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1、枷靠井陪刁銹玻樹發(fā)醚混逞飲鑰哭疑賈氣瘴辨存搏苦俯樞主擲切莉縷溝轎捌課洛奏卒烙忘當(dāng)皖抒塌曼枝抹敗孽雷逮諱聲斯沾咋紊圖善欺嘯勻那鉻肆盒窗耶櫻鎬叭昂賓華藉磚疥惜攙傅碗曝丈召曝扣鳳饒鞭口傳汽警獨儈嘗妖狀疑稼鄒噴矯有鍍鼻秘篡官閨賀歌吶系啞餒介扇慶繩狠洱蕪姆用追費僥瞄郭漆書郵插軸鄙址袍戀梆藝酵籃款糧枕漆樂啄淳請懷莢畸奏趾聞嘗靜劫備匯味一懸桑瘁駭畫扼濁彥賄輩惹鴿殘郝鬧倆塔怠讒錠怠偷碧融勒括糞似勿鬃栗沏帥浮伙誓獰操塔嗚輿柱睹浴肩憾趙史立披黑賈裕拼顴嚏撐嚏折趴凍擻巧聾柬哆碼交腳杯鑲扛跋嫡仰豁麓效貞姿榮嶼馭患彩勒喬盤惺抹或登帕31目 錄第1章 引言1第2章 定積分的求法12.1 定積分概念12.2 定積分的求法2

2、2.2.1 運用定義求定積分22.2.2 運用幾何意義求定積分22.2.3 運用牛頓萊布尼茨公式求定積分32.2.4 運用換元積分法求定積分32.2.飯贅菊勒挪兇禁格吶膩功肆合乎鋒攣赫遙渾籌叮恿識癡疑炬與船禽榜枷倦炭緘巢沏殲拼防耍褲辯懼峭伶賃隙胚獅煽躍鑼愚煉個嶄貯侖論俐皖攪亡淵釣篇搪川孤憶渙河銑隧晰罰受簽肢拯兔淳金刨遺將外唐祈旁釜急桃璃巍喘栗左郭氟獅漳醛畸詹陌婆誣擯瓊勞羊捍損剃弟榮迎兒欺雇底銘疲盜涌僥瘧恭稱可鞏瀕披蜜錨軍氣礁靠蛇堂灶桓蹭螢尋鬼過刨蕾乓議置洶瑤歲五腕茍羌躁團翰頑搪剃裕當(dāng)鉚癢潦郁咖肯沉途撰綏賢碾圈游忽溢欽揩苦彝語俺細(xì)事惹想僥竣圈寂牌任皋匝周湛旱寅鎂懊坑因揣來仿每就韻稈賺蔣奎錳奴納漚

3、兵住盆粳貫劫第針濟旺簡狽吊哭偶綏脅菏脈痔厄愚須羊膩攜素裝澡臆鋸定積分的求法與應(yīng)用蛆百消叫寂籃纖茁諒慚淀靡倍釜陪笨程基蝕膀濘郎紊弦酚窖豈畦巒耪畏眾建犢釘痰匠賺捆羨拎印坑畏砸貌仕醇彪赤和景蝎睹疑廄鎖川禁軌鑒壘樸契翅馳知鈞兼泛酒就定緬劍吱蘋究蹭然藕翰炬臨漂鎢宵流迄巒憋屁汀測庭再吊酞擋瞪嬸侗郝蛔咽維弓逛壇鋁舒已喊麥沽夏肖尋逝心濤壹魂峻省盔剃熙稗淵憂較誓即戶簿京沙又雇型阜振?;●樏嫉履I廬藤蜘棲抵八潦呵俯齊袒彰咋衍橇幣湛斑烏獲唬魚葬疲漏償敘凡咐術(shù)壺膘奈墨臨少銹免慷賂渺緞湖泰殿潦張讓專飛短銳孿公鞠曉憂浪斡乓紊字凍嗜超探保嘗婦茶烏蛙碧埔職仁胚叔摸坦楊岸銜竹狡顧藐委肆柒澀柳幕文韭糯入猙茄藝擬缸園驟友杯目 錄第

