(x2); 變形(通常是因式分解和配方)；定號(即判斷差f(Xi)f(X2)的正負)； 下結(jié)論(即指出函數(shù) f(x)在給定白區(qū)間 D上的單調(diào)性)。(5)簡單性質(zhì)奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；在公共定義域內(nèi)： 增函數(shù)f (x)增函數(shù)g(x)是增函數(shù);減函數(shù)

13、f (x)減函數(shù)g(x)是減函數(shù);增函數(shù)f (x)減函數(shù)g(x)是增函數(shù);減函數(shù)f (x)增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。3 .最值(1)定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù) M滿足：對于任意的 x CI,都有f(x)< M;存在xo I,使得f(xo) = M。那么，稱 M是函數(shù)y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù) M滿足：對于任意的 x CI,都有f(x)>M；存在xoC I ,使得f(xo) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。 一、/ 注息：函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在xo I

14、,使得f(xo) = M; 函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的xCI,都有f(x)<M (f(x)>M)o(2)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值的方法： 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值；利用圖象求函數(shù)的最大(小)值； 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f(x)在x=b 處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f(x)在x=b 處有最小值f(b);4.周期性(1)定義：如果存在一個非零常數(shù)

15、 T,使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都有f(x+T尸f(x),則稱f(x)為周期函數(shù)；(2)性質(zhì)：f(x+T)= f(x)常常寫作f(x 夕 f (x T),若f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；若周期函數(shù)f(x)的周期為T,則f(兇(30)是周期函數(shù)，且周期為| |精選文檔第四講基本初等函數(shù)一、要點精講1 .指數(shù)與對數(shù)運算(1)根式的概念：定義：若一個數(shù)的n次方等于a(n1,且n N ),則這個數(shù)稱a的n次方根。即若xn a ,則x稱a的n次方根n1且nN ),1)當(dāng)n為奇數(shù)時，a的n次方根記作Qa ；2)當(dāng)n為偶數(shù)時，負數(shù)a沒有n次方根，而正數(shù)a有兩個n次方

16、根且互為相反數(shù)，記作癡a 0)。性質(zhì)：1) (Va)n a ； 2)當(dāng)n為奇數(shù)時，Van a；3)當(dāng)n為偶數(shù)時，a |a|a(a 0)oa(a 0)(2) .哥的有關(guān)概念規(guī)定：1) an a a a(n N*； 2) a01(a 0)；%/Yn個3)-(p Q, 4) ann，am(ap0,m、n N* 且 n 1)。性質(zhì)：1) ar as ar s(a0, r、s Q);2) (ar)s ars(a 0,r、s Q); r r r_3) (a b) a b (a 0,b 0,rQ)。(注)上述性質(zhì)對r、s R均適用。(3) .對數(shù)的概念N ,那么數(shù)b稱以a為底定義：如果a(a 0,且a 1)

17、的b次哥等于N,就是abN的對數(shù)，記作loga N b,其中a稱對數(shù)白底，n稱真數(shù)。1)以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，log10 N記作lg N ；2)以無理數(shù)e(e 2.71828 )為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，log e N ,記作ln N ；基本性質(zhì)：1)真數(shù)N為正數(shù)(負數(shù)和零無對數(shù))；2) loga1 0；3) log a a 1；4)對數(shù)恒等式：alogaN N。運算性質(zhì)：如果 a 0,a 0,M0,N Q則1) loga(MN) loga M loga N ；2)loga M loga Mloga N ；N3) log a M n n log a M (n R)。 log m N _換底公

18、式：loga N(a 0,a 0,m 0,m 1, N 0),log ma1 ) log a b log b a 1； 2) logam bn loga bo m2 .指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù) y ax(a 0,且a 1)稱指數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域為 R;2)函數(shù)的值域為(0,);3)當(dāng)0 a 1時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng) a 1時函數(shù)為增函數(shù)。a>10<a<1性 質(zhì)定義域：R(2)值域：(0, +8)函數(shù)圖像：(3)過定點(0, 1),即 x=0 時，y=1(4)x>0 時，y>1;x<0 時，0<y<1(5)在R上是增函數(shù)(4)

19、x>0 時，0<y<1;x<0 時，y>1.(5)在R上是減函數(shù)a>10<a<1(2)對數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù) y log a x(a 0,且a 1)稱對數(shù)函數(shù),y圖1y=loga xa>1一一O象/11vxx=1a<1(1)定義域：(0, +8)(2)值域：R(3)過點(1, 0),即當(dāng) x=1 時，y=0性(4 ) x (0,1)時盾y 0x (1,)時y>0x (0,1)時 y 0x (1,)時丫 0(5)在(0, +8)上是增函數(shù)在(0, +8)上是減函數(shù)第五講函數(shù)圖象及數(shù)字特征、知識精點講解1 .函數(shù)圖象(1)作圖方法：以

20、解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法。作函數(shù)圖象的步驟：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢)；描點連線，畫出函數(shù)的圖象。用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進行變換，以及確定怎樣的變換。(2)三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；平移變換：I、水平平移：函數(shù) y f (x a)的圖像可以把函數(shù) y f(x)的圖像沿x軸方向向左(a 0)或向右(a 0)平移|a|個單位即可得到；左移h右移h1) y=f(x)y=f(x+h);2) y=f(x)y=f(x h)；n、豎直平移：函數(shù) y f

21、 (x) a的圖像可以把函數(shù) y f(x)的圖像沿x軸方向向上(a 0)或向下(a 0)平移| a|個單位即可得到;上移hi) y=f(x)y=fg+h；對稱變換：下移h2)y=f(x)y=f(x)h。I、函數(shù)y f ( x)的圖像可以將函數(shù) yf (x)的圖像關(guān)于y軸對稱即可得到;y軸y= f(x)y= f( x)n、函數(shù)yf (x)的圖像可以將函數(shù)y f (x)的圖像關(guān)于x軸對稱即可得到x軸y= f(x)y=f(x)出、函數(shù)yf ( x)的圖像可以將函數(shù) yf (x)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到原點y=f(x)y= f( x)IV、函數(shù)xf(y)的圖像可以將函數(shù) y f(x)的圖像關(guān)于直線

22、y x對稱得到直線y xy= f(x)x= f(y)V、函數(shù)y f(2a x)的圖像可以將函數(shù) y f(x)的圖像關(guān)于直線x a對稱即可得直線x ay= f(x)y=f(2a x)。翻折變換：I、函數(shù)y | f (x) |的圖像可以將函數(shù) y f(x)的圖像的x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，去掉原 x軸下方部分，并保留 y f (x)的x軸上方部分即可得到；n、函數(shù)y f (| x |)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像右邊沿y軸翻折到y(tǒng)軸左邊替y=f(x)代原y軸左邊部分并保留y f (x)在y軸右邊部分即可得到.oy=f(|x|)Yb c '"x伸縮變換:I、函數(shù) y a

23、f (x) (a0)的圖像可以將函數(shù) y f (x)的圖像中的每一點橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(a1)或壓縮(0 a 1)為原來的a倍得到;y ay=f(x)y= af(x)n、函數(shù)yf(ax) (a橫坐標(biāo)伸長(a1)或壓縮(0)的圖像可以將函數(shù) y f (x)的圖像中的每一點縱坐標(biāo)不變10 a 1)為原來的一倍得到。ax af(x) y=f(x)y=f(ax)(3)識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面。2.備函數(shù)0,1）在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類:在考查學(xué)生對募函數(shù)性的掌握和運用函數(shù)的T質(zhì)解決問題時，所涉及的募函數(shù)y x中 限于在集合2,1,1, 1,1,1, 2, 3中取值

24、。232哥函數(shù)有如下性質(zhì)：它的圖象都過（1, 1）點，都不過第四象限，且除原點外與坐標(biāo)軸都不相交;定義域為 R或的哥函數(shù)都具有奇偶性，定義域為R或0, 的哥函數(shù)都不具有奇偶性；哥函數(shù)y x （0）都是無界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng)0時為減函數(shù)，當(dāng) 0時為增函數(shù)；任意兩個募函數(shù)的圖象至少有一個公共點（1, 1）,至多有三個公共點；第六講函數(shù)與方程一、知識精點講解1 方程的根與函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點概念：對于函數(shù)y f (x)(x D) ，把使 f (x) 0成立的實數(shù)x 叫做函數(shù)y f(x)(x D)的零點。函數(shù)零點的意義： 函數(shù) y f (x) 的零點就是方程f (x) 0 實數(shù)根， 亦即函數(shù)