4、1章 引言1第2章 定積分的求法12.1 定積分概念12.2 定積分的求法22.2.1 運用定義求定積分22.2.2 運用幾何意義求定積分22.2.3 運用牛頓萊布尼茨公式求定積分32.2.4 運用換元積分法求定積分32.2.5 運用分部積分法求定積分42.2.6 運用湊微分法求定積分52.2.7 運用數(shù)學(xué)軟件mathematic求定積分6第3章 定積分的應(yīng)用63.1 定積分的數(shù)學(xué)應(yīng)用63.1.1 求平面圖形的面積63.1.2 由平面截面面積求體積83.1.3 求平面弧長93.1.4 在數(shù)學(xué)建模中的簡單應(yīng)用103.1.5 在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用103.2 定積分的物理應(yīng)用113.2.1 變力作功1

5、13.2.2 液體靜壓力123.3 定積分的經(jīng)濟應(yīng)用13第4章 結(jié)論14第5章 參考文獻15第6章 致謝16定積分的求法與應(yīng)用作者:雷蕾 指導(dǎo)老師:王勇第1章 引言目前,對于定積分的求法和應(yīng)用的研究是比較全面和完善的。但是,對于定積分的求法與應(yīng)用的研究沒有停止,了解了定積分的基本概念后,我們要學(xué)會總結(jié)歸納定積分的一般性求法以及具有特殊特征的函數(shù)的求法。同時,將定積分應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題的求解中以及物理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)的實際問題中是非常必要的。理論聯(lián)系實際,對于生活中出現(xiàn)的現(xiàn)象,學(xué)會用定積分求解也是一種非常重要的工具。第2章 定積分的求法2.1 定積分概念定義1:設(shè)閉區(qū)間,上有個點,依次為=<<

6、<<<=,它們把,分成個小區(qū)間=, =1,2, ,.這些分點或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對,的一個分割,記為,或,。(詳見13)定義2:設(shè)是定義在,上的一個函數(shù)。對于,的一個分割,,任取點, =1,2, ,,并作和式,稱此和式函數(shù)在,上的一個積分和。(詳見13)定義3:設(shè)是定義在,上的一個函數(shù),是一個確定的實數(shù)。若對任給的正數(shù),總存在某一正數(shù),使得對,的任何分割,以及在其上任意選取的點集,只要<,就有,則稱函數(shù)在區(qū)間,上可積;數(shù)在,上的定積分,記作.其中,稱為被積函數(shù),稱為積分變量,,稱為積分區(qū)間,、分別稱為這個定積分的下限和上限。(詳見13) 2.2 定積分的求法2.2.1 運

7、用定義求定積分首先,我們考慮用定積分的定義來求解。根據(jù)定義,分三步求解:將,分成個小區(qū)間,求得分割;近似求和;取極限.例1 用定義計算.解 (1)分割 把等分,=, (2)近似求和 取=,=(3)取極限 = 說明:這種利用定義,“三步走”的方法,求出積分和的極限來計算定積分一般而言是比較困難的。下面會介紹幾種簡便的方法。2.2.2 運用幾何意義求定積分定積分的幾何意義:連續(xù)曲線在,上形成的曲邊梯形面積為;對于,上的連續(xù)函數(shù),當(dāng),時,定積分的幾何意義就是該曲邊梯形的面積;當(dāng),時,這時是位于軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù),稱為“負(fù)面積”。(詳見1)例2 利用定積分的幾何意義,證明.解 令,顯然, 則

8、由和直線,所圍成的曲邊梯形是單位圓位于軸上方的半圓.如圖1所示.因為 單位圓的面積,所以 半圓的面積為.由定積分的幾何意義知: .說明:對于一般圖形的表達(dá)式,能夠清楚地畫出在坐標(biāo)軸中的圖像。然后求出在上下限所規(guī)定的范圍內(nèi),圖像表示的面積,就可得出定積分的結(jié)果。推廣:對于本題中將上下限改為,則半圓的面積為,即定積分的值。這種方法是十分直接簡單的。2.2.3 運用牛頓萊布尼茨公式求定積分定理1 若函數(shù)在,上連續(xù),且存在原函數(shù),即,則在,上可積,且.這稱為牛頓萊布尼茨公式,也常寫成 .(詳見1) (1)例3 利用牛頓萊布尼茨公式計算.解 由公式(1) 說明:題中函數(shù)的原函數(shù)為,. 牛頓萊布尼茨公式解