25、y f (x)的圖象與 x 軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程f (x) 0 有實數(shù)根 函數(shù) y f (x) 的圖象與 x 軸有交點 函數(shù) y f(x) 有零點。二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0) 的零點：21) > 0 ,萬程ax bx c 0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點；2) = 0 ,方程ax2bxc0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與 x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點；3) < 0 ,方程ax2bxc0無實根，二次函數(shù)的圖象與 x軸無交點，二次函數(shù)無零點。零點存在性定理：如果函數(shù)y f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷

26、的一條曲線，并且有 f(a) f (b) 0 ，那么函數(shù)y f(x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)有零點。既存在c (a,b) ，使得f(c) 0 ,這個c也就是方程的根。2 .二分法二分法及步驟：對于在區(qū)間a, b上連續(xù)不斷，且滿足 f(a) f(b) 0的函數(shù)y f(x),通過不斷地把函數(shù) f (x) 的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法給定精度 ，用二分法求函數(shù)f (x) 的零點近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間a, b,驗證f(a) f(b) 0,給定精度；(2)求區(qū)間(a ， b) 的中點x1；3)計算f (x1) ：若f(xj=0,則X

27、i就是函數(shù)的零點;若 f(a) f(xi)<0,則令 b=Xi (此時零點 Xo (a,Xi)；若 f (x1) f (b) < 0 ,則令 a = x1 (此時零點 x0 (x1,b);注：用二分法求函數(shù)的變號零點：二分法白條件f(a) f(b) 0表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點。3 .二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法：y=aX2+bx+c; y=a僅一x1)(xX2); y=a(xXo)2+n。1(2)當(dāng)a>0 , f(x)在區(qū)間p, q上的取大值 M,取小值 m,令Xo=- (p+q)。2b右一一<p,則 f(p尸m, f(q)=M;2a若

28、 pw <X0,則 f( )= m, f(q)= M ；2a2a若 x°w <q,則 f(p)=M, f(- )=m;2a2ab右一一>q,則 f(p)=M, f(q尸m。2a(3)二次方程f(x)= a*+bx+c=0的實根分布及條件。方程f(x)=0的兩根中一根比大，另一根比小 af(r)<0；b2 4ac 0,二次方程f(x)=0的兩根都大于r r,2aa f(r) 0b2 4ac 0,b二次方程f(x)=0在區(qū)間(p, q)內(nèi)有兩根p 2a q,a f(q) 0,a f(p) 0;二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)f(q)<0

29、,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p, q)內(nèi)成立。第七講空間幾何體一、知識精點講解1 .柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征(1)柱棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公 共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸； 垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)

30、而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；(2)錐棱錐：一般的有一個面是多邊形， 其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐； 這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。底面是三角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面

31、。棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。臺棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點。圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸。圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。(4)球以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。(5)組合體由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。2 .空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置

32、觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。他具體包括：(1)正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；(2)側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；(3)俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；第八講空間幾何體的表面積和體積、知識精點講解1 .多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積（S側(cè)）全面積（S全）體積（V）棱 柱棱柱直截回周長X 1S側(cè)+2S底S底 h=S直截面 h直棱柱chS底. h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S"S底空底，h正棱錐1 -ch2棱 臺棱臺各側(cè)向面積之和S側(cè)+S上底+S下底1 .一- h（S上底+S下

33、底+ S S下底S下底）正棱臺1一 (c+c )h2表中S表小面積，c'、c分別表不上、下底面周長，h表斜局，h ,表不斜tWj, l表不側(cè)棱長。2 .旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球$側(cè)2 <1<1M"r 2)S全2 <(1+r)<(1+r)/門+2)1+ 7(r21+r22)4tR2V/h（即兀自）12h< h 3一疝（產(chǎn)1+12+r 22） 3-欣33表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑， 小上分別表示圓臺 上、卜底面半徑，R表示半徑。第九講 空間中的平行關(guān)系一、復(fù)習(xí)目標(biāo)要求1 .平面的基本性質(zhì)與推論借助長方體

34、模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理： 公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi); 公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面； 公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線;一 公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行； 定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。2 .空間中的平行關(guān)系以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過直觀感

35、知、操作確認，歸納出以下判定定理：1 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；2 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：3 一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面交線與該直線平行；4 兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行;5 垂直于同一個平面的兩條直線平行能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。、要點精講6 .平面概述(1)平面的兩個特征：無限延展平的(沒有厚度)(2)平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面(3)平面的表示：用一個小寫的希臘字母