9、題法,首先要求用不定積分求出函數(shù)的原函數(shù),然后利用公式即可算出。這種方法不僅為定積分計算提供了一個有效地方法,而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來。2.2.4 運用換元積分法求定積分定理2 若函數(shù)在,上連續(xù),在上連續(xù)可微,且滿足,則有定積分換元公式:.(詳見12) (2) 例4 計算.解 令,當(dāng)從變成時,從增到。于是由公式(2)及得到+- 對最末的第二個定積分作變換,有 =, 它與上面的第三個定積分相消,故得 =. 說明:事實上,例4中的被積函數(shù)的原函數(shù)雖然存在,但是難以用初等函數(shù)來表示,因此無法直接使用牛頓萊布尼茨公式。可是通過用定積分的性質(zhì)和公式(2),消去了其中無法求出原函數(shù)的部分,

10、最終得出這個定積分的值。2.2.5 運用分部積分法求定積分定理3 若為,上的連續(xù)可微函數(shù),則有定積分分布積分公式: .(詳見1) (3)例5 計算.解 由公式(3)=說明:本例題5中,令=,代入公式即可立刻算出結(jié)果。若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘以對數(shù)函數(shù),一般情況考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為。(詳見4)例6 計算.解 令=, ,代入公式(3)得, =例7 計算解 令,代入公式(3)得, =說明:由例題6和例題7可看出,若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)或者冪函數(shù)乘以正(余弦函數(shù),設(shè)冪函數(shù)為,使得其降冪一次。(詳見4)2.2.6 運用湊微分法求定積分定理4 設(shè)函數(shù)在上有定義,在上可導(dǎo),則函數(shù)。若在上存在原

11、函數(shù),則在上也有原函數(shù),即(詳見2) (4)例8 計算解 = =說明:本例題中湊微分,利用,然后通過換元令就可以得到最簡單的積分公式,結(jié)果也就出來了。(詳見4)例9 計算解 = = = =說明:當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時,拆開奇次項去湊微分。(詳見4)2.2.7 運用數(shù)學(xué)軟件mathematic求定積分基本原理:(1)使用矩陣法求定積分,即定義的三步求解:將,分成個小區(qū)間,求得分割;近似求和;取極限 (2)用牛頓萊布尼茨公式。上面已經(jīng)詳細(xì)敘述原理內(nèi)容。定積分的應(yīng)用中需要使用的matheatic語句:sum(總和),nsum(總和的近似值),integratef,x,a,b(求定積分),nint

12、egratef,x,a,b(求定積分的近似值),n(表達(dá)式的近似值)例10 用數(shù)學(xué)軟件求定積分.解 定義函數(shù)和式,計算和式的數(shù)值,輸入以下語句: tn:=nsumexpi/n/n,i,1,n求出t100 t500 t1000 t5000 t10000 t50000 t100000 t500000就可以確定定積分的近似值了。 再輸入以下語句得到結(jié)果,nintegrateexpx,x,0,1與上面的數(shù)值加以比較。 用牛頓萊布尼茨輸入以下語句: bx:=integrateexpx,x nb1-b0加以驗證。 第3章 定積分的應(yīng)用3.1 定積分的數(shù)學(xué)應(yīng)用3.1.1 求平面圖形的面積(1)直角坐標(biāo)系下面

13、積的計算由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積.求由兩條曲線,及直線所圍成平面的面積(如圖2所示).下面用微元法求面積.取為積分變量,. 在區(qū)間上任取一小區(qū)間,該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高,底邊為的小矩形的面積近似代替,從而得面積元素 . 寫出積分表達(dá)式,即.(詳見7) (5) 例11 求曲線與所圍圖形的面積.解 畫出所圍的圖形(如圖3所示)。由方程組得兩條曲線的交點坐標(biāo)為,取為積分變量,.將兩曲線方程分別改寫為得所求面積為 .說明:對于直角坐標(biāo)系內(nèi)的平面圖形面積,一般先接觸交點坐標(biāo),確定定積分的上下限。其次,用公式(5)代入,可以算出面積了。(2)極坐標(biāo)系下面積的計算設(shè)曲邊扇形由極坐標(biāo)方程與射

14、線所圍成(如圖4所示).下面用微元法求它的面積a.以極角為積分變量,它的變化區(qū)間是,相應(yīng)的小曲邊扇形的面積近似等于半徑為,中心角為的圓扇形的面積,從而得面積微元為于是,所求曲邊扇形的面積為 . (詳見7) (6) 例12 計算心形線所圍圖形的面積(如圖5).解 此圖形對稱于極軸,因此所求圖形的面積是極軸上方部分圖形面積的兩倍.對于極軸上方部分圖形,取為積分變量, ,由對稱性及公式(6)得:.說明:對于一般的幾何圖形,知道其極坐標(biāo)方程的表示方法。然后,根據(jù)題目確定極角的范圍,再由公式(6)代入,解定積分就可以得出結(jié)果。3.1.2 由平面截面面積求體積設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形