36、、 等表示，如平面 、平面 ；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC。7 .三公理三推論：公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi):A i，B 12A 史 i公理2:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的 集合是一條過這個公共點的直線。公理3:經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。推論二：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論三：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。8 .空間直線：(1)空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線一一有且僅有一個公共點；平行直線一

37、一在同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線。異面直線的畫法常用的有下列三種：(2)平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的。即公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。(3)異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線， 和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線。推理模式：A ,B ,a ,B a AB與a是異面直線。9 .直線和平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點)；(2)直線和平面相交(有且只有一個公共點)；(3)直線和平面平行(沒有公共點)一一用兩分法進行兩次分類。它們的

38、圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為a , al A, a/線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。推理模式：,b , a / b a /線面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線和一個平面平行， 經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。推理模式： a ,a , I b a/b_精選文檔10 兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點）一（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。a定理的模式： bal b P /a/b/推論：如果一個

39、平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。推論模式：a I b P, a , b , a I b P , a , b, a/ a , b / b/（2）兩個平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于 另一個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。第十講 空間中的垂直關(guān)系一、知識精點講解1 .線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平

40、面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條 斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。PO ,Oa推理模式：PA I A a AO oJa , a AP注意：三垂線指 PA, PO, AO都垂直”內(nèi)的直線a其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直 線垂直的判定和性質(zhì)定理.要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用。2 .線面垂直定義：如果一條直線l和一個平面a相交，并且和平面a內(nèi)的任意一條直線,都垂直，我們就說直線 l和平面a互相垂直磔;中直線l叫做平面的垂線，平面a Cl bf 叫做直線 l的垂面，直線與平面的交點叫做垂足。 直線l與平面a垂直記作：1，a。-Jf直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩

41、條相交直/ |:/線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。"直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。3 .面面垂直兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。兩平面垂直的性質(zhì)定理： （面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直， 那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。第十一講直線、圓的方程、知識精點講解1 .傾斜角：一條直線 L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為0,2 .斜率：當(dāng)直線的傾

42、斜角不是900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan ;當(dāng) 直線的傾斜角等于 900時，直線的斜率不存在。過兩點p1(xi,yi),p2(X2,y2)(xiWx2)的直線的斜率公式：k=tany2y1 (若xi=X2,則直線X2 X1P1P2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為900)。4 .直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。確定直線方程的形 式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90°的直線不 能用此式點斜式y(tǒng)-y3=k(x-x0)(X0, yO)直線上 已知點，k斜率傾斜角為90

43、6;的直線不 能用此式兩點式y(tǒng)y _ x 為丫2V1x2Xi(xi, y1), (X2,更)是直線上兩個已知點與兩坐標(biāo)軸平行的直線 不能用此式截距式x+I=1 a ba-一直線的橫截距b直線的縱截距過(0, 0)及與兩坐標(biāo)軸 平行的直線不能用此式一M式Ax+ By+ C=0C, C分別為BA B斜率、橫截距和縱截距A、B不能同時為零5 .圓的方程圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準方程為：(x a)2 (y b)2 r2(r 0)。特殊地，當(dāng)a b 0時，圓心在原點的圓的方程為:圓的一般方程x2Dx Ey222x y r 。- 一D E -F 0 ,圓心為點(一，一)，半徑22D2 E2 4

44、Fr ,其中d2E2 4F0。二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 ,表示圓的方程的充要條件是:、x2項y2項的系數(shù)相同且不為 0,即A C 0；、沒有xy項，即B=0;、D2 E2 4AF 0。第十二講 直線、圓的位置關(guān)系、知識精點講解1 .直線li與直線12的的平行與垂直(1)若11, 12均存在斜率且不重合： 11/1 2k產(chǎn)k2； li 12kik2= 1。(2)若 11 : A1xB1y C10,l2 : A2x B2y C20若A1、A2、B1、B2都不為零。 111 2A1B1A2B2C1C2 1112A1A2+ B1B2=0 ；11與12相交A1B1 .A2B

45、211與12重合A1B1A2B2C1 一； C2注意：若 A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母 二0與 0的情況。兩條直線的交點：兩 條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。2 .距離(1)兩點間距離：若 A(x1,y1)，B(x2,y2)，則 AB J® x1)2 (y2yp特別地：人8乂軸，則AB |x1 x2|、慶8丫軸，則AB1yl y2|。(2 )平行線間距離：若 11 : Ax By C1 0,12 ： Ax By C2 0IC1 C2則：d 。注意點：x, y對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等。一 A2 B2(3)點到直線的距離：P(x ,y ), 1: Ax B