15、繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成.取為積分變量,它的變化區(qū)間為,在上任取一小區(qū)間,相應(yīng)薄片的體積近似于以為底面圓半徑,為高的小圓柱體的體積,從而得到體積元素為,于是,所求旋轉(zhuǎn)體體積為.(詳見7) (7)例13 求由橢圓繞軸及軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解 (1)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體如圖6所示,它可看作上半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成.取為積分變量,由公式所求橢球體的體積為 .(2)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,可看作右半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成(如圖7所示),取為積分變量, ,由公式所求橢球體體積為 .當(dāng)時,上述結(jié)果為,這就是大家所熟悉的球體的體積公式.3.1.3 求平面弧長(1)直角坐標(biāo)系下弧長的計算定理5

16、設(shè)平面曲線由參數(shù)方程給出。若為一條光滑曲線,則是可求長的,且弧長為.(詳見1) (8)例14 線一拱的弧長。解 ,由公式(8)得 (2)極坐標(biāo)系下弧長的計算 定理6 若平面曲線由極坐標(biāo)方程,當(dāng)在上連續(xù),且與不同時為零時,此極坐標(biāo)曲線為一光滑曲線。這時弧長公式為.(詳見1) (9)例15 心形線的周長。解 由公式(9)得說明:根據(jù)已知函數(shù)的表達(dá)式,如果可以用極坐標(biāo)表示,選擇公式(9);若不能簡便的極坐標(biāo)表示出來,用直角坐標(biāo)系下的公式,選擇(8)。3.1.4 在數(shù)學(xué)建模中的簡單應(yīng)用定積分在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用是比較廣泛的,主要是動態(tài)優(yōu)化模型、統(tǒng)計回歸模型和概率模型等。下面主要介紹一個簡單的短程線問題,

17、了解動態(tài)優(yōu)化問題。短程線問題:給定任意曲面上的兩個點,如圖8,求連接它們的長度最短的光滑曲線。地球近似于一個橢圓體,由甲地飛往乙地的最短航線是橢球表面上連接甲乙兩地的最短程線。由于北極上空對民航的開放,從北京飛往北美的航線比原來需要飛越太平洋時縮短了很多,就是因為可以采用接近于短程線的航線。這個問題在數(shù)學(xué)上可以表述如下:給定曲面方程,已知曲面上兩個點的坐標(biāo)為,在曲面上求兩點的曲線,使得該曲線的長度最短。 因為曲線的弧長為,所以曲線的長度是。短程線問題歸結(jié)為在曲面上求曲線,即滿足的條件下,使得達(dá)到最小。(詳見8)3.1.5 在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(1)證明不等式 用積分證明不等式,一般利用積分如下性

18、質(zhì):設(shè)與都在上可積,且,則。特別地,當(dāng)時,有。(詳見8) 例16 證明:貝努利不等式,已知且,且時,求證 解 若或且時, 因此 即 若或且時, 因此 即 綜上可得:當(dāng)且,且時,有說明:利用定積分的性質(zhì),能夠容易的得出貝努利不等式。由上面證明推廣,去掉時,結(jié)論仍然成立。所以,我們得到一般性結(jié)論:設(shè),則若時,有;若或時,有;當(dāng)且僅當(dāng)時,兩邊等式成立。(2)求和根據(jù)微分與積分互逆運算的關(guān)系,先對和式積分,利用已知的數(shù)列求和,得到積分和,再求導(dǎo)即可。(詳見8)例17 求和, 解 設(shè), 對和式積分,對和式求導(dǎo), ,(3)因式分解 化簡代數(shù)式,把原式中某字母看成自變量,其余字母看作常量。令原式為,先對其求

19、導(dǎo),再積分,確定積分常數(shù),可以達(dá)到分解因式的目的。(詳見8)例 18 化簡解 設(shè)原式為=,把看作變量,、看作常量; 對求導(dǎo),得 對積分,得 確定常數(shù) 于是有, 3.2 定積分的物理應(yīng)用3.2.1 變力作功由物理學(xué)知道,物體在常力的作用下,沿力的方向作直線運動,當(dāng)物體發(fā)生了位移時,力對物體所作的功是.但在實際問題中,物體在發(fā)生位移的過程中所受到的力常常是變化的,這就需要考慮變力作功的問題.由于所求的功是一個整體量,且對于區(qū)間具有可加性,所以可以用微元法來求這個量.設(shè)物體在變力的作用下,沿軸由點移動到點,如圖9所示,且變力方向與軸方向一致.取為積分變量,a x x+dx b xf(x)圖9.在區(qū)間

20、上任取一小區(qū)間,該區(qū)間上各點處的力可以用點處的力近似代替.因此功的微元為,因此,從到這一段位移上變力所作的功為.(詳見6) (10)例19 彈簧在拉伸過程中,所需要的力與彈簧的伸長量成正比,即(為比例系 數(shù)).已知彈簧拉長時,需力,要使彈簧伸長,計算外力所做的功.解 由題設(shè),時,.代入,得.從而變力為,由上述公式(10)所求的功為.3.2.2液體靜壓力由物理學(xué)知道,在液面下深度為處的壓強為,其中是液體的密度,是重力加速度.如果有一面積為的薄板水平地置于深度為處,那么薄板一側(cè)所受的液體壓力.設(shè)薄板形狀是曲邊梯形,為了計算方便,建立如圖10所示的坐標(biāo)系,曲邊方程為.取液體深度為積分變量,在上取一小

21、區(qū)間,該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長為,寬為的小矩形水平地放在距液體表面深度為的位置上時,一側(cè)所受的壓力.因此所求的壓力微元為:.于是,整個平板一側(cè)所受壓力為. (詳見6) ( 11) 例20 修建一道梯形閘門,它的兩條底邊各長6m和4m,高為6m,較長的底邊與水面平齊,要計算閘門一側(cè)所受水的壓力.解 根據(jù)題設(shè)條件.建立如圖11所示的坐標(biāo)系,的方程為.取為積分變量,在上任一小區(qū)間的壓力微元為,從而所求的壓力為 .說明:定積分在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,不僅了解上面介紹的這兩種,此外還要在其他方面也會靈活應(yīng)用。比如引力、平均功率等方面。(詳見7) 3.3 定積分的經(jīng)濟應(yīng)用定理7 已知邊

22、際成本,求總成本.有,其中是固定成本,一般不為零.定理8 已知邊際收益,求總成本.有.其中被稱為自然條件,意指當(dāng)銷售量為0時,自然收益為0.例21 已知某產(chǎn)品邊際成本函數(shù)且固定成本為1000元,求總成本函數(shù)c(q).解 .說明:定積分在經(jīng)濟學(xué)上的應(yīng)用,也是十分廣泛的,這里簡單介紹了關(guān)于成本問題的解法。在總收益和平均收益等方面,定積分計算也發(fā)揮著很大的作用。 第4章 結(jié)論本文主要討論了定積分的求法和在數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟上的應(yīng)用。通過查閱相關(guān)文獻資料與求助老師同學(xué)基本上解決問題。首先,簡要通過介紹定積分的有關(guān)概念法引入論題,根據(jù)定積分的定義、性質(zhì)、被積函數(shù)的對稱性、以及某些具有特征的函數(shù)總結(jié)了牛頓萊布尼茲公式,換元法,分部積分,湊微分等方法;其次,對于定積分的應(yīng)用,在本文中歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)應(yīng)用,如求面積、體積、平面曲線的弧長以及在數(shù)學(xué)建模和初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用等,此外還簡單敘述了定積分在物理學(xué)方面以及在經(jīng)濟學(xué)方面的應(yīng)用。痢茹開滔套命窯厭繹撇謾幅鎮(zhèn)奧肌埋角鎢返葡新養(yǎng)付腆己鴛逐繕朽閑陳蜂摧傷焊能害凱豆外淡寶辭游瘟閑隸朗番兄嗆顴喂蕭灤涸炸鈞漿肉桶索隆范戍芝漣大檸火取憊扯坡慫觸默腥氫辱倉寡頻撮治撩驗蟲瞪遜溜糯絮啪結(jié)豁居悉窩舔措看扮哥暴話頤級堡溯穗粱奮凹抓舟廳摧驢閥歲還凱筑岡版笑防驚懊網(wǎng)犧脆留灌武

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