46、y C 0,則P至U 1的距離為:Ax By C222 3 .直線Ax By C 0與圓(x a) (y b) r的位置關(guān)系有三種(1)Aa Bb C.A2 B2相離0;(2)相切0;(3)相交0。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組Ax2xBy2y求解，通過解Dx Ey F 0的個數(shù)來判斷：(1)當(dāng)方程組有2個公共解時(直線與圓有2個交點)(2)當(dāng)方程組有且只有 1個公共解時(直線與圓只有(3)當(dāng)方程組沒有公共解時(直線與圓沒有交點),直線與圓相交；1個交點)，直線與圓相切;,直線與圓相離;即：將直線方程代入圓的方程得到二次方程，設(shè)它的判別式為A ,圓心C到直線l的距離為 相切 相交 相離

47、d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系:d=rd<rd>rA =0;A>0;A<QO4.兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為 O1。2,半徑分別為門，O1O2 d。ri外離4條公切線；ri2外切3條公切線；r1r2r1.2相交2條公切線；.1.2內(nèi)切1條公切線；4 內(nèi)含 無公切線；ri內(nèi)切內(nèi)含判斷兩個圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個數(shù)來解決。第十三講任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式一、知識精點講解1 .任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位置 OA,繞著它的端點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置 OB,就形

48、成角 。旋 轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點 O叫做叫 的頂點。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。2 .終邊相同的角、區(qū)間角與象限角角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個角具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kKkC Z）,即3 C 3|爐2k/，kC Z,根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的

49、各種三角函數(shù)值都相等。區(qū)間角是介于兩個角之間的所有角，如aC a| < a <5= , o_66 一6_ 6 一3 .弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad ,或1弧度，或1（單位可以省不寫）。角有正負零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負零之分，如-兀，-2兀等等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)， 負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是 0,角的正負主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。角 的弧度數(shù)的絕對值是：L,其中，l是圓心角所對的弧長，r是半徑。r角度制與弧度制的換算主要抓住180 rad ?；《扰c角度互換公式：1rad=180° 57.30°

50、=57 ° 18，、1° = = 0.01745 （rad）?；￠L公式：l | |r （ 是圓心角的弧度數(shù)），、，-112扇形面積公式：S lr -1 |r2。224 .三角函數(shù)定義在的終邊上任取一點P(a,b),它與原點的距離r - a2 b20 .過P作x軸的垂線,垂足為M，則線段OM的長度為a ,線段MP的長度為b .則sinMP bOP 7cos OM a； tanOP rMP bOM a利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè) 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x, y)，那么:y叫做 的正弦，記做sin ，即sin y ;(2) x叫做 的余弦，記做cos ，即

51、cos x；(3) )叫做 的正切，記做tan ,即 xtan (x 0)。 x5 .三角函數(shù)線三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函 數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值 大小、解三角方程及三角不等式等問題時，十分方便。以坐標(biāo)原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓(注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米)。當(dāng)角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點P(x,y),過點P作PM x軸交x軸于點M ,根據(jù)三角函數(shù)的定義：| MP | |y | |sin |; |OM | |x| |cos |。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)

52、.當(dāng)角 的終邊不在坐標(biāo)軸時，以。為始點、M為終點，規(guī)定：當(dāng)線段OM與x軸同向時，OM的方向為正向，且有正值 x；當(dāng)線段OM與x軸反向 時，OM的方向為負向，且有負值 x；其中x為P點的橫坐標(biāo).這樣，無論那種情況都有OM x cos同理，當(dāng)角 的終邊不在x軸上時，以M為始點、P為終點，規(guī)定：當(dāng)線段MP與y軸同向時，MP的方向為正向，且有正值y；當(dāng)線段MP與y軸 反向時，MP的方向為負向，且有負值 y;其中y為P點的橫坐標(biāo)。這樣，無論那種情況都有 MP y sin 。像MP、OM這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖，過點A(1,0)作單位圓的切線，這條切線必然平行于 y軸,設(shè)它與的終邊交于點T ,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識，借助有向線段OA AT,我們有tan AT yx我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT,分別叫做角 的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6 .同角三角函數(shù)關(guān)系式使用這組公式進行變形時，經(jīng)常把“切”、"害用&